Les radicaux apparaissent comme les opérations réciproques des puissances et permettent de représenter les racines carrées, cubiques et, plus généralement, les racines \(n\)-ièmes. Leur étude exige toutefois une attention particulière, car le sens d'une racine dépend essentiellement de l'indice du radical et du signe du radicande.
Sur cette page, nous introduisons la définition rigoureuse du radical dans les nombres réels, en distinguant avec précision le cas d'un indice pair du cas d'un indice impair. Nous verrons en particulier que, lorsque l'indice est pair, le symbole \(\sqrt[n]{a}\) ne désigne pas toutes les solutions de l'équation \(x^n=a\), mais uniquement la racine principale non négative, lorsqu'elle existe.
Nous étudierons ensuite les conditions d'existence, les propriétés fondamentales des radicaux, la simplification, les opérations sur les radicaux et la rationalisation du dénominateur. La dernière partie sera consacrée aux radicaux comportant des variables ainsi qu'aux premières équations irrationnelles, pour lesquelles il est indispensable de déterminer le domaine et de vérifier les solutions obtenues.
Sommaire
- Définition du radical
- Conditions d'existence
- Propriétés fondamentales
- Simplification des radicaux
- Multiplication et division
- Addition et soustraction
- Puissances de radicaux
- Rationalisation du dénominateur
- Radicaux comportant des variables
- Équations irrationnelles
Définition du radical
Le radical d'indice \(n\) d'un nombre réel \(a\) est l'opération qui permet de retrouver, lorsque cela est possible, un nombre dont la puissance \(n\)-ième est égale à \(a\). Dans les nombres réels, cependant, la définition dépend de la parité de l'indice \(n\).
Soit \(n\in\mathbb{N}\), avec \(n\geq 2\).
Si \(n\) est pair et \(a\geq0\), on définit \(\sqrt[n]{a}\) comme l'unique nombre réel \(b\geq0\) tel que
\[ b^n=a. \]
En symboles :
\[ b=\sqrt[n]{a} \quad \Longleftrightarrow \quad b^n=a,\quad b\geq0. \]
Si, en revanche, \(n\) est impair et \(a\in\mathbb{R}\), on définit \(\sqrt[n]{a}\) comme l'unique nombre réel \(b\) tel que
\[ b^n=a. \]
En symboles :
\[ b=\sqrt[n]{a} \quad \Longleftrightarrow \quad b^n=a. \]
Le nombre \(n\) est appelé indice du radical, tandis que le nombre \(a\) est appelé radicande.
La distinction entre indice pair et indice impair est fondamentale. Si l'indice est pair, le radicande doit être non négatif et le radical désigne toujours la racine principale non négative. Si l'indice est impair, en revanche, le radical est défini pour tout radicande réel et conserve le signe du radicande.
Racine carrée
Le cas le plus important est celui de la racine carrée. Lorsque \(n=2\), l'indice est omis :
\[ \sqrt{a}=\sqrt[2]{a}. \]
La racine carrée n'est définie dans les nombres réels que pour \(a\geq0\) et renvoie toujours la valeur principale non négative.
En particulier, pour tout \(a\in\mathbb{R}\), l'identité suivante est vérifiée :
\[ \sqrt{a^2}=|a|. \]
Il ne faut donc pas confondre \(\sqrt{a^2}\) avec \(a\). En général, en effet,
\[ \sqrt{a^2}\neq a. \]
Par exemple :
\[ \sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3\neq -3. \]
Racine \(n\)-ième et parité de l'indice
| Indice \(n\) | Radicande \(a\) | Signification du radical |
|---|---|---|
| Pair | \(a>0\) | la racine principale positive existe |
| Pair | \(a=0\) | \(\sqrt[n]{0}=0\) |
| Pair | \(a<0\) | n'existe pas dans les nombres réels |
| Impair | \(a\in\mathbb{R}\) | il existe une unique valeur réelle, de même signe que \(a\) |
Voyons quelques exemples.
\[ \sqrt[3]{-8}=-2, \]
car
\[ (-2)^3=-8. \]
De plus,
\[ \sqrt[4]{16}=2. \]
En effet, \(2^4=16\), mais le radical \(\sqrt[4]{16}\) désigne la racine principale non négative, et non la valeur \(-2\), bien que \((-2)^4=16\).
Enfin :
\[ \sqrt[5]{-32}=-2, \]
car
\[ (-2)^5=-32. \]
Conditions d'existence
Les conditions d'existence d'un radical établissent pour quelles valeurs du radicande le radical est défini dans les nombres réels. Là encore, il convient de distinguer indice pair et indice impair.
Si l'indice \(n\) est pair, le radical
\[ \sqrt[n]{a} \]
existe dans les nombres réels si et seulement si
\[ a\geq0. \]
Si, en revanche, l'indice \(n\) est impair, le radical
\[ \sqrt[n]{a} \]
existe pour toute valeur réelle de \(a\).
Nous pouvons résumer les conditions d'existence de la façon suivante :
\[ \sqrt[n]{a}\in\mathbb{R} \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} a\geq0 & \text{si } n \text{ est pair},\\ a\in\mathbb{R} & \text{si } n \text{ est impair}. \end{cases} \]
Voyons quelques exemples.
Le radical
\[ \sqrt{x-3} \]
a un indice pair, donc il existe si et seulement si
\[ x-3\geq0. \]
La condition d'existence est donc
\[ x\geq3. \]
Le radical
\[ \sqrt[3]{x-3} \]
a, en revanche, un indice impair, donc il existe pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
Enfin, le radical
\[ \sqrt{x^2-4} \]
a un indice pair, donc nous devons imposer
\[ x^2-4\geq0. \]
En résolvant l'inéquation, nous obtenons
\[ x\leq -2 \quad \text{ou bien} \quad x\geq2. \]
Le radical \(\sqrt{x^2-4}\) existe donc pour
\[ x\in(-\infty,-2]\cup[2,+\infty). \]
Propriétés fondamentales
Les propriétés des radicaux permettent de transformer et de simplifier les expressions contenant des racines. Cependant, dans les nombres réels, ces propriétés doivent être appliquées en respectant les conditions d'existence et la convention de la racine principale.
En particulier, lorsque l'indice est pair, tous les radicaux doivent être définis dans les nombres réels et la valeur du radical est toujours non négative. C'est pourquoi certaines formules qui paraissent immédiates exigent une attention particulière au signe des quantités en jeu.
| Propriété | Formule | Conditions |
|---|---|---|
| Produit de radicaux de même indice | \(\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\) | pour \(n\) pair : \(a\geq0\), \(b\geq0\) ; pour \(n\) impair : \(a,b\in\mathbb{R}\) |
| Quotient de radicaux de même indice | \(\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\) | pour \(n\) pair : \(a\geq0\), \(b>0\) ; pour \(n\) impair : \(a\in\mathbb{R}\), \(b\neq0\) |
| Puissance d'un radical | \(\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}\) | lorsque le radical \(\sqrt[n]{a}\) est défini et \(m\in\mathbb{N}^*\) |
| Radical d'un radical | \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\) | lorsque les deux membres sont définis dans les nombres réels |
| Réduction à un indice commun | \(\sqrt[n]{a}=\sqrt[kn]{a^k}\) | est certainement valable pour \(a\geq0\) et \(k\in\mathbb{N}^*\) |
| Simplification avec indice pair | \(\sqrt[2k]{a^{2k}}=|a|\) | pour tout \(a\in\mathbb{R}\) |
| Simplification avec indice impair | \(\sqrt[2k+1]{a^{2k+1}}=a\) | pour tout \(a\in\mathbb{R}\) |
Produit et quotient
Si les radicaux ont le même indice, il est possible de les multiplier ou de les diviser en réunissant le produit ou le quotient sous un seul radical, à condition que toutes les expressions soient définies.
Par exemple :
\[ \sqrt{3}\cdot\sqrt{12}=\sqrt{36}=6. \]
De même :
\[ \sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{8}=2. \]
Pour le quotient :
\[ \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{50}{2}}=\sqrt{25}=5. \]
Dans le cas d'un indice pair, il convient toutefois de rappeler que les radicandes doivent être non négatifs et que, dans un quotient, le dénominateur doit être strictement positif.
Puissances de radicaux
Si le radical \(\sqrt[n]{a}\) est défini, on peut alors élever le radical à une puissance entière naturelle :
\[ \left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}. \]
Lorsque \(a\geq0\), cette propriété se rattache à l'écriture avec exposant rationnel :
\[ \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}. \]
Cette écriture est particulièrement utile dans le calcul algébrique, mais elle doit être employée avec précaution lorsque l'on travaille dans les nombres réels et que des radicandes peuvent prendre des valeurs négatives.
Simplification des puissances parfaites
L'une des identités les plus importantes est la suivante :
\[ \sqrt[2k]{a^{2k}}=|a|. \]
La valeur absolue est nécessaire car une racine d'indice pair renvoie toujours la valeur principale non négative.
Par exemple :
\[ \sqrt{x^2}=|x|. \]
De même :
\[ \sqrt[4]{x^4}=|x|. \]
Si, en revanche, l'indice est impair, la valeur absolue n'apparaît pas :
\[ \sqrt[2k+1]{a^{2k+1}}=a. \]
Par exemple :
\[ \sqrt[3]{x^3}=x. \]
Réduction à un indice commun
La réduction à un indice commun permet de transformer des radicaux d'indices différents en radicaux ayant un indice commun. Cette transformation est particulièrement utile lorsqu'il faut multiplier, diviser ou comparer des radicaux.
Si \(a\geq0\), alors :
\[ \sqrt[n]{a}=\sqrt[kn]{a^k}, \qquad k\in\mathbb{N}^*. \]
Par exemple :
\[ \sqrt{2}=\sqrt[6]{2^3}=\sqrt[6]{8}. \]
De plus :
\[ \sqrt[3]{3}=\sqrt[6]{3^2}=\sqrt[6]{9}. \]
Cette propriété doit être appliquée avec prudence lorsque le radicande est négatif. En effet, lorsque l'on passe à un indice pair, le radical représente toujours une racine principale non négative et le signe peut changer.
Par exemple :
\[ \sqrt[3]{-8}=-2, \]
tandis que
\[ \sqrt[6]{(-8)^2}=\sqrt[6]{64}=2. \]
Ainsi, en général, on ne peut pas réduire l'indice sans vérifier au préalable les conditions et le signe du radicande.
Simplification des radicaux
Simplifier un radical signifie le transformer en une forme équivalente dans laquelle le radicande ne contient plus de facteurs qui soient des puissances parfaites de l'indice.
L'idée consiste à séparer, chaque fois que cela est possible, les puissances qui peuvent être extraites du radical de celles qui doivent rester sous la racine.
Si \(a\geq0\), \(n\geq2\), \(q\in\mathbb{N}\), \(0\leq r<n\) et \(qn+r\geq1\), alors
\[ \sqrt[n]{a^{qn+r}}=a^q\sqrt[n]{a^r}. \]
Cette formule exprime le principe général de la simplification : les puissances dont les exposants sont des multiples de l'indice peuvent être sorties du radical, tandis que les puissances restantes demeurent dans le radicande.
Méthode de simplification
Pour simplifier un radical, on peut procéder de la façon suivante.
- On décompose le radicande en facteurs premiers, ou bien en facteurs affectés d'exposants.
- On écrit chaque exposant comme un multiple de l'indice augmenté d'un reste.
- On sort du radical les facteurs correspondant aux puissances parfaites de l'indice.
Voyons quelques exemples.
\[ \sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt{2}. \]
En effet, \(36\) est un carré parfait et peut être extrait de la racine carrée.
De plus :
\[ \sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot2}=3\sqrt[3]{2}. \]
Dans ce cas, \(27=3^3\) est une puissance parfaite d'indice \(3\).
Simplification avec des variables
Lorsque des variables réelles apparaissent dans le radicande, il convient de prêter une attention particulière au signe. En particulier, avec des indices pairs, il peut être nécessaire d'introduire la valeur absolue.
Par exemple, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), on a
\[ \sqrt{x^2}=|x|. \]
En revanche, si l'on sait que \(x\geq0\), alors on peut écrire
\[ \sqrt{x^5}=\sqrt{x^4\cdot x}=x^2\sqrt{x}. \]
La condition \(x\geq0\) est nécessaire pour que le radical \(\sqrt{x^5}\) soit défini dans les nombres réels.
Pour un indice impair, en revanche, il n'est pas nécessaire d'introduire la valeur absolue. Par exemple :
\[ \sqrt[3]{a^8}=\sqrt[3]{a^6\cdot a^2}=a^2\sqrt[3]{a^2}. \]
Multiplication et division
Pour multiplier ou diviser des radicaux de même indice, on utilise la propriété du produit ou du quotient, en respectant toujours les conditions d'existence.
Si les radicaux ont le même indice, alors :
\[ \sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}. \]
Par exemple :
\[ \sqrt{3}\cdot\sqrt{12}=\sqrt{36}=6. \]
De même :
\[ \sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{8}=2. \]
Pour le quotient, on a :
\[ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}, \]
à condition que le radical figurant au dénominateur soit défini et non nul. En particulier, si l'indice est pair, il faut exiger \(b>0\) ; si l'indice est impair, il suffit d'exiger \(b\neq0\).
Par exemple :
\[ \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{50}{2}}=\sqrt{25}=5. \]
Lorsque les radicaux ont des indices différents, on peut, avant de les multiplier ou de les diviser, recourir à la réduction à un indice commun.
Par exemple :
\[ \sqrt{2}\cdot\sqrt[3]{2} = \sqrt[6]{2^3}\cdot\sqrt[6]{2^2} = \sqrt[6]{2^5} = \sqrt[6]{32}. \]
Addition et soustraction
L'addition et la soustraction de radicaux ne s'effectuent pas en réunissant les termes sous un seul radical. Seuls peuvent être additionnés ou soustraits directement les radicaux semblables, c'est-à-dire des radicaux ayant le même indice et le même radicande.
En général :
\[ p\sqrt[n]{a}+q\sqrt[n]{a}=(p+q)\sqrt[n]{a}. \]
De même :
\[ p\sqrt[n]{a}-q\sqrt[n]{a}=(p-q)\sqrt[n]{a}. \]
Par exemple :
\[ 3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=8\sqrt{2}. \]
Il arrive que des radicaux ne soient pas semblables au départ, mais le deviennent après simplification. Par exemple :
\[ \sqrt{12}+\sqrt{27} = 2\sqrt{3}+3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}. \]
Un autre exemple est :
\[ \sqrt{8}-\sqrt{2}+\sqrt{18} = 2\sqrt{2}-\sqrt{2}+3\sqrt{2} = 4\sqrt{2}. \]
En revanche, des radicaux comme \(\sqrt{2}\) et \(\sqrt{3}\) ne sont pas semblables et ne peuvent pas être réunis en un seul radical.
Puissances de radicaux
Les puissances de radicaux se traitent en appliquant les propriétés des puissances, tout en tenant compte des conditions d'existence.
Si \(\sqrt[n]{a}\) est défini et \(m\in\mathbb{N}^*\), alors :
\[ \left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}. \]
Si, de plus, \(a\geq0\), nous pouvons relier cette écriture aux puissances d'exposant rationnel :
\[ \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}. \]
Carré d'un binôme comportant des radicaux
Si \(a\geq0\) et \(b\geq0\), alors :
\[ (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a+2\sqrt{ab}+b. \]
De même :
\[ (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 = a-2\sqrt{ab}+b. \]
Par exemple :
\[ (\sqrt{5}+2)^2 = 5+4\sqrt{5}+4 = 9+4\sqrt{5}. \]
Produit d'expressions conjuguées
Si \(a\geq0\) et \(b\geq0\), le produit de deux expressions conjuguées permet d'éliminer les racines carrées :
\[ (\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b. \]
Par exemple :
\[ (\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})=7-3=4. \]
Rationalisation du dénominateur
La rationalisation du dénominateur consiste à transformer une fraction en une fraction équivalente dont le dénominateur ne contient plus de radicaux.
L'idée de base est de multiplier le numérateur et le dénominateur par un facteur approprié permettant d'éliminer le radical du dénominateur. La valeur de la fraction ne change pas, puisqu'on multiplie par une quantité égale à \(1\).
Dénominateur comportant une seule racine carrée
Considérons une fraction de la forme
\[ \frac{c}{\sqrt{a}}, \]
avec \(a>0\). Pour éliminer la racine du dénominateur, multiplions le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt{a}\) :
\[ \frac{c}{\sqrt{a}} = \frac{c\sqrt{a}}{\sqrt{a}\sqrt{a}} = \frac{c\sqrt{a}}{a}. \]
Par exemple :
\[ \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}. \]
Dénominateur comportant un seul radical d'indice \(n\)
Plus généralement, si le dénominateur contient un radical d'indice \(n\), on peut utiliser la propriété des puissances.
Si le radical est défini et \(\sqrt[n]{a}\neq0\), alors :
\[ \frac{c}{\sqrt[n]{a}} = \frac{c\sqrt[n]{a^{n-1}}}{a}. \]
Dans le cas d'un indice pair, il faut exiger \(a>0\), tandis que, dans le cas d'un indice impair, il suffit d'exiger \(a\neq0\).
Par exemple :
\[ \frac{1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{2^2}}{2} = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}. \]
Dénominateur binôme comportant des racines carrées
Si le dénominateur est un binôme comportant des racines carrées, on utilise le produit de deux expressions conjuguées.
Par exemple, si \(a\geq0\), \(b\geq0\) et \(a\neq b\), alors :
\[ \frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{c(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{c(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}. \]
De même :
\[ \frac{c}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \frac{c(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b}. \]
Voyons un exemple :
\[ \frac{4}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{3-2} = 4\sqrt{3}-4\sqrt{2}. \]
Un autre exemple est :
\[ \frac{1}{1+\sqrt{5}} = \frac{1-\sqrt{5}}{(1+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})} = \frac{1-\sqrt{5}}{1-5} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}. \]
Dénominateur comportant des racines cubiques
Lorsque le dénominateur contient des racines cubiques, on utilise les identités de la somme et de la différence de cubes :
\[ x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2), \]
et
\[ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2). \]
Par exemple, si \(a\neq b\), alors :
\[ \frac{1}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}} = \frac{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{a-b}. \]
En effet, en posant \(x=\sqrt[3]{a}\) et \(y=\sqrt[3]{b}\), on a
\[ (x-y)(x^2+xy+y^2)=x^3-y^3=a-b. \]
Par exemple :
\[ \frac{1}{\sqrt[3]{2}-1} = \frac{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1}{2-1} = \sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1. \]
De même, si \(a\neq -b\), alors :
\[ \frac{1}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}} = \frac{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{a+b}. \]
Radicaux comportant des variables
Lorsque le radicande contient des variables, les propriétés des radicaux doivent être appliquées conjointement avec les conditions d'existence. En particulier, si l'indice est pair, il faut imposer que le radicande soit non négatif.
Par exemple, le radical
\[ \sqrt{x-1} \]
est défini dans les nombres réels si et seulement si
\[ x-1\geq0, \]
c'est-à-dire pour
\[ x\geq1. \]
Valeur absolue dans la simplification
Lorsqu'on simplifie des radicaux comportant des variables réelles, la valeur absolue apparaît naturellement dans les radicaux d'indice pair.
En effet, pour tout \(x\in\mathbb{R}\),
\[ \sqrt{x^2}=|x|. \]
De même :
\[ \sqrt[4]{x^4}=|x|. \]
De plus :
\[ \sqrt{x^6}=|x^3|. \]
Si, en revanche, l'indice est impair, la valeur absolue n'apparaît pas. Par exemple :
\[ \sqrt[3]{x^3}=x. \]
Plus généralement :
\[ \sqrt[2k]{x^{2k}}=|x|,\qquad \sqrt[2k+1]{x^{2k+1}}=x. \]
Domaine d'expressions comportant plusieurs radicaux
Si une expression contient plusieurs radicaux, le domaine s'obtient en imposant simultanément toutes les conditions d'existence. Autrement dit, le domaine est l'intersection des conditions exigées par chacun des radicaux.
Considérons, par exemple, la fonction
\[ f(x)=\sqrt{x+2}+\sqrt{4-x}. \]
Le premier radical exige
\[ x+2\geq0, \]
c'est-à-dire
\[ x\geq -2. \]
Le second radical exige
\[ 4-x\geq0, \]
c'est-à-dire
\[ x\leq4. \]
Le domaine est donc
\[ [-2,4]. \]
Équations irrationnelles
Les équations irrationnelles sont des équations dans lesquelles l'inconnue figure sous un signe radical. Pour les résoudre, il est nécessaire de prêter une attention particulière au domaine ainsi qu'aux éventuelles solutions étrangères introduites au cours des étapes.
Une méthode générale comporte les étapes suivantes.
- On détermine les conditions d'existence de tous les radicaux présents.
- On isole, lorsque cela est possible, l'un des radicaux.
- On élève les deux membres à la puissance appropriée.
- On résout l'équation algébrique obtenue.
- On vérifie les solutions candidates dans l'équation initiale.
Cette vérification finale est indispensable, car l'élévation à une puissance peut introduire des solutions étrangères.
Exemple avec une racine carrée
Considérons l'équation
\[ \sqrt{2x-1}=x-2. \]
Avant d'élever au carré, déterminons les conditions nécessaires. Le radical exige
\[ 2x-1\geq0, \]
c'est-à-dire
\[ x\geq\frac{1}{2}. \]
De plus, puisqu'une racine carrée est toujours non négative, le second membre doit lui aussi être non négatif :
\[ x-2\geq0. \]
Nous devons donc avoir
\[ x\geq2. \]
En élevant au carré les deux membres, nous obtenons
\[ 2x-1=(x-2)^2. \]
En développant :
\[ 2x-1=x^2-4x+4. \]
En regroupant tous les termes au second membre :
\[ x^2-6x+5=0. \]
D'où
\[ x=1 \quad \text{ou bien} \quad x=5. \]
La valeur \(x=1\) ne satisfait pas la condition \(x\geq2\), elle est donc rejetée. Vérifions \(x=5\) dans l'équation initiale :
\[ \sqrt{2\cdot5-1}=5-2. \]
En effet :
\[ \sqrt{9}=3. \]
L'unique solution est donc
\[ x=5. \]
Exemple avec deux radicaux
Considérons à présent l'équation
\[ \sqrt{x+5}-\sqrt{x}=1. \]
Les conditions d'existence sont
\[ x+5\geq0 \qquad\text{et}\qquad x\geq0. \]
Le domaine est donc
\[ x\geq0. \]
Isolons le premier radical :
\[ \sqrt{x+5}=\sqrt{x}+1. \]
Élevons au carré :
\[ x+5=(\sqrt{x}+1)^2. \]
En développant le second membre :
\[ x+5=x+2\sqrt{x}+1. \]
Donc :
\[ 4=2\sqrt{x}. \]
D'où
\[ \sqrt{x}=2 \]
et par conséquent
\[ x=4. \]
Vérifions dans l'équation initiale :
\[ \sqrt{4+5}-\sqrt{4}=3-2=1. \]
La solution est donc
\[ x=4. \]
Pour s'entraîner à l'aide d'autres exemples, on peut consulter le recueil qui y est consacré :