Les opérations sur les limites de suites permettent de calculer la limite d'une suite obtenue en combinant deux suites plus simples au moyen d'une somme, d'une différence, d'un produit ou d'un quotient.
L'idée fondamentale est la suivante : si deux suites \((a_n)\) et \((b_n)\) admettent une limite finie, alors, sous des hypothèses convenables, les suites obtenues au moyen d'opérations algébriques terme à terme entre \(a_n\) et \(b_n\) admettent également une limite, laquelle se calcule en appliquant les mêmes opérations aux limites.
Considérons le cas où
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
avec \(A,B\in\mathbb{R}\). Nous étudierons donc les opérations sur les limites finies de suites réelles convergentes.
Il convient de préciser d'emblée que les règles algébriques relatives aux limites ne peuvent pas être appliquées automatiquement en présence de formes indéterminées, telles que \(+\infty-\infty\), \(0\cdot\infty\), \(\displaystyle \frac{0}{0}\) ou \(\displaystyle \frac{\infty}{\infty}\). Dans ces cas, une étude spécifique s'impose.
Sommaire
- Opérations sur les limites de suites
- Limite d'une somme
- Limite d'une différence
- Limite d'un produit
- Limite d'un quotient
- Remarques sur les formes indéterminées
- Exemples d'opérations sur les limites
Opérations sur les limites de suites
Soient \((a_n)\) et \((b_n)\) deux suites réelles convergentes, c'est-à-dire telles que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A, \qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
avec \(A,B\in\mathbb{R}\).
Sous ces hypothèses, les règles suivantes s'appliquent :
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n+b_n)=A+B, \]
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n-b_n)=A-B, \]
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n b_n)=AB. \]
De plus, si \(B\neq0\), alors \(b_n\neq0\) à partir d'un certain rang, et l'on a également
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}. \]
La condition \(B\neq0\) dans le théorème sur la limite d'un quotient est essentielle. En effet, si la limite du dénominateur était \(0\), on ne pourrait pas conclure, en général, que le quotient admet une limite finie.
Les sections suivantes démontrent rigoureusement ces propriétés à partir de la définition de la limite d'une suite.
Limite d'une somme
Soient \((a_n)\) et \((b_n)\) deux suites réelles telles que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
avec \(A,B\in\mathbb{R}\). Alors
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n+b_n)=A+B. \]
Démonstration. Nous voulons montrer que, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe \(N\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\geq N\), on ait
\[ |(a_n+b_n)-(A+B)|<\varepsilon. \]
Observons que
\[ (a_n+b_n)-(A+B)=(a_n-A)+(b_n-B). \]
En appliquant l'inégalité triangulaire, on obtient
\[ |(a_n+b_n)-(A+B)| = |(a_n-A)+(b_n-B)| \leq |a_n-A|+|b_n-B|. \]
Puisque \(a_n\to A\), pour \(\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}>0\) il existe \(N_1\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\geq N_1\),
\[ |a_n-A|<\frac{\varepsilon}{2}. \]
Puisque \(b_n\to B\), pour \(\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}>0\) il existe \(N_2\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\geq N_2\),
\[ |b_n-B|<\frac{\varepsilon}{2}. \]
Posons
\[ N=\max\{N_1,N_2\}. \]
Alors, pour tout \(n\geq N\), les deux inégalités précédentes sont satisfaites. Par conséquent,
\[ |(a_n+b_n)-(A+B)| \leq |a_n-A|+|b_n-B| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. \]
Par définition de la limite,
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n+b_n)=A+B. \]
Limite d'une différence
Soient \((a_n)\) et \((b_n)\) deux suites réelles telles que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
avec \(A,B\in\mathbb{R}\). Alors
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n-b_n)=A-B. \]
Démonstration. Nous voulons montrer que, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe \(N\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\geq N\), on ait
\[ |(a_n-b_n)-(A-B)|<\varepsilon. \]
Observons que
\[ (a_n-b_n)-(A-B)=(a_n-A)-(b_n-B). \]
En appliquant l'inégalité triangulaire, on obtient
\[ |(a_n-b_n)-(A-B)|=|(a_n-A)-(b_n-B)|\leq |a_n-A|+|b_n-B|. \]
Puisque \(a_n\to A\), pour \(\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}>0\) il existe \(N_1\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\geq N_1\),
\[ |a_n-A|<\frac{\varepsilon}{2}. \]
Puisque \(b_n\to B\), pour \(\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}>0\) il existe \(N_2\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\geq N_2\),
\[ |b_n-B|<\frac{\varepsilon}{2}. \]
Posons
\[ N=\max\{N_1,N_2\}. \]
Alors, pour tout \(n\geq N\),
\[ |(a_n-b_n)-(A-B)|\leq |a_n-A|+|b_n-B|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon. \]
Par définition de la limite,
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n-b_n)=A-B. \]
Limite d'un produit
Soient \((a_n)\) et \((b_n)\) deux suites réelles telles que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
avec \(A,B\in\mathbb{R}\). Alors
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n b_n)=AB. \]
Démonstration. Nous voulons montrer que, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe \(N\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\geq N\), on ait
\[ |a_n b_n-AB|<\varepsilon. \]
Écrivons la différence sous une forme commode :
\[ a_n b_n-AB = a_n b_n-A b_n+A b_n-AB. \]
D'où
\[ a_n b_n-AB = (a_n-A)b_n+A(b_n-B). \]
En appliquant l'inégalité triangulaire, on obtient
\[ |a_n b_n-AB| \leq |a_n-A|\,|b_n|+|A|\,|b_n-B|. \]
Utilisons à présent le fait qu'une suite convergente est bornée à partir d'un certain rang. Puisque \(b_n\to B\), en appliquant la définition de la limite avec \(\varepsilon=1\), il existe \(N_0\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\geq N_0\),
\[ |b_n-B|<1. \]
D'où
\[ |b_n| = |b_n-B+B| \leq |b_n-B|+|B| < |B|+1. \]
Ainsi, à partir d'un certain rang,
\[ |b_n|<|B|+1. \]
Fixons à présent \(\varepsilon>0\). Puisque \(a_n\to A\), il existe \(N_1\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\geq N_1\),
\[ |a_n-A|<\frac{\varepsilon}{2(|B|+1)}. \]
Puisque \(b_n\to B\), il existe \(N_2\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\geq N_2\),
\[ |b_n-B|<\frac{\varepsilon}{2(|A|+1)}. \]
Posons
\[ N=\max\{N_0,N_1,N_2\}. \]
Alors, pour tout \(n\geq N\), on a
\[ |b_n|<|B|+1, \qquad |a_n-A|<\frac{\varepsilon}{2(|B|+1)} \]
et
\[ |b_n-B|<\frac{\varepsilon}{2(|A|+1)}. \]
Par conséquent,
\[ |a_n-A|\,|b_n| < \frac{\varepsilon}{2(|B|+1)}(|B|+1) = \frac{\varepsilon}{2}. \]
De plus,
\[ |A|\,|b_n-B| \leq |A|\frac{\varepsilon}{2(|A|+1)} = \frac{|A|}{|A|+1}\cdot\frac{\varepsilon}{2} < \frac{\varepsilon}{2}. \]
Par suite,
\[ |a_n b_n-AB| \leq |a_n-A|\,|b_n|+|A|\,|b_n-B| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. \]
Par définition de la limite,
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n b_n)=AB. \]
Limite d'un quotient
Soient \((a_n)\) et \((b_n)\) deux suites réelles telles que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
avec \(A,B\in\mathbb{R}\) et \(B\neq0\). Alors \(b_n\neq0\) à partir d'un certain rang, et l'on a
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}. \]
Démonstration. Puisque \(b_n\to B\) et \(B\neq0\), le nombre
\[ \frac{|B|}{2} \]
est strictement positif.
Par convergence de \((b_n)\) vers \(B\), il existe \(N_0\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\geq N_0\),
\[ |b_n-B|<\frac{|B|}{2}. \]
De l'inégalité triangulaire inverse, il résulte que
\[ |b_n|=|B+(b_n-B)|\geq |B|-|b_n-B|. \]
Donc, pour tout \(n\geq N_0\),
\[ |b_n|>|B|-\frac{|B|}{2}=\frac{|B|}{2}. \]
En particulier, \(b_n\neq0\) pour tout \(n\geq N_0\). Ceci montre que le quotient \(\frac{a_n}{b_n}\) est bien défini à partir d'un certain rang.
Estimons à présent la différence entre le quotient et la limite attendue :
\[ \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right|. \]
En réduisant au même dénominateur, on obtient
\[ \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right| = \left|\frac{B a_n-A b_n}{B b_n}\right|. \]
En ajoutant et en retranchant \(AB\) au numérateur,
\[ B a_n-A b_n = B a_n-AB+AB-A b_n. \]
D'où
\[ B a_n-A b_n = B(a_n-A)+A(B-b_n). \]
En appliquant l'inégalité triangulaire,
\[ |B a_n-A b_n| \leq |B|\,|a_n-A|+|A|\,|B-b_n|. \]
Puisque
\[ |B-b_n|=|b_n-B|, \]
on obtient
\[ |B a_n-A b_n| \leq |B|\,|a_n-A|+|A|\,|b_n-B|. \]
Par conséquent,
\[ \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right| \leq \frac{|B|\,|a_n-A|+|A|\,|b_n-B|}{|B|\,|b_n|}. \]
Pour \(n\geq N_0\), nous savons que
\[ |b_n|>\frac{|B|}{2}. \]
Par conséquent,
\[ |B|\,|b_n| > |B|\cdot\frac{|B|}{2} = \frac{|B|^2}{2}. \]
Ainsi, pour tout \(n\geq N_0\),
\[ \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right| \leq \frac{2}{|B|^2} \left( |B|\,|a_n-A|+|A|\,|b_n-B| \right). \]
Fixons à présent \(\varepsilon>0\). Puisque \(a_n\to A\), il existe \(N_1\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\geq N_1\),
\[ |a_n-A|<\frac{\varepsilon |B|}{4}. \]
Puisque \(b_n\to B\), il existe \(N_2\in\mathbb{N}\) tel que, pour tout \(n\geq N_2\),
\[ |b_n-B|<\frac{\varepsilon |B|^2}{4(|A|+1)}. \]
Posons
\[ N=\max\{N_0,N_1,N_2\}. \]
Alors, pour tout \(n\geq N\), toutes les estimations précédentes sont satisfaites. En particulier,
\[ |B|\,|a_n-A| < |B|\cdot\frac{\varepsilon |B|}{4} = \frac{\varepsilon |B|^2}{4}. \]
De plus,
\[ |A|\,|b_n-B| \leq |A|\frac{\varepsilon |B|^2}{4(|A|+1)} = \frac{|A|}{|A|+1}\cdot\frac{\varepsilon |B|^2}{4} < \frac{\varepsilon |B|^2}{4}. \]
En sommant,
\[ |B|\,|a_n-A|+|A|\,|b_n-B| < \frac{\varepsilon |B|^2}{4} + \frac{\varepsilon |B|^2}{4} = \frac{\varepsilon |B|^2}{2}. \]
Par conséquent,
\[ \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right| < \frac{2}{|B|^2}\cdot\frac{\varepsilon |B|^2}{2} = \varepsilon. \]
Par définition de la limite,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}. \]
Remarques sur les formes indéterminées
Les règles précédentes ont été démontrées dans le cas où les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) admettent des limites réelles finies. Dans ce cadre, les opérations se comportent de façon naturelle :
\[ a_n\to A,\quad b_n\to B \quad\Longrightarrow\quad a_n+b_n\to A+B, \]
\[ a_n b_n\to AB, \]
et, si \(B\neq0\),
\[ \frac{a_n}{b_n}\to\frac{A}{B}. \]
Il convient toutefois de se montrer prudent lorsque interviennent des limites infinies, ou des quotients dont le dénominateur tend vers zéro. Dans ces cas, il n'est pas toujours possible d'appliquer directement les règles algébriques.
Par exemple, les expressions du type
\[ +\infty-\infty, \qquad 0\cdot\infty, \qquad \frac{0}{0}, \qquad \frac{+\infty}{+\infty} \]
sont appelées formes indéterminées. Le terme « indéterminée » signifie que la seule connaissance des limites des différentes parties ne suffit pas à déterminer la limite de l'expression globale.
Par exemple, si \(a_n\to+\infty\) et \(b_n\to+\infty\), la limite de \(a_n-b_n\) n'est pas déterminée automatiquement. Elle peut être un nombre réel, elle peut valoir \(+\infty\), elle peut valoir \(-\infty\), ou encore ne pas exister.
De même, si \(a_n\to0\) et \(b_n\to0\), le quotient
\[ \frac{a_n}{b_n} \]
peut se comporter de manière différente selon les suites considérées.
Par exemple,
\[ \frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n}}=1 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}_{\ge 1}\), de sorte que la limite vaut \(1\). En revanche,
\[ \frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n^2}}=n, \]
et la limite vaut donc \(+\infty\).
Ceci montre que la seule information selon laquelle « le numérateur tend vers \(0\) » et « le dénominateur tend vers \(0\) » ne suffit pas à déterminer la limite du quotient.
C'est pourquoi les règles relatives aux opérations sur les limites ne doivent être appliquées que lorsque les hypothèses des théorèmes correspondants sont satisfaites.
Exemples d'opérations sur les limites
Exemple 1 (limite d'une somme). Considérons la suite
\[ c_n=\frac{1}{n}+\frac{n}{n+1}, \qquad n\in\mathbb{N}_{\ge 1}. \]
Nous savons que
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0 \]
et
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1. \]
D'après la limite d'une somme,
\[ \lim_{n\to+\infty} \left( \frac{1}{n}+\frac{n}{n+1} \right) = 0+1 = 1. \]
Exemple 2 (limite d'une différence). Considérons la suite
\[ c_n=\frac{n}{n+1}-\frac{1}{n}, \qquad n\in\mathbb{N}_{\ge 1}. \]
Puisque
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1 \]
et
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0, \]
d'après la limite d'une différence, on obtient
\[ \lim_{n\to+\infty} \left( \frac{n}{n+1}-\frac{1}{n} \right) = 1-0 = 1. \]
Exemple 3 (limite d'un produit). Considérons la suite
\[ c_n= \left(2+\frac{1}{n}\right) \left(3-\frac{1}{n}\right), \qquad n\in\mathbb{N}_{\ge 1}. \]
On a
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{1}{n}\right)=2 \]
et
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(3-\frac{1}{n}\right)=3. \]
D'après la limite d'un produit,
\[ \lim_{n\to+\infty} \left(2+\frac{1}{n}\right) \left(3-\frac{1}{n}\right) = 2\cdot3 = 6. \]
Exemple 4 (limite d'un quotient). Considérons la suite
\[ c_n= \frac{2+\displaystyle \frac{1}{n}}{3-\displaystyle \frac{1}{n}}, \qquad n\in\mathbb{N}_{\ge 1}. \]
Le numérateur tend vers \(2\), puisque
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{1}{n}\right)=2. \]
Le dénominateur tend vers \(3\), puisque
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(3-\frac{1}{n}\right)=3. \]
Puisque la limite du dénominateur est non nulle, nous pouvons appliquer la limite d'un quotient :
\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{2+\displaystyle \frac{1}{n}}{3-\displaystyle \frac{1}{n}} = \frac{2}{3}. \]
Exemple 5 (mise en garde : quotient dont le dénominateur tend vers zéro). Considérons la suite
\[ c_n=\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n}}, \qquad n\in\mathbb{N}_{\ge 1}. \]
Le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers \(0\), puisque
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
Toutefois, nous ne pouvons pas appliquer directement le théorème relatif à la limite d'un quotient, car la limite du dénominateur est \(0\).
Dans ce cas, en simplifiant, on obtient
\[ c_n=1 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}_{\ge 1}\), d'où
\[ \lim_{n\to+\infty}c_n=1. \]
Cet exemple montre qu'une forme du type \(\displaystyle \frac{0}{0}\) doit être étudiée séparément : il n'est pas possible d'en déterminer la limite en appliquant automatiquement la règle du quotient, car la limite du dénominateur est égale à \(0\).
En conclusion, les opérations sur les limites permettent de calculer de nombreuses limites de suites de façon simple et rigoureuse, pourvu que les hypothèses des théorèmes soient respectées. En particulier, pour la limite d'un quotient, il est indispensable que la limite du dénominateur soit non nulle.