Exercices guidés sur les puissances et les équations exponentielles : une collection de problèmes résolus pour réviser les propriétés des bases, les exposants négatifs et les racines. Vous trouverez des exemples simples et des étapes claires pour apprendre à résoudre les équations exponentielles, avec des explications conçues pour vous accompagner progressivement vers les niveaux les plus difficiles.
Exercice du 06/04/2026 - 09:00 — niveau ★☆☆☆☆
\[ 2^5 \]
Résultat
\[ 32 \]
Résolution
Méthode de résolution
Calculer une puissance signifie multiplier la base par elle-même autant de fois que l'indique l'exposant.
Calcul
\[ 2^5 = 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2 = 32 \]
Résultat
\[ \boxed{32} \]
Exercice du 06/04/2026 - 09:10 — niveau ★☆☆☆☆
\[ (-3)^3 \]
Résultat
\[ -27 \]
Résolution
Méthode de résolution
Une puissance avec une base négative et un exposant impair est négative.
Calcul
\[ (-3)^3 = (-3)\cdot(-3)\cdot(-3) = 9\cdot(-3) = -27 \]
Résultat
\[ \boxed{-27} \]
Exercice du 06/04/2026 - 09:20 — niveau ★☆☆☆☆
\[ 7^0 \]
Résultat
\[ 1 \]
Résolution
Méthode de résolution
Toute base non nulle élevée à l'exposant zéro est égale à \(1\), par convention.
Règle
\[ a^0 = 1 \quad \text{pour tout } a \neq 0 \]
Résultat
\[ \boxed{1} \]
Exercice du 06/04/2026 - 09:30 — niveau ★☆☆☆☆
\[ (-1)^4 \]
Résultat
\[ 1 \]
Résolution
Méthode de résolution
Une puissance avec une base négative et un exposant pair est toujours positive.
Calcul
\[ (-1)^4 = (-1)^2\cdot(-1)^2 = 1\cdot1 = 1 \]
Résultat
\[ \boxed{1} \]
Exercice du 06/04/2026 - 09:40 — niveau ★★☆☆☆
\[ 2^{-4} \]
Résultat
\[ \dfrac{1}{16} \]
Résolution
Méthode de résolution
Un exposant négatif indique l'inverse de la puissance avec un exposant positif : \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\).
Calcul
\[ 2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16} \]
Résultat
\[ \boxed{\dfrac{1}{16}} \]
Exercice du 06/04/2026 - 09:50 — niveau ★★☆☆☆
\[ \left(\frac{3}{2}\right)^3 \]
Résultat
\[ \dfrac{27}{8} \]
Résolution
Méthode de résolution
La puissance d'une fraction est la fraction des puissances : \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}\).
Calcul
\[ \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8} \]
Résultat
\[ \boxed{\dfrac{27}{8}} \]
Exercice du 06/04/2026 - 10:00 — niveau ★★☆☆☆
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} \]
Résultat
\[ 8 \]
Résolution
Méthode de résolution
Exposant négatif sur une fraction : on inverse la fraction et on applique l'exposant positif.
Calcul
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = \left(\frac{2}{1}\right)^3 = 2^3 = 8 \]
Résultat
\[ \boxed{8} \]
Exercice du 06/04/2026 - 10:10 — niveau ★★☆☆☆
\[ 2^3 \cdot 2^5 \]
Résultat
\[ 256 \]
Résolution
Méthode de résolution
Le produit de puissances de même base se calcule en additionnant les exposants : \(a^m\cdot a^n = a^{m+n}\).
Calcul
\[ 2^3\cdot2^5 = 2^{3+5} = 2^8 = 256 \]
Résultat
\[ \boxed{256} \]
Exercice du 06/04/2026 - 10:25 — niveau ★★☆☆☆
\[ \frac{5^6}{5^3} \]
Résultat
\[ 125 \]
Résolution
Méthode de résolution
Le quotient de puissances de même base se calcule en soustrayant les exposants : \(a^m / a^n = a^{m-n}\).
Calcul
\[ \frac{5^6}{5^3} = 5^{6-3} = 5^3 = 125 \]
Résultat
\[ \boxed{125} \]
Exercice du 06/04/2026 - 10:40 — niveau ★★☆☆☆
\[ (3^2)^3 \]
Résultat
\[ 729 \]
Résolution
Méthode de résolution
La puissance d'une puissance se calcule en multipliant les exposants : \((a^m)^n = a^{m\cdot n}\).
Calcul
\[ (3^2)^3 = 3^{2\cdot3} = 3^6 = 729 \]
Résultat
\[ \boxed{729} \]
Exercice du 06/04/2026 - 10:55 — niveau ★★☆☆☆
\[ 9^{1/2} \]
Résultat
\[ 3 \]
Résolution
Méthode de résolution
Un exposant fractionnaire \(\tfrac{1}{n}\) correspond à la racine \(n\)-ième : \(a^{1/n}=\sqrt[n]{a}\).
Calcul
\[ 9^{1/2} = \sqrt{9} = 3 \]
Résultat
\[ \boxed{3} \]
Exercice du 06/04/2026 - 11:10 — niveau ★★☆☆☆
\[ 8^{2/3} \]
Résultat
\[ 4 \]
Résolution
Méthode de résolution
\(a^{m/n} = (\sqrt[n]{a})^m\). On calcule d'abord la racine cubique, puis on élève le résultat au carré.
Calcul
\[ 8^{2/3} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4 \]
Résultat
\[ \boxed{4} \]
Exercice du 06/04/2026 - 11:25 — niveau ★★★☆☆
\[ 27^{2/3} \]
Résultat
\[ 9 \]
Résolution
Méthode de résolution
On calcule d'abord la racine cubique de \(27\), puis on élève le résultat au carré.
Calcul
\[ 27^{2/3} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9 \]
Résultat
\[ \boxed{9} \]
Exercice du 06/04/2026 - 11:40 — niveau ★★★☆☆
\[ \left(\frac{4}{9}\right)^{3/2} \]
Résultat
\[ \dfrac{8}{27} \]
Résolution
Méthode de résolution
Appliquer l'exposant fractionnaire séparément au numérateur et au dénominateur.
Calcul
\[ \left(\frac{4}{9}\right)^{3/2} = \frac{4^{3/2}}{9^{3/2}} = \frac{(\sqrt{4})^3}{(\sqrt{9})^3} = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27} \]
Résultat
\[ \boxed{\dfrac{8}{27}} \]
Exercice du 06/04/2026 - 11:55 — niveau ★★★☆☆
\[ 2^x \cdot 4 = 32 \]
Résultat
\[ x = 3 \]
Résolution
Méthode de résolution
Réécrire toutes les puissances en base \(2\), puis égaler les exposants.
Réécriture en base 2
\[ 2^x \cdot 2^2 = 2^5 \implies 2^{x+2} = 2^5 \]
Équation des exposants
\[ x+2=5 \implies x=3 \]
Vérification
\[ 2^3\cdot4=8\cdot4=32 \]
Résultat
\[ \boxed{x=3} \]
Exercice du 06/04/2026 - 12:10 — niveau ★★★☆☆
\[ 3^{x+1} = 27 \]
Résultat
\[ x = 2 \]
Résolution
Réécriture en base 3
\[ 3^{x+1} = 3^3 \]
Équation des exposants
\[ x+1=3 \implies x=2 \]
Vérification
\[ 3^3=27 \]
Résultat
\[ \boxed{x=2} \]
Exercice du 06/04/2026 - 12:25 — niveau ★★★☆☆
\[ 4^x = 8 \]
Résultat
\[ x = \dfrac{3}{2} \]
Résolution
Réécriture en base 2
\[ (2^2)^x = 2^3 \implies 2^{2x} = 2^3 \]
Équation des exposants
\[ 2x=3 \implies x=\frac{3}{2} \]
Vérification
\[ 4^{3/2}=(\sqrt{4})^3=2^3=8 \]
Résultat
\[ \boxed{x=\dfrac{3}{2}} \]
Exercice du 06/04/2026 - 12:40 — niveau ★★★☆☆
\[ a^3 \cdot a^{-2} \]
Résultat
\[ a \]
Résolution
Application de la règle du produit
\[ a^3\cdot a^{-2} = a^{3+(-2)} = a^1 = a \]
Résultat
\[ \boxed{a} \]
Exercice du 06/04/2026 - 12:55 — niveau ★★★☆☆
\[ (x^2 y^3)^3 \]
Résultat
\[ x^6 y^9 \]
Résolution
Méthode de résolution
La puissance d'un produit se distribue sur chaque facteur.
Calcul
\[ (x^2y^3)^3 = (x^2)^3\cdot(y^3)^3 = x^6\cdot y^9 \]
Résultat
\[ \boxed{x^6 y^9} \]
Exercice du 06/04/2026 - 13:10 — niveau ★★★☆☆
\[ (2a^2b)^3 \]
Résultat
\[ 8a^6 b^3 \]
Résolution
Calcul
\[ (2a^2b)^3 = 2^3\cdot(a^2)^3\cdot b^3 = 8a^6b^3 \]
Résultat
\[ \boxed{8a^6 b^3} \]
Exercice du 06/04/2026 - 13:25 — niveau ★★★☆☆
\[ (a^2 b^{-1})^2 \cdot (a^{-1}b)^3 \]
Résultat
\[ ab \]
Résolution
Développement des puissances individuelles
\[ (a^2b^{-1})^2 = a^4b^{-2} \qquad (a^{-1}b)^3 = a^{-3}b^3 \]
Produit
\[ a^4b^{-2}\cdot a^{-3}b^3 = a^{4-3}\cdot b^{-2+3} = a\cdot b = ab \]
Résultat
\[ \boxed{ab} \]
Exercice du 06/04/2026 - 13:40 — niveau ★★★☆☆
\[ \sqrt{2^8} \]
Résultat
\[ 16 \]
Résolution
Méthode de résolution
La racine carrée est la puissance avec l'exposant \(\tfrac{1}{2}\).
Calcul
\[ \sqrt{2^8} = (2^8)^{1/2} = 2^{8\cdot\frac{1}{2}} = 2^4 = 16 \]
Résultat
\[ \boxed{16} \]
Exercice du 06/04/2026 - 14:00 — niveau ★★★★☆
\[ 2^{x+1} + 2^x = 48 \]
Résultat
\[ x = 4 \]
Résolution
Méthode de résolution
Mettre \(2^x\) en évidence dans le premier membre.
Factorisation
\[ 2\cdot2^x + 2^x = 2^x(2+1) = 3\cdot2^x = 48 \]
Équation résultante
\[ 2^x = 16 = 2^4 \implies x=4 \]
Vérification
\[ 2^5+2^4=32+16=48 \]
Résultat
\[ \boxed{x=4} \]
Exercice du 06/04/2026 - 14:15 — niveau ★★★★☆
\[ 3^{2x} - 4\cdot3^x + 3 = 0 \]
Résultat
\[ x = 0 \quad \text{ou} \quad x = 1 \]
Résolution
Méthode de résolution
Remarquer que \(3^{2x}=(3^x)^2\). Le changement de variable \(t=3^x\) transforme l'équation en une équation du second degré.
Changement de variable \(t=3^x\)
\[ t^2-4t+3=0 \implies (t-1)(t-3)=0 \]
Résolution des deux équations
\(t=1\): \(3^x=1=3^0 \implies x=0\)
\(t=3\): \(3^x=3^1 \implies x=1\)
Vérification
\(x=0\): \(1-4+3=0\) \(x=1\): \(9-12+3=0\)
Résultat
\[ \boxed{x=0 \quad \text{ou} \quad x = 1} \]
Exercice du 06/04/2026 - 14:30 — niveau ★★★★☆
\[ 4^x - 2^{x+1} - 8 = 0 \]
Résultat
\[ x = 2 \]
Résolution
Méthode de résolution
Réécrire \(4^x=(2^x)^2\) et \(2^{x+1}=2\cdot2^x\), puis poser \(t=2^x\).
Équation en \(t\)
\[ t^2-2t-8=0 \implies (t-4)(t+2)=0 \]
Solutions
\(t=4\): \(2^x=4=2^2 \implies x=2\)
\(t=-2\): rejetée, car \(2^x>0\) toujours.
Vérification
\[ 4^2-2^3-8=16-8-8=0 \]
Résultat
\[ \boxed{x=2} \]
Exercice du 06/04/2026 - 14:45 — niveau ★★★★☆
\[ \frac{2^n \cdot 4^{n+1}}{8^n} \]
Résultat
\[ 4 \]
Résolution
Méthode de résolution
Réécrire toutes les puissances en base \(2\).
Réécriture en base 2
\[ 4^{n+1}=2^{2(n+1)}=2^{2n+2} \qquad 8^n=2^{3n} \]
Simplification
\[ \frac{2^n\cdot2^{2n+2}}{2^{3n}} = \frac{2^{3n+2}}{2^{3n}} = 2^2 = 4 \]
Résultat
\[ \boxed{4} \]
Exercice du 06/04/2026 - 15:00 — niveau ★★★★☆
\[ (\sqrt{2}+1)^0 + (\sqrt{3})^4 \]
Résultat
\[ 10 \]
Résolution
Calcul des deux termes
Premier terme : toute base non nulle élevée à l'exposant zéro est égale à \(1\) :
\[ (\sqrt{2}+1)^0 = 1 \]
Second terme :
\[ (\sqrt{3})^4 = \left[(\sqrt{3})^2\right]^2 = 3^2 = 9 \]
Somme
\[ 1+9=10 \]
Résultat
\[ \boxed{10} \]
Exercice du 06/04/2026 - 15:15 — niveau ★★★★☆
\[ 2^{1/2} \cdot 2^{3/2} \]
Résultat
\[ 4 \]
Résolution
Règle du produit
\[ 2^{1/2}\cdot2^{3/2}=2^{1/2+3/2}=2^{4/2}=2^2=4 \]
Résultat
\[ \boxed{4} \]
Exercice du 06/04/2026 - 15:30 — niveau ★★★★☆
\[ \left(3^{1/3}\right)^6 \]
Résultat
\[ 9 \]
Résolution
Puissance d'une puissance
\[ \left(3^{1/3}\right)^6 = 3^{(1/3)\cdot6} = 3^2 = 9 \]
Résultat
\[ \boxed{9} \]
Exercice du 06/04/2026 - 15:45 — niveau ★★★★☆
\[ 5^x \cdot 5^{x+1} = 5^4 \]
Résultat
\[ x = \dfrac{3}{2} \]
Résolution
Règle du produit
\[ 5^x\cdot5^{x+1}=5^{x+(x+1)}=5^{2x+1}=5^4 \]
Équation des exposants
\[ 2x+1=4 \implies x=\frac{3}{2} \]
Vérification
\[ 5^{3/2}\cdot5^{5/2}=5^{3/2+5/2}=5^4 \]
Résultat
\[ \boxed{x=\dfrac{3}{2}} \]
Exercice du 06/04/2026 - 16:00 — niveau ★★★★☆
\[ a^{1/2} \cdot a^{1/3} \]
Résultat
\[ a^{5/6} \]
Résolution
Règle du produit avec exposants fractionnaires
\[ a^{1/2}\cdot a^{1/3}=a^{1/2+1/3} \]
Somme de fractions
\[ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6} \]
Résultat
\[ \boxed{a^{5/6}} \]
Exercice du 06/04/2026 - 16:15 — niveau ★★★★☆
\[ \frac{4^{n+1}-4^n}{3\cdot4^{n-1}} \]
Résultat
\[ 4 \]
Résolution
Factorisation de \(4^n\) au numérateur
\[ \frac{4^n(4-1)}{3\cdot4^{n-1}}=\frac{3\cdot4^n}{3\cdot4^{n-1}} \]
Simplification
\[ \frac{4^n}{4^{n-1}}=4^{n-(n-1)}=4^1=4 \]
Résultat
\[ \boxed{4} \]
Exercice du 06/04/2026 - 16:30 — niveau ★★★★☆
\[ 9^x = 3^{x+2} \]
Résultat
\[ x = 2 \]
Résolution
Réécriture en base 3
\[ (3^2)^x=3^{x+2} \implies 3^{2x}=3^{x+2} \]
Équation des exposants
\[ 2x=x+2 \implies x=2 \]
Vérification
\[ 9^2=81=3^4=3^{2+2} \]
Résultat
\[ \boxed{x=2} \]
Exercice du 06/04/2026 - 16:45 — niveau ★★★★☆
\[ 2^{3x-1} = 4^{x+2} \]
Résultat
\[ x = 5 \]
Résolution
Réécriture en base 2
\[ 4^{x+2}=2^{2(x+2)}=2^{2x+4} \]
Équation des exposants
\[ 3x-1=2x+4 \implies x=5 \]
Vérification
\[ 2^{14}=4^7=2^{14} \]
Résultat
\[ \boxed{x=5} \]
Exercice du 06/04/2026 - 17:00 — niveau ★★★★★
\[ \frac{2^{n+2}-2^n}{2^{n-1}} \]
Résultat
\[ 6 \]
Résolution
Factorisation de \(2^n\) au numérateur
\[ \frac{2^n(2^2-1)}{2^{n-1}}=\frac{2^n\cdot3}{2^{n-1}} \]
Simplification
\[ 3\cdot\frac{2^n}{2^{n-1}}=3\cdot2^{n-(n-1)}=3\cdot2=6 \]
Résultat
\[ \boxed{6} \]
Exercice du 06/04/2026 - 17:15 — niveau ★★★★★
\[ 4^x + 2^{x+1} = 8 \]
Résultat
\[ x = 1 \]
Résolution
Méthode de résolution
Réécrire \(4^x=(2^x)^2\) et \(2^{x+1}=2\cdot2^x\), puis poser \(t=2^x\).
Équation en \(t\)
\[ t^2+2t-8=0 \implies (t+4)(t-2)=0 \]
Solution
\(t=-4\): rejetée (\(2^x>0\)). \(t=2\): \(2^x=2 \implies x=1\).
Vérification
\[ 4^1+2^2=4+4=8 \]
Résultat
\[ \boxed{x=1} \]
Exercice du 06/04/2026 - 17:30 — niveau ★★★★★
\[ (a^m \cdot a^n)^{\frac{1}{m+n}} \]
Résultat
\[ a \]
Résolution
Méthode de résolution
Simplifier l'exposant en utilisant la règle du produit pour les puissances de même base.
Règle du produit
\[ a^m\cdot a^n = a^{m+n} \]
Puissance d'une puissance
\[ (a^{m+n})^{\frac{1}{m+n}} = a^{\frac{m+n}{m+n}} = a^1 = a \]
Résultat
\[ \boxed{a} \]
Exercice du 06/04/2026 - 17:45 — niveau ★★★★★
\[ 2^x + 2^{-x} = \frac{5}{2} \]
Résultat
\[ x = 1 \quad \text{ou} \quad x = -1 \]
Résolution
Méthode de résolution
Soit \(t=2^x>0\). Alors \(2^{-x}=1/t\) et l'équation devient une équation rationnelle.
Changement de variable \(t=2^x\)
\[ t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2} \implies 2t^2-5t+2=0 \]
Résolution de l'équation du second degré
\[ t=\frac{5\pm\sqrt{25-16}}{4}=\frac{5\pm3}{4} \]
\(t=2\): \(2^x=2 \implies x=1\)
\(t=\tfrac{1}{2}\): \(2^x=2^{-1} \implies x=-1\)
Vérification
\(x=1\): \(2+\tfrac{1}{2}=\tfrac{5}{2}\) \(x=-1\): \(\tfrac{1}{2}+2=\tfrac{5}{2}\)
Résultat
\[ \boxed{x=1 \quad \text{ou} \quad x=-1} \]
Exercice du 06/04/2026 - 18:00 — niveau ★★★★★
\[ (a^{2/3}\cdot b^{1/2})^6 \]
Résultat
\[ a^4 b^3 \]
Résolution
Puissance d'un produit
\[ (a^{2/3})^6\cdot(b^{1/2})^6 \]
Puissance d'une puissance
\[ a^{(2/3)\cdot6}\cdot b^{(1/2)\cdot6}=a^4\cdot b^3 \]
Résultat
\[ \boxed{a^4 b^3} \]
Exercice du 06/04/2026 - 18:15 — niveau ★★★★★
\[ 9^x - 4\cdot3^{x+1} + 27 = 0 \]
Résultat
\[ x = 1 \quad \text{ou} \quad x = 2 \]
Résolution
Méthode de résolution
Réécrire \(9^x=(3^x)^2\) et \(3^{x+1}=3\cdot3^x\), puis poser \(t=3^x\).
Équation en \(t\)
\[ t^2-12t+27=0 \]
Discriminant et solutions
\[ \Delta=144-108=36 \implies t=\frac{12\pm6}{2} \]
\(t=9\): \(3^x=3^2 \implies x=2\)
\(t=3\): \(3^x=3^1 \implies x=1\)
Vérification
\(x=1\): \(9-36+27=0\) \(x=2\): \(81-108+27=0\)
Résultat
\[ \boxed{x=1 \quad \text{ou} \quad x = 2} \]