Un recueil de problèmes résolus pour apprendre à étudier le signe d'un trinôme lorsqu'un paramètre réel varie, à analyser le discriminant en tant que fonction de \( k \) et à traiter les cas dégénérés où le coefficient du terme du second degré s'annule. Vous trouverez la discussion complète pour chaque valeur de \( k \), avec des étapes claires même dans les cas les plus élaborés, pensée pour vous apprendre à raisonner méthodiquement, sans jamais laisser un seul cas de côté.
Exercice 1 — niveau ★★★☆☆
\[ x^2 + kx + 1 > 0 \]
Résultat
• \(|k| < 2\) : \(S = \mathbb{R}\)
• \(|k| = 2\) : \(S = \mathbb{R} \setminus \left\{-\tfrac{k}{2}\right\}\)
• \(|k| > 2\) : \(S = \left(-\infty,\, x_1\right) \cup \left(x_2,\, +\infty\right)\)
Solution
Discriminant
\[ \Delta = k^2 - 4 \]
Racines (lorsque \(\Delta \ge 0\))
\[ x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - 4}}{2} \]
Étude du signe — parabole avec concavité tournée vers le haut
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; |k| < 2\) : aucune racine réelle, le trinôme est toujours \(> 0\) ; \(S = \mathbb{R}\).
• \(\Delta = 0 \;\Leftrightarrow\; k = \pm 2\) : racine double \(x_0 = -k/2\) ; la parabole touche l'axe sans le traverser ; inégalité stricte ; \(S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\).
• \(\Delta > 0 \;\Leftrightarrow\; |k| > 2\) : deux racines distinctes \(x_1 < x_2\) ; positif à l'extérieur des racines ; \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Exercice 2 — niveau ★★★☆☆
\[ x^2 + (k-2)x + k > 0 \]
Résultat
• \(k \in (4-2\sqrt{3},\; 4+2\sqrt{3})\) : \(S = \mathbb{R}\)
• \(k = 4 \pm 2\sqrt{3}\) : \(S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\)
• sinon : \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
Solution
Discriminant
\[ \Delta = (k-2)^2 - 4k = k^2 - 8k + 4 \]
Racines de \(\Delta = 0\)
\[ k = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{3} \]
Étude
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; k \in (4-2\sqrt{3},\, 4+2\sqrt{3})\) : trinôme toujours \(> 0\) ; \(S = \mathbb{R}\).
• \(\Delta = 0\) : racine double ; inégalité stricte ; \(S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\).
• \(\Delta > 0\) : parabole tournée vers le haut avec deux racines distinctes ; \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Exercice 3 — niveau ★★★☆☆
\[ x^2 - 2(k+1)x + k^2 > 0 \]
Résultat
• \(k < -\tfrac{1}{2}\) : \(S = \mathbb{R}\)
• \(k = -\tfrac{1}{2}\) : \(S = \mathbb{R} \setminus \left\{\tfrac{1}{2}\right\}\)
• \(k > -\tfrac{1}{2}\) : \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\) avec \(x_{1,2} = (k+1) \mp \sqrt{2k+1}\)
Solution
Discriminant
\[ \Delta = 4(k+1)^2 - 4k^2 = 4(k^2+2k+1-k^2) = 4(2k+1) \]
Étude
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; k < -\tfrac{1}{2}\) : \(S = \mathbb{R}\).
• \(\Delta = 0 \;\Leftrightarrow\; k = -\tfrac{1}{2}\) : racine double \(x_0 = k+1 = \tfrac{1}{2}\) ; inégalité stricte ; \(S = \mathbb{R} \setminus \left\{\tfrac{1}{2}\right\}\).
• \(\Delta > 0 \;\Leftrightarrow\; k > -\tfrac{1}{2}\) : deux racines distinctes ; positif à l'extérieur des racines ; \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Exercice 4 — niveau ★★★★☆
\[ (k-1)x^2 + 2x + 1 \ge 0 \]
Résultat
• \(k = 1\) : \(S = \left[-\tfrac{1}{2}, +\infty\right)\)
• \(k > 2\) : \(S = \mathbb{R}\)
• \(k = 2\) : \(S = \mathbb{R}\)
• \(1 < k < 2\) : \(S = (-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty)\)
• \(k < 1\) : \(S = [x_1, x_2]\)
Solution
Cas \(k = 1\) — équation du premier degré
\(2x + 1 \ge 0 \;\Rightarrow\; S = \left[-\tfrac{1}{2}, +\infty\right)\).
Cas \(k \neq 1\) — équation du second degré
\[ \Delta = 4 - 4(k-1) = 8 - 4k \]
• \(k > 2\) : \(\Delta < 0\), \(k-1 > 0\) (concavité \(\uparrow\)) ; \(S = \mathbb{R}\).
• \(k = 2\) : \(\Delta = 0\), racine double \(x_0 = -1\), \(k-1 > 0\) ; inégalité large ; \(S = \mathbb{R}\).
• \(1 < k < 2\) : \(\Delta > 0\), \(k-1 > 0\) (concavité \(\uparrow\)) ; \(S = (-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty)\).
• \(k < 1\) : \(\Delta > 0\), \(k-1 < 0\) (concavité \(\downarrow\)) ; \(S = [x_1, x_2]\).
Exercice 5 — niveau ★★★☆☆
\[ x^2 + kx - 4 > 0 \]
Résultat
Pour tout \(k \in \mathbb{R}\) il existe toujours deux racines réelles distinctes ; \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\) avec \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{k^2+16}}{2}\).
Solution
Discriminant
\[ \Delta = k^2 + 16 \ge 16 > 0 \quad \forall\, k \in \mathbb{R} \]
Le trinôme a toujours deux racines réelles distinctes. Parabole tournée vers le haut : positif à l'extérieur des racines.
Exercice 6 — niveau ★★★☆☆
\[ x^2 - kx + k > 0 \]
Résultat
• \(k \in (0, 4)\) : \(S = \mathbb{R}\)
• \(k = 0\) : \(S = \mathbb{R} \setminus \{0\}\)
• \(k = 4\) : \(S = \mathbb{R} \setminus \{2\}\)
• \(k < 0\) ou \(k > 4\) : \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
Solution
Discriminant
\[ \Delta = k^2 - 4k = k(k-4) \]
Étude
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; k \in (0,4)\) : \(S = \mathbb{R}\).
• \(\Delta = 0 \;\Leftrightarrow\; k=0\) (racine \(x_0=0\)) ou \(k=4\) (racine \(x_0=2\)) : inégalité stricte ; \(S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\).
• \(\Delta > 0 \;\Leftrightarrow\; k < 0\) ou \(k > 4\) : \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Exercice 7 — niveau ★★★★☆
\[ x^2 + (k+1)x + k < 0 \]
Résultat
• \(k = 1\) : \(S = \emptyset\)
• \(k < 1\) : \(S = (-1,\; -k)\)
• \(k > 1\) : \(S = (-k,\; -1)\)
Solution
Factorisation
\[ x^2 + (k+1)x + k = (x+1)(x+k) \]
Discriminant (vérification)
\[ \Delta = (k+1)^2 - 4k = k^2 - 2k + 1 = (k-1)^2 \ge 0 \quad \forall\, k \]
Étude du signe
Racines : \(x = -1\) et \(x = -k\).
• \(k = 1\) : racine double \(x = -1\) ; \((x+1)^2 < 0\) est impossible ; \(S = \emptyset\).
• \(k < 1\) : \(-k > -1\), racines rangées \(-1 < -k\) ; produit \(< 0\) entre les racines ; \(S = (-1,\, -k)\).
• \(k > 1\) : \(-k < -1\), racines rangées \(-k < -1\) ; produit \(< 0\) entre les racines ; \(S = (-k,\, -1)\).
Exercice 8 — niveau ★★★★☆
\[ x^2 - 3kx + 2k > 0 \]
Résultat
• \(k \in \left(0,\, \tfrac{8}{9}\right)\) : \(S = \mathbb{R}\)
• \(k = 0\) ou \(k = \tfrac{8}{9}\) : \(S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\)
• \(k < 0\) ou \(k > \tfrac{8}{9}\) : \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
Solution
Discriminant
\[ \Delta = 9k^2 - 8k = k(9k-8) \]
Étude
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; k \in \left(0,\, \tfrac{8}{9}\right)\) : \(S = \mathbb{R}\).
• \(\Delta = 0 \;\Leftrightarrow\; k = 0\) ou \(k = \tfrac{8}{9}\) : inégalité stricte ; \(S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\).
• \(\Delta > 0 \;\Leftrightarrow\; k < 0\) ou \(k > \tfrac{8}{9}\) : \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Exercice 9 — niveau ★★★☆☆
\[ x^2 - kx + 2 > 0 \]
Résultat
• \(|k| < 2\sqrt{2}\) : \(S = \mathbb{R}\)
• \(|k| = 2\sqrt{2}\) : \(S = \mathbb{R} \setminus \left\{\tfrac{k}{2}\right\}\)
• \(|k| > 2\sqrt{2}\) : \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
Solution
Discriminant
\[ \Delta = k^2 - 8 \]
Étude
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; |k| < 2\sqrt{2}\) : \(S = \mathbb{R}\).
• \(\Delta = 0 \;\Leftrightarrow\; k = \pm 2\sqrt{2}\) : racine double \(x_0 = k/2\) ; inégalité stricte ; \(S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\).
• \(\Delta > 0 \;\Leftrightarrow\; |k| > 2\sqrt{2}\) : \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Exercice 10 — niveau ★★★☆☆
\[ x^2 + (k-3)x + 2k \le 0 \]
Résultat
• \(k \in (7-2\sqrt{10},\; 7+2\sqrt{10})\) : \(S = \emptyset\)
• \(k = 7 \pm 2\sqrt{10}\) : \(S = \{x_0\}\)
• sinon : \(S = [x_1, x_2]\)
Solution
Discriminant
\[ \Delta = (k-3)^2 - 8k = k^2 - 14k + 9 \]
Racines de \(\Delta = 0\)
\[ k = \frac{14 \pm \sqrt{196-36}}{2} = 7 \pm 2\sqrt{10} \]
Étude
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; k \in (7-2\sqrt{10},\, 7+2\sqrt{10})\) : parabole tournée vers le haut, toujours \(> 0\) ; \(S = \emptyset\).
• \(\Delta = 0\) : unique racine \(x_0\) ; inégalité large ; \(S = \{x_0\}\).
• \(\Delta > 0\) : parabole tournée vers le haut, négative entre les racines ; \(S = [x_1, x_2]\).
Exercice 11 — niveau ★★★★☆
\[ (k+2)x^2 - x + 1 > 0 \]
Résultat
• \(k = -2\) : \(S = (-\infty, 1)\)
• \(k > -\tfrac{7}{4}\) (avec \(k \neq -2\)) : \(S = \mathbb{R}\)
• \(k = -\tfrac{7}{4}\) : \(S = \mathbb{R} \setminus \{2\}\)
• \(-2 < k < -\tfrac{7}{4}\) : \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
• \(k < -2\) : \(S = (x_1, x_2)\)
Solution
Cas \(k = -2\) — équation du premier degré
\(-x + 1 > 0 \;\Rightarrow\; x < 1\) ; \(S = (-\infty, 1)\).
Cas \(k \neq -2\) — équation du second degré
\[ \Delta = 1 - 4(k+2) = -4k - 7 \]
Note : \(-2 < -\tfrac{7}{4}\) (c'est-à-dire \(-2 < -1{,}75\)), donc sur la droite réelle l'ordre est \(k < -2\), puis \(-2 < k < -\tfrac{7}{4}\), puis \(k \ge -\tfrac{7}{4}\).
• \(k > -\tfrac{7}{4}\) : \(\Delta < 0\), \(k+2 > 0\) (concavité \(\uparrow\)) ; \(S = \mathbb{R}\).
• \(k = -\tfrac{7}{4}\) : \(\Delta = 0\), \(k+2 = \tfrac{1}{4} > 0\) ; racine double \(x_0 = \tfrac{1}{2(k+2)} = 2\) ; inégalité stricte ; \(S = \mathbb{R} \setminus \{2\}\).
• \(-2 < k < -\tfrac{7}{4}\) : \(\Delta > 0\), \(k+2 > 0\) (concavité \(\uparrow\)) ; positif à l'extérieur des racines ; \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
• \(k < -2\) : \(\Delta > 0\), \(k+2 < 0\) (concavité \(\downarrow\)) ; positif entre les racines ; \(S = (x_1, x_2)\).
Exercice 12 — niveau ★★★★☆
\[ x^2 - 2kx + k^2 - 1 \ge 0 \]
Résultat
Pour tout \(k\), \(S = (-\infty,\; k-1] \cup [k+1,\; +\infty)\).
Solution
Discriminant
\[ \Delta = 4k^2 - 4(k^2-1) = 4 > 0 \quad \forall\, k \]
Racines
\[ x_{1,2} = \frac{2k \pm 2}{2} = k \pm 1 \]
Parabole tournée vers le haut avec racines \(k-1 < k+1\) ; inégalité large ; \(S = (-\infty,\, k-1] \cup [k+1,\, +\infty)\).
Exercice 13 — niveau ★★★☆☆
\[ x^2 + kx + k > 0 \]
Résultat
• \(k \in (0, 4)\) : \(S = \mathbb{R}\)
• \(k = 0\) : \(S = \mathbb{R} \setminus \{0\}\)
• \(k = 4\) : \(S = \mathbb{R} \setminus \{-2\}\)
• \(k < 0\) ou \(k > 4\) : \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
Solution
Discriminant
\[ \Delta = k^2 - 4k = k(k-4) \]
Étude
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; k \in (0,4)\) : \(S = \mathbb{R}\).
• \(\Delta = 0 \;\Leftrightarrow\; k=0\) (racine \(x_0=0\)) ou \(k=4\) (racine \(x_0=-2\)) : inégalité stricte ; \(S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\).
• \(\Delta > 0 \;\Leftrightarrow\; k < 0\) ou \(k > 4\) : \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Exercice 14 — niveau ★★★★☆
\[ (k-1)x^2 + (k+1)x + 1 < 0 \]
Résultat
• \(k = 1\) : \(S = \left(-\infty,\, -\tfrac{1}{2}\right)\)
• \(k > 1\) : \(S = (x_1, x_2)\)
• \(k < 1\) : \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
Solution
Cas \(k = 1\) — équation du premier degré
\(2x + 1 < 0 \;\Rightarrow\; x < -\tfrac{1}{2}\) ; \(S = \left(-\infty, -\tfrac{1}{2}\right)\).
Cas \(k \neq 1\) — équation du second degré
\[ \Delta = (k+1)^2 - 4(k-1) = k^2 - 2k + 5 = (k-1)^2 + 4 \ge 4 > 0 \quad \forall\, k \]
Le discriminant est toujours positif : le trinôme a toujours deux racines réelles distinctes.
• \(k > 1\) : \(k-1 > 0\) (concavité \(\uparrow\)) ; négatif entre les racines ; \(S = (x_1, x_2)\).
• \(k < 1\) : \(k-1 < 0\) (concavité \(\downarrow\)) ; négatif à l'extérieur des racines ; \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Exercice 15 — niveau ★★★☆☆
\[ x^2 - k^2 x + 1 > 0 \]
Résultat
• \(|k| < \sqrt{2}\) : \(S = \mathbb{R}\)
• \(|k| = \sqrt{2}\) : \(S = \mathbb{R} \setminus \{1\}\)
• \(|k| > \sqrt{2}\) : \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
Solution
Discriminant
\[ \Delta = k^4 - 4 \]
Étude
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; k^4 < 4 \;\Leftrightarrow\; k^2 < 2 \;\Leftrightarrow\; |k| < \sqrt{2}\) : \(S = \mathbb{R}\).
• \(\Delta = 0 \;\Leftrightarrow\; |k| = \sqrt{2}\) : \(k^2 = 2\), racine double \(x_0 = k^2/2 = 1\) ; inégalité stricte ; \(S = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).
• \(\Delta > 0 \;\Leftrightarrow\; |k| > \sqrt{2}\) : \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Exercice 16 — niveau ★★★★☆
\[ x^2 + 2kx + k^2 - 4 \ge 0 \]
Résultat
Pour tout \(k\), \(S = (-\infty,\; -k-2] \cup [-k+2,\; +\infty)\).
Solution
Discriminant
\[ \Delta = 4k^2 - 4(k^2-4) = 16 > 0 \quad \forall\, k \]
Racines
\[ x_{1,2} = \frac{-2k \pm 4}{2} = -k \pm 2 \]
Parabole tournée vers le haut avec racines \(-k-2 < -k+2\) ; inégalité large ; \(S = (-\infty,\, -k-2] \cup [-k+2,\, +\infty)\).
Exercice 17 — niveau ★★★★☆
\[ x^2 - (k+1)x + k > 0 \]
Résultat
• \(k = 1\) : \(S = \mathbb{R} \setminus \{1\}\)
• \(k < 1\) : \(S = (-\infty, k) \cup (1, +\infty)\)
• \(k > 1\) : \(S = (-\infty, 1) \cup (k, +\infty)\)
Solution
Factorisation
\[ x^2 - (k+1)x + k = (x-1)(x-k) \]
Discriminant (vérification)
\[ \Delta = (k+1)^2 - 4k = k^2 - 2k + 1 = (k-1)^2 \ge 0 \quad \forall\, k \]
Étude du signe
• \(k = 1\) : racine double \(x = 1\) ; \((x-1)^2 > 0\) pour tout \(x \neq 1\) ; \(S = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).
• \(k < 1\) : racines rangées \(k < 1\) ; produit \(> 0\) à l'extérieur des racines ; \(S = (-\infty, k) \cup (1, +\infty)\).
• \(k > 1\) : racines rangées \(1 < k\) ; produit \(> 0\) à l'extérieur des racines ; \(S = (-\infty, 1) \cup (k, +\infty)\).
Exercice 18 — niveau ★★★★★
\[ (k-2)x^2 + 2x + 1 \ge 0 \]
Résultat
• \(k = 2\) : \(S = \left[-\tfrac{1}{2}, +\infty\right)\)
• \(k > 3\) : \(S = \mathbb{R}\)
• \(k = 3\) : \(S = \mathbb{R}\)
• \(2 < k < 3\) : \(S = (-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty)\)
• \(k < 2\) : \(S = [x_1, x_2]\)
Solution
Cas \(k = 2\) — équation du premier degré
\(2x + 1 \ge 0 \;\Rightarrow\; S = \left[-\tfrac{1}{2}, +\infty\right)\).
Cas \(k \neq 2\) — équation du second degré
\[ \Delta = 4 - 4(k-2) = 12 - 4k \]
• \(k > 3\) : \(\Delta < 0\), \(k-2 > 0\) (concavité \(\uparrow\)) ; \(S = \mathbb{R}\).
• \(k = 3\) : \(\Delta = 0\), racine double \(x_0 = -1\), \(k-2 = 1 > 0\) ; inégalité large ; \(S = \mathbb{R}\).
• \(2 < k < 3\) : \(\Delta > 0\), \(k-2 > 0\) (concavité \(\uparrow\)) ; \(S = (-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty)\).
• \(k < 2\) : \(\Delta > 0\), \(k-2 < 0\) (concavité \(\downarrow\)) ; \(S = [x_1, x_2]\).
Exercice 19 — niveau ★★★★★
\[ x^2 + kx + k^2 - 1 < 0 \]
Résultat
• \(|k| < \tfrac{2\sqrt{3}}{3}\) : \(S = (x_1, x_2)\) avec \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{4-3k^2}}{2}\)
• \(|k| \ge \tfrac{2\sqrt{3}}{3}\) : \(S = \emptyset\)
Solution
Discriminant
\[ \Delta = k^2 - 4(k^2-1) = -3k^2 + 4 \]
Étude
• \(\Delta > 0 \;\Leftrightarrow\; 3k^2 < 4 \;\Leftrightarrow\; |k| < \tfrac{2}{\sqrt{3}} = \tfrac{2\sqrt{3}}{3}\) : parabole tournée vers le haut, négative entre les racines ; \(S = (x_1, x_2)\).
• \(\Delta = 0 \;\Leftrightarrow\; |k| = \tfrac{2\sqrt{3}}{3}\) : racine double, trinôme \(\ge 0\) ; inégalité stricte ; \(S = \emptyset\).
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; |k| > \tfrac{2\sqrt{3}}{3}\) : aucune racine réelle, trinôme toujours \(> 0\) ; \(S = \emptyset\).
Exercice 20 — niveau ★★★★★
\[ (x-k)(x-1) > 0 \]
Résultat
• \(k < 1\) : \(S = (-\infty, k) \cup (1, +\infty)\)
• \(k = 1\) : \(S = \mathbb{R} \setminus \{1\}\)
• \(k > 1\) : \(S = (-\infty, 1) \cup (k, +\infty)\)
Solution
Racines
\[ x = k \qquad x = 1 \]
Étude du signe
• \(k < 1\) : racines rangées \(k < 1\) ; produit \(> 0\) à l'extérieur des racines ; \(S = (-\infty, k) \cup (1, +\infty)\).
• \(k = 1\) : racine double \((x-1)^2 > 0\) pour tout \(x \neq 1\) ; \(S = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).
• \(k > 1\) : racines rangées \(1 < k\) ; produit \(> 0\) à l'extérieur des racines ; \(S = (-\infty, 1) \cup (k, +\infty)\).