Exercices Corrigés sur l'Étude de Fonction

Droite croissante avec un zéro en \(x=2\), aucune asymptote, aucun extremum.

Domaine et symétries

La fonction est un polynôme du premier degré, elle est donc définie pour toute valeur réelle : \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\). Pour vérifier les symétries, calculons \(f(-x)=-2x-4\) : ce résultat ne coïncide ni avec \(f(x)=2x-4\) ni avec \(-f(x)=-2x+4\), la fonction n'est donc ni paire ni impaire.

Intersections avec les axes

Pour l'axe \(y\), on calcule \(f(0)=2\cdot0-4=-4\) ; la courbe coupe donc l'axe \(y\) au point \((0,-4)\). Pour l'axe \(x\), on pose \(f(x)=0\) :

\[ 2x-4=0 \implies x=2 \]

L'unique zéro est \(x=2\), c'est-à-dire le point \((2,0)\).

Étude du signe

Puisque le coefficient de \(x\) est positif, la fonction est négative à gauche du zéro et positive à droite :

\[ f(x) > 0 \iff x > 2 \qquad f(x) < 0 \iff x < 2 \]

Limites et asymptotes

S'agissant d'un polynôme, \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\). Aucune asymptote n'existe, quel qu'en soit le type.

Dérivée première et sens de variation

On calcule \(f'(x)=2\). La dérivée étant constamment positive, la fonction est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) tout entier et ne possède ni maximum ni minimum.

Dérivée seconde et concavité

On a \(f''(x)=0\) partout : la courbe ne présente aucun point d'inflexion et ne change jamais de concavité.

Résultat

\[ \boxed{f \text{ est une droite croissante de zéro } x=2} \]

Graphique de la fonction

Parabole paire de sommet \((0,-4)\), de zéros \(x=\pm2\), avec un minimum absolu en \(x=0\).

Domaine et symétries

Le domaine est \(\mathbb{R}\). Comme \(f(-x)=(-x)^2-4=x^2-4=f(x)\), la fonction est paire : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe \(y\), il suffit donc de l'étudier pour \(x\geq0\) puis d'effectuer une symétrie.

Intersections avec les axes

La courbe coupe l'axe \(y\) au point \((0,-4)\). Les zéros s'obtiennent en résolvant \(x^2-4=0\), d'où \(x^2=4\) et donc \(x=\pm2\) : la courbe traverse l'axe \(x\) aux points \((\pm2,0)\).

Étude du signe

L'expression \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) est un produit de deux facteurs linéaires. Le signe change aux points \(x=-2\) et \(x=2\) :

\[ f(x) > 0 \iff x < -2 \text{ ou } x > 2 \qquad f(x) < 0 \iff -2 < x < 2 \]

Limites et asymptotes

Le terme dominant étant \(x^2\), on a \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty\). Aucune asymptote n'existe.

Dérivée première et sens de variation

On calcule \(f'(x)=2x\), qui s'annule en \(x=0\). Pour \(x<0\) la dérivée est négative (fonction décroissante), pour \(x>0\) elle est positive (fonction croissante). Le point \(x=0\) est donc un minimum absolu, avec \(f(0)=-4\).

Dérivée seconde et concavité

On a \(f''(x)=2>0\) partout : la parabole a toujours sa concavité tournée vers le haut (en forme de U) et ne présente aucun point d'inflexion.

Résultat

\[ \boxed{\text{minimum absolu en }(0,-4),\quad \text{zéros en }x=\pm2} \]

Graphique de la fonction

Fonction impaire avec un maximum relatif en \((-1,2)\), un minimum relatif en \((1,-2)\) et un point d'inflexion à l'origine.

Domaine et symétries

Le domaine est \(\mathbb{R}\). Puisque \(f(-x)=-x^3+3x=-(x^3-3x)=-f(x)\), la fonction est impaire : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine. Cela divise le travail par deux : on étudiera le comportement pour \(x\geq0\) avant d'effectuer la symétrie.

Intersections avec les axes

La courbe passe par l'origine \((0,0)\). Pour trouver les autres zéros, on factorise :

\[ x^3-3x = x(x^2-3) = 0 \implies x=0,\quad x=\sqrt{3},\quad x=-\sqrt{3} \]

Étude du signe

La fonction s'écrit \(f(x)=x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})\). Les trois facteurs changent de signe respectivement en \(x=-\sqrt{3}\), \(x=0\) et \(x=\sqrt{3}\) :

\[ f(x)>0 \iff -\sqrt{3} < x < 0 \text{ ou } x > \sqrt{3} \]

Limites et asymptotes

Comme tout polynôme de degré impair à coefficient dominant positif, \(f(x)\to+\infty\) lorsque \(x\to+\infty\) et \(f(x)\to-\infty\) lorsque \(x\to-\infty\). Aucune asymptote n'existe.

Dérivée première et sens de variation

On calcule \(f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)\). La dérivée s'annule en \(x=-1\) et \(x=1\). Le signe de \(f'\) se détermine en remarquant que le coefficient \(3>0\) et que les racines sont \(\pm1\) :

Le point \(x=-1\) est un maximum relatif avec \(f(-1)=2\), le point \(x=1\) est un minimum relatif avec \(f(1)=-2\).

Dérivée seconde et points d'inflexion

On calcule \(f''(x)=6x\), qui s'annule en \(x=0\). Pour \(x<0\) on a \(f''<0\) (concavité tournée vers le bas), pour \(x>0\) on a \(f''>0\) (concavité tournée vers le haut) : la concavité change en \(x=0\), l'origine est donc un point d'inflexion.

Résultat

\[ \boxed{\max(-1,\,2),\quad \min(1,\,-2),\quad \text{inflexion en }(0,0)} \]

Graphique de la fonction

Fonction impaire, de domaine \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), d'asymptotes \(x=0\) et \(y=0\), strictement décroissante sur chaque branche.

Domaine et symétries

La fonction n'est pas définie en \(x=0\), donc \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Comme \(f(-x)=\tfrac{1}{-x}=-\tfrac{1}{x}=-f(x)\), la fonction est impaire et la courbe est symétrique par rapport à l'origine.

Intersections avec les axes et signe

L'équation \(\tfrac{1}{x}=0\) n'admet aucune solution, il n'y a donc pas de zéro. La valeur \(f(0)\) n'étant pas définie, il n'y a pas non plus d'intersection avec l'axe \(y\). Le signe se déduit immédiatement : la fonction a le même signe que le dénominateur \(x\), d'où

\[ f(x)>0 \iff x>0 \qquad f(x)<0 \iff x<0 \]

Limites et asymptotes

Calculons les limites aux bornes du domaine. Au voisinage de zéro :

\[ \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty \qquad \lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty \]

L'axe \(y\) (droite \(x=0\)) est donc une asymptote verticale. À l'infini :

\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x}=0 \]

L'axe \(x\) (droite \(y=0\)) est donc une asymptote horizontale.

Dérivée première et sens de variation

On calcule \(f'(x)=-\tfrac{1}{x^2}\). Comme \(x^2>0\) pour tout \(x\neq0\), la dérivée est toujours négative : la fonction est strictement décroissante sur \((-\infty,0)\) et sur \((0,+\infty)\). Elle ne possède pas d'extremum.

Dérivée seconde et concavité

On calcule \(f''(x)=\tfrac{2}{x^3}\). Pour \(x>0\) la dérivée seconde est positive (concavité tournée vers le haut), pour \(x<0\) elle est négative (concavité tournée vers le bas). Aucun point d'inflexion n'existe dans le domaine puisque \(x=0\) n'appartient pas à \(\mathcal{D}\).

Résultat

\[ \boxed{\text{asymptote verticale }x=0,\quad \text{asymptote horizontale }y=0} \]

Graphique de la fonction

Domaine \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\), asymptote verticale \(x=1\), asymptote oblique \(y=x+1\), maximum relatif en \((0,0)\) et minimum relatif en \((2,4)\).

Domaine et symétries

La fonction est définie pour tout \(x\) qui n'annule pas le dénominateur : \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{1\}\). La fonction ne présente aucune symétrie (ni paire, ni impaire).

Intersections avec les axes et signe

L'unique intersection avec les axes est l'origine \((0,0)\). Puisque le numérateur \(x^2\) est toujours positif ou nul, le signe de \(f(x)\) coïncide avec celui du dénominateur : \[ f(x) > 0 \iff x > 1 \qquad f(x) < 0 \iff x < 1 \; (x \neq 0) \]

Asymptotes

Asymptote verticale : \[ \lim_{x\to1^+} \frac{x^2}{x-1} = +\infty, \quad \lim_{x\to1^-} \frac{x^2}{x-1} = -\infty \] La droite \(x=1\) est une asymptote verticale.

Asymptote oblique : Comme le degré du numérateur dépasse d'une unité celui du dénominateur, effectuons la division euclidienne des polynômes : \[ \frac{x^2}{x-1} = x + 1 + \frac{1}{x-1} \] Lorsque \(x \to \pm\infty\), le terme fractionnaire tend vers zéro. Par conséquent, la droite \(y = x + 1\) est l'asymptote oblique.

Dérivée première et sens de variation

Calculons la dérivée première : \[ f'(x) = \frac{2x(x-1) - x^2(1)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2} \] La dérivée s'annule en \(x=0\) et \(x=2\). Étudions-en le signe :

On obtient un maximum relatif en \(M(0,0)\) et un minimum relatif en \(m(2,4)\).

Résultat final

\[ \boxed{\text{Asymptote oblique : } y=x+1; \quad \text{Max}(0,0); \quad \text{Min}(2,4)} \]

Graphique de la fonction

Fonction impaire, de domaine \(\mathbb{R}\setminus\{\pm1\}\), d'asymptotes verticales \(x=\pm1\), d'asymptote horizontale \(y=0\), strictement décroissante sur chaque intervalle du domaine.

Domaine et symétries

Le dénominateur \(x^2-1=(x-1)(x+1)\) s'annule en \(x=\pm1\), donc \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\). Comme \(f(-x)=\tfrac{-x}{x^2-1}=-f(x)\), la fonction est impaire.

Intersections avec les axes et signe

L'unique zéro est \(x=0\), avec \(f(0)=0\). Pour étudier le signe, on analyse séparément le numérateur et le dénominateur. Le dénominateur \((x-1)(x+1)\) est positif pour \(|x|>1\) et négatif pour \(|x|<1\) :

\[ f(x)>0 \iff \frac{x}{(x-1)(x+1)}>0 \iff x\in(-1,0)\cup(1,+\infty) \]

Limites et asymptotes

Calculons les limites aux points exclus. En \(x=1\) : le numérateur vaut \(1\) et le dénominateur tend vers \(0\), donc \(f(x)\to\pm\infty\) : asymptote verticale \(x=1\). De manière analogue, \(x=-1\) est asymptote verticale.

Lorsque \(x\to\pm\infty\) : le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur, d'où

\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{x}{x^2-1}=0 \]

L'axe \(x\) est une asymptote horizontale d'équation \(y=0\).

Dérivée première et sens de variation

En appliquant la règle de dérivation du quotient :

\[ f'(x)=\frac{(x^2-1)-x\cdot2x}{(x^2-1)^2}=\frac{-x^2-1}{(x^2-1)^2} \]

Le numérateur \(-(x^2+1)\) est toujours négatif (puisque \(x^2+1\geq1>0\)) et le dénominateur est toujours positif. Donc \(f'(x)<0\) sur l'ensemble du domaine : la fonction est strictement décroissante sur chaque intervalle et n'a pas d'extremum.

Résultat

\[ \boxed{f \text{ strictement décroissante sur chaque intervalle du domaine, aucun extremum}} \]

Graphique de la fonction

Fonction paire, de domaine \((-\infty,-2]\cup[2,+\infty)\), de zéros \(x=\pm2\), avec asymptotes obliques \(y=\pm x\).

Domaine et symétries

L'expression sous le radical doit être positive ou nulle : \(x^2-4\geq0\) si et seulement si \((x-2)(x+2)\geq0\), c'est-à-dire \(x\leq-2\) ou \(x\geq2\). Le domaine est donc \(\mathcal{D}=(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)\). Comme \(f(-x)=\sqrt{(-x)^2-4}=\sqrt{x^2-4}=f(x)\), la fonction est paire.

Intersections avec les axes et signe

Les bornes du domaine \(x=\pm2\) sont les seuls zéros, car en ces points l'argument de la racine vaut zéro. Il n'y a pas d'intersection avec l'axe \(y\) puisque \(0\notin\mathcal{D}\). La fonction est positive ou nulle par construction : \(f(x)\geq0\) toujours.

Asymptotes obliques

Lorsque \(x\to+\infty\), on calcule d'abord le coefficient directeur :

\[ m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^2-4}}{x}=\lim_{x\to+\infty}\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}=1 \]

Puis l'ordonnée à l'origine :

\[ q=\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)=\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2-4}-x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{(x^2-4)-x^2}{\sqrt{x^2-4}+x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-4}{\sqrt{x^2-4}+x}=0 \]

L'asymptote en \(+\infty\) est \(y=x\). Par symétrie (fonction paire), l'asymptote en \(-\infty\) est \(y=-x\).

Dérivée première et sens de variation

On calcule \(f'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2-4}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-4}}\). Pour \(x>2\), le numérateur est positif : la fonction est croissante. Pour \(x<-2\), le numérateur est négatif : la fonction est décroissante. Les points \(x=\pm2\) sont des minima absolus avec \(f(\pm2)=0\).

Résultat

\[ \boxed{\text{minima en }(\pm2,0),\quad \text{asymptotes obliques }y=\pm x} \]

Graphique de la fonction

Domaine \(\mathbb{R}\), zéro en \(x=0\), maximum en \((1,e^{-1})\), point d'inflexion en \((2,2e^{-2})\), asymptote horizontale \(y=0\).

Domaine et symétries

La fonction est définie sur \(\mathbb{R}\). Elle n'est ni paire, ni impaire.

Intersections avec les axes et signe

On a \(f(0)=0\). Comme \(e^{-x}>0\) pour tout \(x\), le signe de \(f\) coïncide avec celui de \(x\) :

\[ f(x)>0 \iff x>0 \qquad f(x)<0 \iff x<0 \]

Limites et asymptotes

Lorsque \(x\to+\infty\), l'exponentielle décroissante \(e^{-x}\) tend vers zéro bien plus vite que \(x\) ne croît, d'où \(f(x)\to0\) : il existe une asymptote horizontale \(y=0\). En revanche, lorsque \(x\to-\infty\), on a \(e^{-x}\to+\infty\) et \(x\to-\infty\), donc \(f(x)\to-\infty\).

Dérivée première et sens de variation

En appliquant la règle de dérivation du produit :

\[ f'(x)=1\cdot e^{-x}+x\cdot(-e^{-x})=e^{-x}(1-x) \]

Comme \(e^{-x}>0\) toujours, le signe de \(f'\) dépend de \((1-x)\) :

Le point \(x=1\) est un maximum absolu avec \(f(1)=e^{-1}\).

Dérivée seconde et points d'inflexion

On calcule :

\[ f''(x)=-e^{-x}(1-x)+e^{-x}(-1)=e^{-x}(x-2) \]

Comme \(e^{-x}>0\), le signe de \(f''\) dépend de \((x-2)\) : la fonction a sa concavité tournée vers le bas pour \(x<2\) et tournée vers le haut pour \(x>2\). En \(x=2\), la concavité change : le point \((2,2e^{-2})\) est un point d'inflexion.

Résultat

\[ \boxed{\max(1,e^{-1}),\quad \text{inflexion en }(2,2e^{-2}),\quad \text{asymptote }y=0} \]

Graphique de la fonction

Fonction paire, de domaine \((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\), d'asymptotes verticales \(x=\pm1\), de zéros \(x=\pm\sqrt{2}\), avec concavité tournée vers le bas.

Domaine et symétries

Le logarithme n'est défini que pour un argument strictement positif : il faut résoudre \(x^2-1>0\), soit \((x-1)(x+1)>0\), ce qui donne \(x<-1\) ou \(x>1\). Le domaine est donc \(\mathcal{D}=(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\). Comme \(f(-x)=\ln(x^2-1)=f(x)\), la fonction est paire.

Intersections avec les axes

Il n'y a pas d'intersection avec l'axe \(y\) puisque \(0\notin\mathcal{D}\). Pour trouver les zéros, on pose \(\ln(x^2-1)=0\), soit \(x^2-1=1\), d'où \(x^2=2\) et donc \(x=\pm\sqrt{2}\).

Signe

Le logarithme est positif lorsque son argument est strictement supérieur à \(1\), c'est-à-dire lorsque \(x^2-1>1\), soit \(|x|>\sqrt{2}\). Il est négatif pour \(1<|x|<\sqrt{2}\).

Asymptotes

Au voisinage de \(x=1^+\), l'argument \(x^2-1\to0^+\), donc \(\ln(x^2-1)\to-\infty\) : la droite \(x=1\) est une asymptote verticale. Par symétrie, \(x=-1\) l'est également. Lorsque \(x\to+\infty\), la fonction tend vers \(+\infty\) : il n'y a pas d'asymptote horizontale.

Dérivée première et sens de variation (pour \(x>1\))

En dérivant à l'aide de la règle de dérivation des fonctions composées :

\[ f'(x)=\frac{1}{x^2-1}\cdot2x=\frac{2x}{x^2-1} \]

Pour \(x>1\), le numérateur \(2x\) et le dénominateur \(x^2-1\) sont tous deux positifs, d'où \(f'(x)>0\) : la fonction est croissante sur \((1,+\infty)\). Par symétrie, elle est décroissante sur \((-\infty,-1)\). Aucun extremum relatif n'apparaît.

Dérivée seconde et concavité

On calcule :

\[ f''(x)=\frac{2(x^2-1)-2x\cdot2x}{(x^2-1)^2}=\frac{-2x^2-2}{(x^2-1)^2}=\frac{-2(x^2+1)}{(x^2-1)^2} \]

Comme \(x^2+1>0\) toujours, on a \(f''(x)<0\) sur l'ensemble du domaine : la courbe a partout sa concavité tournée vers le bas et ne présente aucun point d'inflexion.

Résultat

\[ \boxed{\text{zéros en }x=\pm\sqrt{2},\quad \text{asymptotes }x=\pm1,\quad \text{concavité vers le bas}} \]

Graphique de la fonction

Domaine \(\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\), « trou » en \(x=1\), asymptote verticale \(x=-1\), asymptote horizontale \(y=1\), zéro en \(x=2\), strictement croissante.

Simplification préalable

Avant de procéder, il convient de factoriser numérateur et dénominateur :

\[ f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)} \]

Le facteur \((x-1)\) est commun : on simplifie et on obtient la forme réduite \(g(x)=\dfrac{x-2}{x+1}\), valable pour \(x\neq1\). En \(x=1\), la fonction d'origine n'est pas définie, mais la limite existe et est finie :

\[ \lim_{x\to1}f(x)=\frac{1-2}{1+1}=-\frac{1}{2} \]

Il s'agit d'une discontinuité apparente.

Domaine

Le dénominateur d'origine s'annule en \(x=\pm1\), donc \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\).

Intersections avec les axes et signe

Avec l'axe \(y\) : \(f(0)=\tfrac{0-2}{0+1}=-2\). Avec l'axe \(x\) : le numérateur réduit s'annule en \(x=2\), unique zéro de la fonction. L'étude du signe se fait sur la forme réduite : \(\dfrac{x-2}{x+1}>0\) pour \(x<-1\) ou \(x>2\).

Asymptotes

Asymptote verticale. En \(x=-1\), le dénominateur réduit s'annule tandis que le numérateur vaut \(-3\neq0\) : la droite \(x=-1\) est une asymptote verticale. (En \(x=1\), il y a en revanche un trou, et non une asymptote.)

Asymptote horizontale. Lorsque \(x\to\pm\infty\), on a :

\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{x-2}{x+1}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1-2/x}{1+1/x}=1 \]

La droite \(y=1\) est une asymptote horizontale.

Dérivée première et sens de variation

En dérivant la forme réduite à l'aide de la règle de dérivation du quotient :

\[ f'(x)=\frac{1\cdot(x+1)-(x-2)\cdot1}{(x+1)^2}=\frac{3}{(x+1)^2} \]

Comme \((x+1)^2>0\) toujours, on a \(f'(x)>0\) sur l'ensemble du domaine : la fonction est strictement croissante sur \((-\infty,-1)\), sur \((-1,1)\) et sur \((1,+\infty)\). Elle ne présente aucun extremum.

Résultat

\[ \boxed{\text{trou en }x=1,\quad \text{asymptotes }x=-1\text{ et }y=1,\quad \text{zéro en }x=2} \]

Graphique de la fonction

Parabole de zéros \(x=-1\) et \(x=3\), avec un minimum absolu en \((1,-4)\).

Domaine et symétries

Le domaine est \(\mathbb{R}\). La fonction n'est ni paire, ni impaire. L'axe de symétrie de la parabole est la droite verticale \(x=1\), obtenue à partir de la formule \(x_S = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2} = 1\).

Intersections avec les axes

Avec l'axe \(y\) : on calcule \(f(0) = -3\), ce qui donne le point \((0,-3)\).
Avec l'axe \(x\) : en résolvant \(x^2-2x-3=0\) (par factorisation \((x-3)(x+1)=0\) ou par la formule du discriminant), on obtient \(x=-1\) et \(x=3\).

Étude du signe

Comme le coefficient de \(x^2\) est positif (\(a=1\)), la parabole a sa concavité tournée vers le haut. La fonction est positive pour les valeurs extérieures aux zéros et négative pour les valeurs intérieures : \[ f(x) > 0 \iff x < -1 \lor x > 3 \qquad f(x) < 0 \iff -1 < x < 3 \]

Limites et asymptotes

S'agissant d'un polynôme du second degré : \[ \lim_{x\to\pm\infty} f(x) = +\infty \] Aucune asymptote horizontale, verticale ou oblique n'existe.

Dérivée première et sens de variation

La dérivée première est \(f'(x) = 2x - 2\). En posant \(f'(x) = 0\), on trouve le point critique en \(x=1\). En étudiant le signe de la dérivée (\(2x-2 > 0 \implies x > 1\)), on confirme que la fonction décroît pour \(x < 1\) et croît pour \(x > 1\). Le point \(S(1, -4)\) est le minimum absolu de la fonction.

Dérivée seconde et concavité

On a \(f''(x) = 2\). La dérivée seconde étant constamment positive, la fonction a toujours sa concavité tournée vers le haut et ne présente aucun point d'inflexion.

Résultat final

\[ \boxed{\text{Zéros : } x=-1, 3; \quad \text{Minimum absolu : } (1,-4)} \]

Graphique de la fonction

Zéros en \(x=0\) et \(x=3\) (double), maximum relatif en \((1,4)\), minimum relatif en \((3,0)\), point d'inflexion en \((2,2)\).

Domaine et symétries

Le domaine est \(\mathbb{R}\). La fonction n'est ni paire, ni impaire.

Intersections avec les axes

Avec l'axe \(y\) : \(f(0)=0\). En factorisant \(x\), on obtient \(f(x)=x(x^2-6x+9)=x(x-3)^2\) : les zéros sont \(x=0\) et \(x=3\). Comme \(x=3\) est un zéro de multiplicité deux, la courbe touche l'axe \(x\) en ce point sans le traverser.

Étude du signe

À partir du produit \(x(x-3)^2\), le facteur \((x-3)^2\) est toujours positif ou nul. Le signe de \(f\) ne dépend donc que de \(x\) :

\[ f(x)>0 \iff x>0,\;x\neq3 \qquad f(x)<0 \iff x<0 \]

Limites et asymptotes

Comme toute fonction cubique à coefficient dominant positif, \(f(x)\to+\infty\) lorsque \(x\to+\infty\) et \(f(x)\to-\infty\) lorsque \(x\to-\infty\). Aucune asymptote n'existe.

Dérivée première et sens de variation

On calcule \(f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)\), qui s'annule en \(x=1\) et \(x=3\).

Le point \(x=1\) est un maximum relatif avec \(f(1)=1-6+9=4\). Le point \(x=3\) est un minimum relatif avec \(f(3)=0\) : la courbe touche l'axe \(x\) avec une tangente horizontale.

Dérivée seconde et points d'inflexion

On calcule \(f''(x)=6x-12=6(x-2)\), qui s'annule en \(x=2\). La dérivée seconde est négative pour \(x<2\) (concavité tournée vers le bas) et positive pour \(x>2\) (concavité tournée vers le haut) : le point \((2,\,f(2))=(2,\,8-24+18)=(2,2)\) est un point d'inflexion.

Résultat

\[ \boxed{\max(1,4),\quad \min(3,0),\quad \text{inflexion en }(2,2)} \]

Graphique de la fonction

Domaine \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\), asymptote verticale \(x=2\), asymptote horizontale \(y=1\), zéro en \(x=-1\), strictement décroissante sur chaque branche.

Domaine et symétries

Le dénominateur s'annule en \(x=2\), donc \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{2\}\). La fonction ne présente aucune symétrie (ni paire, ni impaire).

Intersections avec les axes et signe

Avec l'axe \(y\) : on calcule \(f(0) = \frac{1}{-2} = -0,5\).
Avec l'axe \(x\) : on pose le numérateur \(x+1=0\), ce qui donne \(x=-1\).

L'étude du signe du quotient conduit à : \[ f(x)>0 \iff x < -1 \lor x > 2 \qquad f(x)<0 \iff -1 < x < 2 \]

Asymptotes

Asymptote verticale : Calculons les limites lorsque \(x \to 2\) : \[ \lim_{x\to2^+} \frac{x+1}{x-2} = +\infty, \quad \lim_{x\to2^-} \frac{x+1}{x-2} = -\infty \] La droite \(x=2\) est une asymptote verticale.

Asymptote horizontale : Comme numérateur et dénominateur sont de même degré : \[ \lim_{x\to\pm\infty} \frac{x+1}{x-2} = 1 \] La droite \(y=1\) est une asymptote horizontale.

Dérivée première et sens de variation

En appliquant la règle de dérivation du quotient : \[ f'(x) = \frac{1\cdot(x-2) - (x+1)\cdot1}{(x-2)^2} = \frac{x-2-x-1}{(x-2)^2} = \frac{-3}{(x-2)^2} \] Comme le numérateur est une constante négative et que le dénominateur est un carré toujours positif, \(f'(x) < 0\) sur l'ensemble du domaine. La fonction est strictement décroissante sur \((-\infty, 2)\) et sur \((2, +\infty)\).

Résultat final

\[ \boxed{\text{Asymptotes : } x=2, y=1; \quad \text{Zéro : } x=-1; \quad \text{Décroissante}} \]

Graphique de la fonction

Fonction paire, de domaine \([-2,2]\), de zéros \(x=\pm2\), avec un maximum absolu en \((0,2)\), et concavité toujours tournée vers le bas.

Domaine et symétries

La condition d'existence du radical impose \(4-x^2 \geq 0 \iff x^2 \leq 4 \iff |x| \leq 2\). Le domaine est \(\mathcal{D}=[-2,2]\).
Comme \(f(-x)=\sqrt{4-(-x)^2}=\sqrt{4-x^2}=f(x)\), la fonction est paire (symétrique par rapport à l'axe \(y\)). Géométriquement, elle représente la partie supérieure du cercle \(x^2 + y^2 = 4\).

Intersections avec les axes et signe

Avec l'axe \(y\) : \(f(0) = \sqrt{4} = 2\).
Avec l'axe \(x\) : \(f(x) = 0 \iff 4-x^2 = 0 \iff x = \pm 2\).
La fonction est toujours positive ou nulle (\(f(x) \geq 0\)) sur son domaine.

Dérivée première et sens de variation

Calculons la dérivée première : \[ f'(x) = \frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{4-x^2}} \] La dérivée s'annule en \(x=0\). En étudiant son signe sur le domaine ouvert \((-2, 2)\) : \[ f'(x) > 0 \iff -x > 0 \iff x < 0 \quad (\text{croissante}) \] \[ f'(x) < 0 \iff -x < 0 \iff x > 0 \quad (\text{décroissante}) \] Le point \((0,2)\) est un maximum absolu. Aux bornes \(x = \pm 2\), la limite de la dérivée tend vers \(\infty\), ce qui indique des tangentes verticales.

Dérivée seconde et concavité

Calculons la dérivée seconde : \[ f''(x) = \frac{-1 \cdot \sqrt{4-x^2} - (-x) \cdot \frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}}{4-x^2} = \frac{-(4-x^2) - x^2}{(4-x^2)\sqrt{4-x^2}} = \frac{-4}{(4-x^2)^{3/2}} \] Comme le dénominateur est toujours positif et le numérateur vaut \(-4\), on a \(f''(x) < 0\) pour tout \(x \in (-2,2)\). La fonction a toujours sa concavité tournée vers le bas.

Résultat final

\[ \boxed{\text{Demi-cercle : Max}(0,2), \text{ Zéros } x=\pm 2, \text{ Concavité vers le bas}} \]

Graphique de la fonction

Fonction paire, de domaine \(\mathbb{R}\), toujours positive, avec un maximum absolu en \((0,1)\), une asymptote horizontale \(y=0\) et des points d'inflexion en \(\left(\pm\frac{\sqrt{2}}{2},\,e^{-1/2}\right)\).

Domaine et symétries

Le domaine est \(\mathbb{R}\). Comme \(f(-x) = e^{-(-x)^2} = e^{-x^2} = f(x)\), la fonction est paire : la courbe est symétrique par rapport à l'axe \(y\).

Intersections avec les axes et signe

Comme la fonction exponentielle est toujours strictement positive (\(e^{-x^2} > 0\)), il n'existe aucune intersection avec l'axe \(x\).
L'intersection avec l'axe \(y\) se trouve au point \((0,1)\).

Limites et asymptotes

Calculons le comportement à l'infini : \[ \lim_{x\to\pm\infty} e^{-x^2} = 0 \] L'axe \(x\) (droite \(y=0\)) est une asymptote horizontale de la fonction.

Dérivée première et sens de variation

En utilisant la règle de la chaîne : \[ f'(x) = -2x \cdot e^{-x^2} \] Le signe de la dérivée ne dépend que du facteur \(-2x\) :

• \(f'(x) > 0\) pour \(x < 0\) (fonction croissante)
• \(f'(x) < 0\) pour \(x > 0\) (fonction décroissante)

Le point \((0,1)\) est un maximum absolu.

Dérivée seconde et concavité

En dérivant à nouveau \(f'(x)\) à l'aide de la règle de dérivation du produit : \[ f''(x) = -2 \cdot e^{-x^2} + (-2x) \cdot (-2x \cdot e^{-x^2}) = e^{-x^2}(4x^2 - 2) = 2e^{-x^2}(2x^2 - 1) \] Les points d'inflexion se trouvent là où \(2x^2 - 1 = 0\), soit \(x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}\).
La concavité est tournée vers le haut pour \(x < -\frac{\sqrt{2}}{2}\) et \(x > \frac{\sqrt{2}}{2}\), tandis qu'elle est tournée vers le bas dans l'intervalle central.

Résultat final

\[ \boxed{\text{Max}(0,1); \quad \text{Inflexions : } \left(\pm\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{\sqrt{e}}\right); \quad \text{Asymptote : } y=0} \]

Graphique de la fonction

Domaine \((0,+\infty)\), zéro en \(x=1\), maximum absolu en \((e,\,e^{-1})\), point d'inflexion en \((e^{3/2},\,\frac{3}{2}e^{-3/2})\), asymptotes \(x=0\) et \(y=0\).

Domaine et symétries

La fonction est définie pour \(x > 0\) à cause du logarithme. Le dénominateur \(x\) ne s'annule pas dans le domaine, donc \(\mathcal{D}=(0,+\infty)\). Elle ne présente aucune symétrie par rapport à l'origine ou à l'axe \(y\).

Intersections avec les axes et signe

Avec l'axe \(x\) : on pose \(\ln x = 0\), d'où \(x=1\).
Le signe de \(f(x)\) ne dépend que du numérateur, puisque le dénominateur est toujours positif sur le domaine : \[ f(x) > 0 \iff x > 1 \qquad f(x) < 0 \iff 0 < x < 1 \]

Limites et asymptotes

Asymptote verticale : Lorsque \(x \to 0^+\), le numérateur tend vers \(-\infty\) et le dénominateur vers \(0^+\), d'où : \[ \lim_{x\to 0^+} \frac{\ln x}{x} = -\infty \] La droite \(x=0\) est une asymptote verticale.

Asymptote horizontale : Lorsque \(x \to +\infty\), par croissances comparées (la croissance linéaire l'emporte sur la croissance logarithmique) : \[ \lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0 \] La droite \(y=0\) est une asymptote horizontale.

Dérivée première et sens de variation

En appliquant la règle de dérivation du quotient : \[ f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2} \] La dérivée s'annule pour \(\ln x = 1\), soit \(x=e\).
En étudiant le signe : \(f'(x) > 0\) pour \(x < e\) (croissante) et \(f'(x) < 0\) pour \(x > e\) (décroissante).
Le point \((e, e^{-1})\) est un maximum absolu.

Dérivée seconde et points d'inflexion

En dérivant à nouveau : \[ f''(x) = \frac{-\frac{1}{x} \cdot x^2 - (1 - \ln x) \cdot 2x}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x \ln x}{x^4} = \frac{2\ln x - 3}{x^3} \] La dérivée seconde s'annule pour \(\ln x = 3/2\), soit \(x = e^{3/2}\). En ce point, la fonction présente un point d'inflexion, passant d'une concavité tournée vers le bas à une concavité tournée vers le haut.

Résultat final

\[ \boxed{\text{Max}(e, 1/e); \quad \text{Inflexion : } (e^{3/2}, 3/2e^{-3/2}); \quad \text{Asymptotes : } x=0, y=0} \]

Graphique de la fonction

Domaine \(\mathbb{R}\), zéro double en \(x=0\), minimum en \((0,0)\), maximum en \((2,4e^{-2})\), points d'inflexion en \((2\pm\sqrt{2},\,f(2\pm\sqrt{2}))\), asymptote \(y=0\).

Domaine et symétries

Le domaine est \(\mathbb{R}\). La fonction n'est ni paire, ni impaire.

Intersections avec les axes et signe

L'unique zéro est \(x=0\) (double, puisque \(e^{-x}>0\) toujours). La courbe touche l'axe \(x\) à l'origine sans le traverser : \(f(x)\geq0\) pour tout \(x\).

Limites et asymptotes

Lorsque \(x\to+\infty\), l'exponentielle décroissante l'emporte sur le polynôme : \(f(x)\to0\), donc \(y=0\) est une asymptote horizontale. En revanche, lorsque \(x\to-\infty\), on a \(e^{-x}\to+\infty\) et \(x^2\to+\infty\) : \(f(x)\to+\infty\).

Dérivée première et sens de variation

En appliquant la règle de dérivation du produit :

\[ f'(x)=2x\cdot e^{-x}+x^2\cdot(-e^{-x})=e^{-x}(2x-x^2)=e^{-x}\cdot x(2-x) \]

Comme \(e^{-x}>0\), le signe de \(f'\) dépend du produit \(x(2-x)\) :

Le point \(x=0\) est un minimum avec \(f(0)=0\), le point \(x=2\) est un maximum avec \(f(2)=4e^{-2}\).

Dérivée seconde et points d'inflexion

En dérivant \(f'(x)=e^{-x}(2x-x^2)\) :

\[ f''(x)=-e^{-x}(2x-x^2)+e^{-x}(2-2x)=e^{-x}(x^2-4x+2) \]

Cette expression s'annule pour \(x^2-4x+2=0\), soit \(x=2\pm\sqrt{2}\). En ces deux points, la concavité change : on obtient deux points d'inflexion en \(x_1=2-\sqrt{2}\approx0,59\) et \(x_2=2+\sqrt{2}\approx3,41\).

Résultat

\[ \boxed{\min(0,0),\quad \max(2,4e^{-2}),\quad \text{inflexions en }x=2\pm\sqrt{2},\quad \text{asymptote }y=0} \]

Graphique de la fonction

Fonction paire, de domaine \(\mathbb{R}\), de zéros \(x=\pm1\), avec un minimum absolu en \((0,-1)\), une asymptote horizontale \(y=1\) et des points d'inflexion en \(\left(\pm\frac{\sqrt{3}}{3},\,-\frac{1}{2}\right)\).

Domaine et symétries

Le dénominateur \(x^2+1\) est toujours supérieur ou égal à \(1\), il ne s'annule donc jamais. Le domaine est \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\).
Comme \(f(-x) = \frac{(-x)^2-1}{(-x)^2+1} = f(x)\), la fonction est paire (symétrique par rapport à l'axe \(y\)).

Intersections avec les axes et signe

Avec l'axe \(y\) : \(f(0) = \frac{-1}{1} = -1\).
Avec l'axe \(x\) : \(x^2-1=0 \implies x = \pm 1\).
Le signe de la fonction est positif pour \(|x| > 1\) et négatif pour \(-1 < x < 1\).

Asymptotes

Il n'y a pas d'asymptote verticale. Vérifions le comportement à l'infini : \[ \lim_{x\to\pm\infty} \frac{x^2-1}{x^2+1} = 1 \] La droite \(y=1\) est une asymptote horizontale. Comme \(f(x) = 1 - \frac{2}{x^2+1}\), la fonction reste toujours en dessous de l'asymptote.

Dérivée première et sens de variation

En appliquant la règle de dérivation du quotient : \[ f'(x) = \frac{2x(x^2+1) - (x^2-1)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^3+2x-2x^3+2x}{(x^2+1)^2} = \frac{4x}{(x^2+1)^2} \] Le signe de \(f'(x)\) est déterminé par le numérateur \(4x\) :

• \(f'(x) < 0\) pour \(x < 0\) (décroissante)
• \(f'(x) > 0\) pour \(x > 0\) (croissante)

Le point \((0, -1)\) est un minimum absolu.

Dérivée seconde et points d'inflexion

Calculons \(f''(x)\) : \[ f''(x) = \frac{4(x^2+1)^2 - 4x[2(x^2+1) \cdot 2x]}{(x^2+1)^4} = \frac{4(x^2+1) - 16x^2}{(x^2+1)^3} = \frac{4(1-3x^2)}{(x^2+1)^3} \] La dérivée seconde s'annule pour \(1-3x^2 = 0 \implies x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}\).
En ces points (\(x \approx \pm 0,58\)), on obtient deux points d'inflexion d'ordonnée \(y = -1/2\).

Résultat final

\[ \boxed{\text{Min}(0,-1); \quad \text{Asymptote } y=1; \quad \text{Inflexions } \left(\pm\frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{1}{2}\right)} \]

Graphique de la fonction

Domaine \((0,+\infty)\), aucun zéro (fonction toujours positive), minimum absolu en \((1,1)\), concavité toujours tournée vers le haut.

Domaine et symétries

En raison de la présence du logarithme, on doit avoir \(x > 0\). Le domaine est donc \(\mathcal{D}=(0,+\infty)\). La fonction ne présente aucune symétrie.

Intersections avec les axes et signe

Il n'y a pas d'intersection avec l'axe \(y\) (\(0 \notin \mathcal{D}\)). Pour les zéros, l'équation \(x = \ln x\) n'a pas de solution réelle (la droite \(y=x\) reste toujours au-dessus de la courbe \(y=\ln x\)). L'étude du minimum montrera que la fonction est toujours positive.

Limites et asymptotes

Asymptote verticale : Lorsque \(x \to 0^+\), on a \(0 - (-\infty) = +\infty\). La droite \(x=0\) est une asymptote verticale.
Comportement à l'infini : Lorsque \(x \to +\infty\), par croissances comparées, le terme linéaire l'emporte sur le terme logarithmique : \[ \lim_{x\to +\infty} (x - \ln x) = +\infty \] Aucune asymptote horizontale ou oblique n'existe.

Dérivée première et sens de variation

Calculons la dérivée première : \[ f'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x} \] Comme \(x > 0\), le signe ne dépend que de \(x-1\) :

• \(f'(x) < 0\) pour \(0 < x < 1\) (décroissante)
• \(f'(x) > 0\) pour \(x > 1\) (croissante)

Le point \((1,1)\) est un minimum absolu. Comme l'ordonnée du minimum est positive (\(y=1\)), il est confirmé que la fonction n'a pas de zéro.

Dérivée seconde et concavité

Calculons la dérivée seconde : \[ f''(x) = \frac{1}{x^2} \] Comme \(1/x^2\) est toujours positif sur le domaine, la fonction a constamment sa concavité tournée vers le haut et ne présente aucun point d'inflexion.

Résultat final

\[ \boxed{\text{Min}(1,1); \quad \text{Asymptote : } x=0; \quad \text{Toujours positive}} \]

Graphique de la fonction

Domaine \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\), asymptote verticale \(x=-1\), asymptote oblique \(y=x-3\), maximum relatif en \((-3,-8)\), minimum relatif en \((1,0)\).

Domaine et symétries

La fonction est définie pour tout \(x\) tel que le dénominateur soit non nul : \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\). Aucune symétrie évidente n'est présente.

Intersections et signe

L'intersection avec l'axe \(y\) est \(f(0) = 1\). 
L'unique intersection avec l'axe \(x\) se trouve en \(x=1\). Comme le numérateur est un carré parfait, le zéro est double : la courbe est tangente à l'axe \(x\) sans le traverser. 
Le signe de la fonction dépend exclusivement du dénominateur : \(f(x) > 0\) pour \(x > -1\) et \(f(x) < 0\) pour \(x < -1\).

Asymptotes

Asymptote verticale : Comme \(\lim_{x\to -1} f(x) = \infty\), la droite \(x=-1\) est une asymptote verticale.

Asymptote oblique : En effectuant la division euclidienne des polynômes ou en remarquant que : \[ f(x) = \frac{x^2-2x+1}{x+1} = x - 3 + \frac{4}{x+1} \] On en déduit immédiatement que la droite \(y = x - 3\) est l'asymptote oblique.

Dérivée première et sens de variation

Calculons \(f'(x)\) en appliquant la règle de dérivation du quotient : \[ f'(x) = \frac{2(x-1)(x+1) - (x-1)^2}{(x+1)^2} = \frac{(x-1)(x+3)}{(x+1)^2} \] Les zéros de la dérivée sont \(x=1\) et \(x=-3\). En étudiant le signe du produit au numérateur :

• Croissante sur \((-\infty, -3)\) et \((1, +\infty)\)
• Décroissante sur \((-3, -1)\) et \((-1, 1)\)

On obtient un maximum relatif en \((-3, -8)\) et un minimum relatif en \((1, 0)\).

Résultat final

\[ \boxed{\text{Asymptotes : } x=-1, y=x-3; \quad \text{Max}(-3,-8); \quad \text{Min}(1,0)} \]

Graphique de la fonction

Fonction impaire, de domaine \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), avec asymptotes \(x=0\) et \(y=x\), un maximum relatif en \((-1,-2)\) et un minimum relatif en \((1,2)\).

Domaine et symétries

La fonction n'est pas définie pour \(x=0\), donc \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}\).
Vérifions la symétrie : \(f(-x) = -x + \frac{1}{-x} = -(x + \frac{1}{x}) = -f(x)\).
La fonction est impaire : la courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère.

Intersections et signe

Il n'y a pas d'intersection avec l'axe \(x\) puisque \(x + \frac{1}{x} = 0 \implies x^2 + 1 = 0\), équation sans solution réelle. 
Le signe de la fonction est le même que celui de \(x\) : positive pour \(x > 0\) et négative pour \(x < 0\).

Asymptotes

Asymptote verticale : \(\lim_{x\to 0^\pm} f(x) = \pm\infty\). La droite \(x=0\) est une asymptote verticale.
Asymptote oblique : Comme lorsque \(x \to \infty\), le terme \(\frac{1}{x}\) tend vers zéro, la fonction se rapproche indéfiniment de la droite \(y=x\).

Dérivée première et sens de variation

Calculons la dérivée : \[ f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2} \] La dérivée s'annule en \(x = \pm 1\). En étudiant son signe :

• Croissante pour \(x < -1\) et \(x > 1\)
• Décroissante pour \(-1 < x < 0\) et \(0 < x < 1\)

On obtient un maximum relatif en \((-1, -2)\) et un minimum relatif en \((1, 2)\).

Dérivée seconde et concavité

\[ f''(x) = \frac{2}{x^3} \] La concavité est tournée vers le haut pour \(x > 0\) et vers le bas pour \(x < 0\). Aucun point d'inflexion n'existe puisque \(x=0\) n'appartient pas au domaine.

Résultat final

\[ \boxed{\text{Asymptotes : } x=0, y=x; \quad \text{Max}(-1,-2); \quad \text{Min}(1,2)} \]

Graphique de la fonction

Fonction paire, de domaine \(\mathbb{R}\), avec un zéro en \(x=0\), un minimum absolu en \((0,0)\) et des points d'inflexion en \((\pm1,\,\ln 2)\).

Domaine et symétries

L'argument du logarithme \(x^2+1\) est toujours supérieur ou égal à \(1\), donc la fonction est définie sur tout l'ensemble des réels : \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\).
Comme \(f(-x) = \ln((-x)^2+1) = \ln(x^2+1) = f(x)\), la fonction est paire (symétrique par rapport à l'axe \(y\)).

Intersections et signe

L'unique intersection avec les axes se trouve à l'origine \((0,0)\), puisque \(\ln(x^2+1)=0 \iff x^2+1=1 \iff x=0\).
La fonction est toujours positive ou nulle (\(f(x) \geq 0\)) car l'argument du logarithme est toujours \(\geq 1\).

Limites et asymptotes

Lorsque \(x \to \pm\infty\), \(f(x) \to +\infty\).
Il n'y a pas d'asymptote verticale (domaine \(\mathbb{R}\)) ni horizontale. En vérifiant l'asymptote oblique, on remarque que \(\lim_{x\to \infty} f(x)/x = 0\), donc aucune asymptote oblique n'est présente.

Dérivée première et sens de variation

En appliquant la règle de la chaîne : \[ f'(x) = \frac{2x}{x^2+1} \] Le signe de \(f'(x)\) ne dépend que du numérateur \(2x\) :

• Décroissante pour \(x < 0\)
• Croissante pour \(x > 0\)

L'origine \((0,0)\) est un point de minimum absolu.

Dérivée seconde et concavité

En utilisant la règle de dérivation du quotient : \[ f''(x) = \frac{2(x^2+1) - 2x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2} \] La dérivée seconde s'annule pour \(x = \pm 1\).
La concavité est tournée vers le haut pour \(-1 < x < 1\) et vers le bas pour \(|x| > 1\). Les points \((\pm 1, \ln 2)\) sont des points d'inflexion.

Résultat final

\[ \boxed{\text{Min}(0,0); \quad \text{Inflexions : } (\pm 1, \ln 2) \approx (\pm 1; 0,69)} \]

Graphique de la fonction

Domaine \(\mathbb{R}\), fonction toujours positive (aucun zéro), minimum absolu en \((0,1)\), concavité toujours tournée vers le haut.

Domaine et symétries

La fonction est composée de la somme d'une exponentielle et d'un polynôme, tous deux définis partout. Par conséquent, \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\). Aucune symétrie n'est présente (ni paire, ni impaire).

Intersections et signe

L'intersection avec l'axe \(y\) est \(f(0) = e^0 - 0 = 1\). 
En ce qui concerne les zéros, l'équation \(e^x = x\) n'a pas de solution réelle. Comme nous le verrons grâce à l'étude du minimum, la plus petite valeur prise par la fonction est \(1\), ce qui garantit que \(f(x) > 0\) pour tout \(x\).

Limites et asymptotes

En \(+\infty\) : \(\lim_{x\to +\infty} (e^x - x) = +\infty\), car l'exponentielle est un infini d'ordre supérieur à celui de la droite.
En \(-\infty\) : \(\lim_{x\to -\infty} (e^x - x) = 0 - (-\infty) = +\infty\).
Aucune asymptote horizontale ou verticale n'est présente. Malgré la divergence, il n'y a pas non plus d'asymptote oblique.

Dérivée première et sens de variation

Calculons la dérivée : \[ f'(x) = e^x - 1 \] Étudions le signe de \(f'(x)\) :

• \(f'(x) > 0 \iff e^x > 1 \iff x > 0\)
• \(f'(x) < 0 \iff e^x < 1 \iff x < 0\)

La fonction décroît sur \((-\infty, 0)\) et croît sur \((0, +\infty)\). Le point \((0, 1)\) est un minimum absolu.

Dérivée seconde et concavité

\[ f''(x) = e^x \] Comme \(e^x > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\), la fonction a toujours sa concavité tournée vers le haut (convexe) et ne présente aucun point d'inflexion.

Résultat final

\[ \boxed{\text{Min}(0,1); \quad \text{Toujours positive}; \quad \text{Concavité tournée vers le haut}} \]

Graphique de la fonction

Domaine \((0, +\infty)\), zéro en \(x=1\), minimum absolu en \(\left(\frac{1}{e}, -\frac{1}{e}\right)\), concavité toujours tournée vers le haut.

Domaine et symétries

La présence du logarithme impose \(x > 0\). Par conséquent, \(\mathcal{D}=(0, +\infty)\). La fonction ne présente aucune symétrie par rapport à l'axe \(y\) ou à l'origine.

Intersections et signe

L'intersection avec l'axe \(x\) se trouve en \(x\ln x = 0\). Comme \(x=0\) est en dehors du domaine, l'unique solution est \(\ln x = 0 \implies x = 1\). 
Comme pour \(x > 0\) le signe de \(f(x)\) ne dépend que du logarithme :

• \(f(x) < 0\) pour \(0 < x < 1\)
• \(f(x) > 0\) pour \(x > 1\)

Limites et comportement aux bornes

En \(0^+\) : \(\lim_{x\to 0^+} x\ln x\) est une forme indéterminée \(0 \cdot \infty\). 
En appliquant la règle de L'Hôpital sur \(\frac{\ln x}{1/x}\), on obtient \(\lim_{x\to 0^+} (-x) = 0\). 
La courbe « part » de l'origine (point d'accumulation), mais l'origine n'est pas incluse dans la courbe.

En \(+\infty\) : \(\lim_{x\to +\infty} x\ln x = +\infty\). La fonction croît plus rapidement qu'une droite, donc aucune asymptote oblique n'existe.

Dérivée première et sens de variation

Calculons la dérivée du produit : \[ f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1 \] La dérivée s'annule pour \(\ln x = -1 \implies x = e^{-1} = \frac{1}{e}\).

• Décroissante sur \((0, 1/e)\)
• Croissante sur \((1/e, +\infty)\)

Le point \(\left(\frac{1}{e}, -\frac{1}{e}\right)\) est un minimum absolu.

Dérivée seconde et concavité

\[ f''(x) = \frac{1}{x} \] Comme \(x > 0\), la dérivée seconde est toujours positive. La fonction a toujours sa concavité tournée vers le haut.

Résultat final

\[ \boxed{\text{Min}\left(\frac{1}{e}, -\frac{1}{e}\right); \quad \text{Zéro : } x=1; \quad \lim_{x\to 0^+} f(x) = 0} \]

Graphique de la fonction

Fonction impaire, de domaine \(\mathbb{R}\), avec un maximum relatif en \((1, 1/2)\), un minimum relatif en \((-1, -1/2)\), une asymptote horizontale \(y=0\) et des points d'inflexion en \((0,0)\) et \((\pm\sqrt{3}, \pm\frac{\sqrt{3}}{4})\).

Domaine et symétries

Le dénominateur \(x^2+1\) ne s'annule jamais dans le corps des réels (\(x^2+1 \geq 1\)). Par conséquent, \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\). 
Vérifions la symétrie : \(f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2+1} = -\frac{x}{x^2+1} = -f(x)\). 
La fonction est impaire : la courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère.

Intersections et signe

La courbe coupe les axes uniquement à l'origine \((0,0)\). 
Comme le dénominateur est toujours positif, le signe de la fonction ne dépend que du numérateur : \(f(x) > 0\) pour \(x > 0\) et \(f(x) < 0\) pour \(x < 0\).

Asymptotes

Il n'y a pas d'asymptote verticale. 
Calculons la limite lorsque \(x \to \infty\) : \[ \lim_{x\to \pm\infty} \frac{x}{x^2+1} = 0 \] L'axe des abscisses (droite \(y=0\)) est une asymptote horizontale.

Dérivée première et sens de variation

En appliquant la règle de dérivation du quotient : \[ f'(x) = \frac{1(x^2+1) - x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2} \] Les zéros de la dérivée sont \(x = \pm 1\). En étudiant le signe du numérateur \((1-x)(1+x)\) :

• Croissante pour \(-1 < x < 1\)
• Décroissante pour \(x < -1\) et \(x > 1\)

On obtient un minimum relatif en \((-1, -1/2)\) et un maximum relatif en \((1, 1/2)\).

Dérivée seconde et points d'inflexion

Calculons la dérivée seconde : \[ f''(x) = \frac{-2x(x^2+1)^2 - (1-x^2)[2(x^2+1) \cdot 2x]}{(x^2+1)^4} = \frac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3} \] La dérivée seconde s'annule pour \(x = 0\) et \(x = \pm \sqrt{3}\). 
En ces trois points la concavité change, ce qui identifie trois points d'inflexion :

• \(F_1(0, 0)\)
• \(F_{2,3}(\pm\sqrt{3}, \pm\frac{\sqrt{3}}{4})\) avec ordonnée \(\approx \pm 0,43\)

Résultat final

\[ \boxed{\text{Max}(1, 1/2); \quad \text{Min}(-1, -1/2); \quad \text{3 points d'inflexion}} \]

Graphique de la fonction

Domaine \((0, +\infty)\), zéro en \(x=1\), minimum absolu en \(\left(\frac{1}{\sqrt{e}}, -\frac{1}{2e}\right)\), point d'inflexion en \(\left(e^{-3/2}, -\frac{3}{2e^3}\right)\).

Domaine et symétries

Le domaine est imposé par la condition d'existence du logarithme : \(\mathcal{D}=(0, +\infty)\). La fonction ne présente aucune symétrie.

Intersections et signe

L'unique intersection avec l'axe \(x\) se trouve en \(x^2\ln x = 0 \implies \ln x = 0 \implies x = 1\). 
Comme \(x^2 > 0\) sur tout le domaine, le signe de \(f(x)\) est déterminé exclusivement par \(\ln x\) :

\(f(x) < 0\) pour \(x \in (0, 1)\)

\(f(x) > 0\) pour \(x \in (1, +\infty)\)

Comportement aux bornes

En \(0^+\) : \(\lim_{x\to 0^+} x^2\ln x = 0\) (par croissances comparées ou règle de L'Hôpital). La courbe « se referme » sur l'origine. 
En \(+\infty\) : \(\lim_{x\to +\infty} x^2\ln x = +\infty\). La croissance est supérieure à celle de toute droite, donc aucune asymptote oblique n'existe.

Dérivée première et sens de variation

\[ f'(x) = 2x\ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = x(2\ln x + 1) \] Étudions \(f'(x) \geq 0\) : comme \(x > 0\), résolvons \(2\ln x + 1 \geq 0 \implies \ln x \geq -1/2 \implies x \geq e^{-1/2}\).

• Décroissante sur \((0, 1/\sqrt{e})\)
• Croissante sur \((1/\sqrt{e}, +\infty)\)

Le point \(\left(\frac{1}{\sqrt{e}}, -\frac{1}{2e}\right)\) est un minimum absolu.

Dérivée seconde et concavité

\[ f''(x) = (2\ln x + 1) + x \cdot \frac{2}{x} = 2\ln x + 3 \] Elle s'annule pour \(\ln x = -3/2 \implies x = e^{-3/2}\). 
La fonction a sa concavité tournée vers le bas pour \(x < e^{-3/2}\) et vers le haut pour \(x > e^{-3/2}\). 
Le point \(F(e^{-3/2}, -3/2e^3)\) est un point d'inflexion.

Résultat final

\[ \boxed{\text{Min}\left(\frac{1}{\sqrt{e}}, -\frac{1}{2e}\right); \quad \text{Inflexion : } x=e^{-1,5} \approx 0,22} \]

Graphique de la fonction

Domaine \((0, +\infty)\), asymptote verticale \(x=0\), minimum absolu en \((1, 2)\), point d'inflexion en \(\left(3, \frac{4\sqrt{3}}{3}\right)\).

Domaine et symétries

La condition d'existence de la racine au dénominateur impose \(x > 0\). Par conséquent, \(\mathcal{D}=(0, +\infty)\). La fonction ne présente aucune symétrie puisque le domaine n'est pas symétrique par rapport à l'origine.

Intersections et signe

Il n'y a pas d'intersection avec l'axe \(y\) (\(0 \notin \mathcal{D}\)). 
Il n'y a pas d'intersection avec l'axe \(x\) puisque \(x+1=0 \implies x=-1\), valeur en dehors du domaine. 
Comme numérateur et dénominateur sont toujours positifs pour \(x > 0\), la fonction est toujours positive.

Limites et asymptotes

En \(0^+\) : \(\lim_{x\to 0^+} \frac{x+1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{0^+} = +\infty\). La droite \(x=0\) est une asymptote verticale. 
En \(+\infty\) : \(\lim_{x\to +\infty} \frac{x+1}{\sqrt{x}} = +\infty\). 
Vérifions l'asymptote oblique : \(m = \lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to +\infty} \frac{x+1}{x\sqrt{x}} = 0\). Aucune asymptote oblique n'existe (la fonction croît comme \(\sqrt{x}\)).

Dérivée première et sens de variation

En réécrivant \(f(x) = x^{1/2} + x^{-1/2}\), la dérivée s'obtient plus facilement : \[ f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} - \frac{1}{2}x^{-3/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2x\sqrt{x}} = \frac{x-1}{2x\sqrt{x}} \] Le signe ne dépend que de \(x-1\) :

• Décroissante sur \((0, 1)\)
• Croissante sur \((1, +\infty)\)

Le point \((1, 2)\) est un minimum absolu.

Dérivée seconde et concavité

\[ f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} + \frac{3}{4}x^{-5/2} = \frac{-x+3}{4x^2\sqrt{x}} \] La dérivée seconde s'annule pour \(x = 3\).

• Concavité tournée vers le haut pour \(0 < x < 3\)
• Concavité tournée vers le bas pour \(x > 3\)

Le point \(F(3, 4\sqrt{3}/3)\) est un point d'inflexion.

Résultat final

\[ \boxed{\text{Min}(1,2); \quad \text{Inflexion : } x=3; \quad \text{Asymptote verticale : } x=0} \]

Graphique de la fonction

Fonction paire, de domaine \(\mathbb{R}\setminus\{\pm 1\}\), de zéros \(x=\pm 2\), avec asymptotes verticales \(x=\pm 1\), asymptote horizontale \(y=1\) et un minimum relatif en \((0,4)\).

Domaine et symétries

Le dénominateur s'annule pour \(x^2-1=0 \implies x = \pm 1\). 
Donc \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1, 1\}\). 
Comme \(f(-x) = \frac{(-x)^2-4}{(-x)^2-1} = f(x)\), la fonction est paire : la courbe est symétrique par rapport à l'axe \(y\).

Intersections et signe

Axe \(y\) : \(f(0) = \frac{-4}{-1} = 4\). Le point est \((0,4)\). 
Axe \(x\) : \(x^2-4=0 \implies x = \pm 2\). Les points sont \((\pm 2, 0)\). 
Signe : En étudiant le signe du numérateur et du dénominateur, la fonction est positive pour \(x < -2\), \(-1 < x < 1\) et \(x > 2\). Elle est négative sur les intervalles \((-2, -1)\) et \((1, 2)\).

Asymptotes

Verticales : Au voisinage de \(x=1\), on a \(\lim_{x\to 1^-} f(x) = +\infty\) et \(\lim_{x\to 1^+} f(x) = -\infty\). Par symétrie, il en va de même en \(x=-1\). Les droites \(x = \pm 1\) sont des asymptotes verticales.
Horizontales : \(\lim_{x\to \pm\infty} \frac{x^2-4}{x^2-1} = 1\). La droite \(y = 1\) est l'asymptote horizontale.

Dérivée première et sens de variation

\[ f'(x) = \frac{2x(x^2-1) - 2x(x^2-4)}{(x^2-1)^2} = \frac{6x}{(x^2-1)^2} \] La dérivée ne s'annule qu'en \(x=0\).

• Décroissante pour \(x < 0\) (sauf \(x=-1\))
• Croissante pour \(x > 0\) (sauf \(x=1\))

Le point \((0, 4)\) est un minimum relatif sur la branche centrale de la fonction.

Dérivée seconde et concavité

\[ f''(x) = \frac{6(x^2-1)^2 - 6x \cdot 2(x^2-1) \cdot 2x}{(x^2-1)^4} = \frac{-6(3x^2+1)}{(x^2-1)^3} \] Le numérateur est toujours négatif (\(-6 \cdot \text{positif}\)). Le signe dépend du dénominateur :

• Concavité tournée vers le haut pour \(-1 < x < 1\) (où \(x^2-1 < 0\))
• Concavité tournée vers le bas pour \(|x| > 1\) (où \(x^2-1 > 0\))

Aucun point d'inflexion n'existe.

Résultat final

\[ \boxed{\text{Asymptotes : } x=\pm 1, y=1; \quad \text{Min}(0,4); \quad \text{Zéros : } \pm 2} \]

Graphique de la fonction

Fonction impaire, de domaine \(\mathbb{R}\), avec asymptote oblique \(y=x\), points d'inflexion en \(x=0\) et \(x=\pm\sqrt{3}\), strictement croissante sur l'ensemble du domaine.

Domaine et symétries

Le dénominateur \(1+x^2\) est toujours strictement positif, donc \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\). 
Comme \(f(-x) = \frac{(-x)^3}{1+(-x)^2} = -\frac{x^3}{1+x^2} = -f(x)\), la fonction est impaire : symétrie centrale par rapport à l'origine.

Intersections et signe

L'unique point d'intersection avec les axes est l'origine \((0,0)\). 
Le signe de la fonction suit celui du numérateur \(x^3\) : la fonction est positive pour \(x > 0\) et négative pour \(x < 0\).

Asymptote oblique

En effectuant la division euclidienne des polynômes (ou en ajoutant et soustrayant \(x\) au numérateur) : \[ f(x) = \frac{x^3 + x - x}{1+x^2} = \frac{x(x^2+1) - x}{1+x^2} = x - \frac{x}{x^2+1} \] Lorsque \(x \to \pm\infty\), le terme \(\frac{x}{x^2+1}\) tend vers \(0\). 
Par conséquent, la droite \(y = x\) est une asymptote oblique. 
Comme pour \(x > 0\) on soustrait une quantité positive, la courbe se maintient en dessous de l'asymptote pour les \(x\) positifs (et au-dessus pour les \(x\) négatifs).

Dérivée première et sens de variation

\[ f'(x) = \frac{3x^2(1+x^2) - x^3(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{3x^2 + 3x^4 - 2x^4}{(1+x^2)^2} = \frac{x^2(x^2+3)}{(1+x^2)^2} \] La dérivée n'est nulle qu'en \(x=0\) et est positive pour tout \(x \neq 0\). 
La fonction est donc strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) tout entier. Le point \(x=0\) est un point d'inflexion à tangente horizontale.

Dérivée seconde et concavité

En dérivant à nouveau la forme \(f'(x) = 1 - \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}\) (ou la dérivée précédente) : \[ f''(x) = \frac{2x(3-x^2)}{(1+x^2)^3} \] Les zéros de la dérivée seconde sont \(x = 0\) et \(x = \pm\sqrt{3}\).

• Concavité tournée vers le haut pour \(x < -\sqrt{3}\) et \(0 < x < \sqrt{3}\)
• Concavité tournée vers le bas pour \(-\sqrt{3} < x < 0\) et \(x > \sqrt{3}\)

On obtient trois points d'inflexion : \(F_1(0,0)\) et \(F_{2,3}(\pm\sqrt{3}, \pm\frac{3\sqrt{3}}{4})\).

Résultat final

\[ \boxed{\text{Asymptote : } y=x; \quad \text{Toujours croissante}; \quad \text{3 points d'inflexion}} \]

Graphique de la fonction

Domaine \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), asymptote verticale \(x=0\) (uniquement lorsque \(x \to 0^+\)), asymptote horizontale \(y=1\), toujours décroissante, point d'inflexion en \(\left(-\frac{1}{2}, e^{-2}\right)\).

Domaine et symétries

La fonction est définie pour toute valeur qui n'annule pas le dénominateur de l'exposant : \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). 
Elle ne présente aucune symétrie paire ou impaire, puisque \(f(-x) = e^{-1/x}\), qui est différent à la fois de \(f(x)\) et de \(-f(x)\).

Signe et intersections

S'agissant d'une exponentielle, la fonction est toujours strictement positive (\(f(x) > 0\)) sur son domaine. 
Aucun zéro n'existe, ni d'intersection avec l'axe \(y\) (puisque \(x=0\) est en dehors du domaine).

Limites et asymptotes

Comportement en \(0\) :

• \(\lim_{x\to 0^+} e^{1/x} = e^{+\infty} = +\infty\) (asymptote verticale)
• \(\lim_{x\to 0^-} e^{1/x} = e^{-\infty} = 0\) (limite finie à gauche)

Comportement en \(\pm\infty\) :

• \(\lim_{x\to \pm\infty} e^{1/x} = e^0 = 1\) (asymptote horizontale \(y=1\))

Dérivée première et sens de variation

\[ f'(x) = e^{1/x} \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) = -\frac{e^{1/x}}{x^2} \] Comme \(e^{1/x} > 0\) et \(x^2 > 0\) pour tout \(x \neq 0\), la dérivée est toujours négative. 
La fonction est strictement décroissante sur les deux intervalles \((-\infty, 0)\) et \((0, +\infty)\).

Dérivée seconde et concavité

\[ f''(x) = \frac{e^{1/x}(1+2x)}{x^4} \] Le signe dépend du facteur linéaire \(1+2x\) :

• \(f''(x) > 0\) pour \(x > -1/2\) (avec \(x \neq 0\)) : concavité tournée vers le haut.
• \(f''(x) < 0\) pour \(x < -1/2\) : concavité tournée vers le bas.

Il existe un point d'inflexion en \(x = -1/2\), d'ordonnée \(y = e^{-2} \approx 0,135\).

Résultat final

\[ \boxed{\text{Asymptotes : } x=0^+ \text{ et } y=1; \quad \text{Inflexion en } (-0,5, e^{-2})} \]

Graphique de la fonction