Dans cette page, nous verrons comment calculer la dérivée de la fonction puissance en utilisant deux formes équivalentes du taux d’accroissement : l’une dans la variable \(h\), avec \(h\to 0\), et l’autre dans la variable \(x\), avec \(x\to x_0\).
Soit \(n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\), et considérons la fonction puissance :
\[ f(x)=x^n \]
Les deux formes du taux d’accroissement sont :
\[ \lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h} \qquad , \qquad \lim_{x\to x_0}\frac{x^n-x_0^n}{x-x_0} \]
Sommaire
Limite du taux d’accroissement pour \( h\to 0 \)
Calculons la dérivée de la fonction puissance à l’aide de la définition du taux d’accroissement :
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]
En remplaçant \(f(x)=x^n\), nous obtenons :
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^n-x^n}{h} \]
Appliquons maintenant le théorème du binôme :
\[ (x+h)^n = x^n + nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n \]
En substituant le développement binomial dans le taux d’accroissement :
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{ x^n + nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n - x^n }{h} \]
En simplifiant les termes \(x^n\) :
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{ nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n }{h} \]
En divisant chaque terme par \(h\) :
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \left( nx^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}x^{n-3}h^2 + \cdots + h^{n-1} \right) \]
Lorsque \(h\to 0\), tous les termes contenant des puissances positives de \(h\) tendent vers \(0\). Il reste donc :
\[ f'(x) = nx^{n-1} \]
Nous concluons ainsi que :
\[ \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1} \qquad , \qquad \forall x\in\mathbb{R} \]
Limite du taux d’accroissement pour \( x\to x_0 \)
Calculons maintenant la dérivée de la fonction puissance sous la forme :
\[ f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \]
En remplaçant \(f(x)=x^n\) :
\[ f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{x^n-x_0^n}{x-x_0} \]
Le numérateur est une différence de puissances. Nous utilisons alors la factorisation :
\[ x^n-x_0^n = (x-x_0) \left( x^{n-1} + x^{n-2}x_0 + \cdots + x_0^{n-1} \right) \]
En substituant dans le taux d’accroissement :
\[ f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{ (x-x_0) \left( x^{n-1} + x^{n-2}x_0 + \cdots + x_0^{n-1} \right) }{x-x_0} \]
En simplifiant le facteur \(x-x_0\) :
\[ f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \left( x^{n-1} + x^{n-2}x_0 + \cdots + x_0^{n-1} \right) \]
Lorsque \(x\to x_0\), chaque terme tend vers \(x_0^{\,n-1}\). Comme il y a \(n\) termes égaux à \(x_0^{\,n-1}\), nous obtenons :
\[ f'(x_0) = nx_0^{\,n-1} \]
En conclusion :
\[ f'(x) = nx^{n-1} \qquad , \qquad \forall x\in\mathbb{R} \]