Recueil d’exercices sur l’étude du signe de fonctions polynomiales et rationnelles. Résolutions détaillées avec schémas de signes, analyse des zéros, du domaine et des éventuels points exclus.
L’étude du signe consiste à déterminer pour quelles valeurs de la variable une fonction est positive, négative ou nulle. Pour cela, on analyse les facteurs de l’expression, on repère les zéros, les valeurs interdites et l’on construit un tableau de signes.
Exercice 1 — niveau ★★☆☆☆
\[ f(x) = (x-3)(x+1) \]
Résultat
\[ f(x)>0 \text{ pour } x<-1 \text{ ou } x>3 \]
\[ f(x)=0 \text{ pour } x=-1,\ 3 \]
\[ f(x)<0 \text{ pour } -1<x<3 \]
Résolution
Zéros
\(x=-1\), \(x=3\).
Tableau de signes
Conclusion
\(f(x)>0\) pour \(x<-1\) ou \(x>3\).
\(f(x)<0\) pour \(-1<x<3\).
Exercice 2 — niveau ★★☆☆☆
\[ f(x) = -(x+2)(x-4) \]
Résultat
\[ f(x)>0 \text{ pour } -2<x<4 \]
\[ f(x)<0 \text{ pour } x<-2 \text{ ou } x>4 \]
Résolution
Remarque
Le facteur \(-1\) inverse le signe du produit.
Zéros
\(x=-2\), \(x=4\).
Tableau de signes
Conclusion
\(f(x)>0\) pour \(-2<x<4\).
\(f(x)<0\) pour \(x<-2\) ou \(x>4\).
Exercice 3 — niveau ★★☆☆☆
\[ f(x) = x^2 - 5x + 6 \]
Résultat
\[ f(x)>0 \text{ pour } x<2 \text{ ou } x>3 \]
\[ f(x)<0 \text{ pour } 2<x<3 \]
Résolution
Factorisation
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Zéros
\(x=2\), \(x=3\).
Tableau de signes
Conclusion
\(f(x)>0\) pour \(x<2\) ou \(x>3\).
\(f(x)<0\) pour \(2<x<3\).
Exercice 4 — niveau ★★☆☆☆
\[ f(x) = -x^2 + x + 6 \]
Résultat
\[ f(x)>0 \text{ pour } -2<x<3 \]
\[ f(x)<0 \text{ pour } x<-2 \text{ ou } x>3 \]
Résolution
Factorisation
\[ -x^2+x+6=-(x-3)(x+2) \]
Zéros
\(x=-2\), \(x=3\).
Tableau de signes
Conclusion
\(f(x)>0\) pour \(-2<x<3\).
\(f(x)<0\) pour \(x<-2\) ou \(x>3\).
Exercice 5 — niveau ★★★☆☆
\[ f(x) = (x+1)(x-2)(x-5) \]
Résultat
\[ f(x)>0 \text{ pour } -1<x<2 \text{ ou } x>5 \]
\[ f(x)<0 \text{ pour } x<-1 \text{ ou } 2<x<5 \]
Résolution
Zéros
\(x=-1\), \(x=2\), \(x=5\).
Remarque
Le signe change à chaque zéro de multiplicité impaire.
Tableau de signes
Conclusion
\(f(x)>0\) pour \(-1<x<2\) ou \(x>5\).
\(f(x)<0\) pour \(x<-1\) ou \(2<x<5\).
Exercice 6 — niveau ★★★☆☆
\[ f(x) = \frac{x-1}{x+3} \]
Résultat
\[ f(x)>0 \text{ pour } x<-3 \text{ ou } x>1 \]
\[ f(x)<0 \text{ pour } -3<x<1 \]
Résolution
Domaine
\(x\neq -3\).
Zéro
\(x=1\).
Tableau de signes
Conclusion
\(f(x)>0\) pour \(x<-3\) ou \(x>1\).
\(f(x)<0\) pour \(-3<x<1\).
Exercice 7 — niveau ★★★☆☆
\[ f(x) = x^3 - 4x \]
Résultat
\[ f(x)>0 \text{ pour } -2<x<0 \text{ ou } x>2 \]
\[ f(x)<0 \text{ pour } x<-2 \text{ ou } 0<x<2 \]
Résolution
Factorisation
\[ x^3-4x=x(x-2)(x+2) \]
Zéros
\(x=-2\), \(x=0\), \(x=2\).
Tableau de signes
Conclusion
\(f(x)>0\) pour \(-2<x<0\) ou \(x>2\).
\(f(x)<0\) pour \(x<-2\) ou \(0<x<2\).
Exercice 8 — niveau ★★★☆☆
\[ f(x) = \frac{x^2-4}{x-1} \]
Résultat
\[ f(x)>0 \text{ pour } -2<x<1 \text{ ou } x>2 \]
\[ f(x)<0 \text{ pour } x<-2 \text{ ou } 1<x<2 \]
Résolution
Factorisation
\[ f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-1} \]
Domaine
\(x\neq 1\).
Tableau de signes
Conclusion
\(f(x)>0\) pour \(-2<x<1\) ou \(x>2\).
\(f(x)<0\) pour \(x<-2\) ou \(1<x<2\).
Exercice 9 — niveau ★★★☆☆
\[ f(x) = (2x+1)(x-3)^2 \]
Résultat
\[ f(x)>0 \text{ pour } x>-\tfrac{1}{2},\ x\neq 3 \]
\[ f(x)<0 \text{ pour } x<-\tfrac{1}{2} \]
\[ f(x)=0 \text{ pour } x=-\tfrac{1}{2},\ 3 \]
Résolution
Zéros
\(x=-\tfrac{1}{2}\) est un zéro simple et \(x=3\) est un zéro double.
Remarque
Le facteur \((x-3)^2\) est toujours non négatif : il ne change pas le signe.
Tableau de signes
Conclusion
\(f(x)>0\) pour \(x>-\tfrac{1}{2}\), avec \(x\neq 3\).
\(f(x)<0\) pour \(x<-\tfrac{1}{2}\).
Exercice 10 — niveau ★★★☆☆
\[ f(x) = \frac{(x+2)(x-1)}{x(x-4)} \]
Résultat
\[ f(x)>0 \text{ pour } x<-2 \text{ ou } 0<x<1 \text{ ou } x>4 \]
\[ f(x)<0 \text{ pour } -2<x<0 \text{ ou } 1<x<4 \]
Résolution
Domaine
\(x\neq 0\), \(x\neq 4\).
Zéros
\(x=-2\), \(x=1\).
Tableau de signes
Conclusion
\(f(x)>0\) pour \(x<-2\), \(0<x<1\) ou \(x>4\).
\(f(x)<0\) pour \(-2<x<0\) ou \(1<x<4\).
Exercice 11 — niveau ★★★★☆
\[ f(x) = x^4 - 5x^2 + 4 \]
Résultat
\[ f(x)>0 \text{ pour } x<-2,\ -1<x<1,\ x>2 \]
\[ f(x)<0 \text{ pour } -2<x<-1,\ 1<x<2 \]
Résolution
Factorisation
\[ x^4-5x^2+4=(x^2-1)(x^2-4)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2) \]
Zéros
\(x=-2\), \(x=-1\), \(x=1\), \(x=2\).
Tableau de signes
Conclusion
\(f(x)>0\) pour \(x<-2\), \(-1<x<1\) ou \(x>2\).
\(f(x)<0\) pour \(-2<x<-1\) ou \(1<x<2\).
Exercice 12 — niveau ★★★★☆
\[ f(x) = \frac{x^2-3x+2}{x^2+x-6} \]
Résultat
\[ f(x)>0 \text{ pour } x<-3 \text{ ou } 1<x<2 \text{ ou } x>2 \]
\[ f(x)<0 \text{ pour } -3<x<1 \]
\[ x=2 \text{ est exclu du domaine} \]
Résolution
Factorisation
\[ f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(x+3)(x-2)} \]
Domaine
\(x\neq -3\), \(x\neq 2\).
Simplification
Pour \(x\neq 2\), on obtient :
\[ f(x)=\frac{x-1}{x+3} \]
Tableau de signes
Conclusion
\(f(x)>0\) pour \(x<-3\), \(1<x<2\) ou \(x>2\).
\(f(x)<0\) pour \(-3<x<1\).
Le point \(x=2\) est exclu du domaine.
Exercice 13 — niveau ★★★★☆
\[ f(x) = (x^2-1)(x^2-9) \]
Résultat
\[ f(x)>0 \text{ pour } x<-3,\ -1<x<1,\ x>3 \]
\[ f(x)<0 \text{ pour } -3<x<-1,\ 1<x<3 \]
Résolution
Factorisation
\[ (x^2-1)(x^2-9)=(x-1)(x+1)(x-3)(x+3) \]
Zéros
\(x=-3\), \(x=-1\), \(x=1\), \(x=3\).
Tableau de signes
Conclusion
\(f(x)>0\) pour \(x<-3\), \(-1<x<1\) ou \(x>3\).
\(f(x)<0\) pour \(-3<x<-1\) ou \(1<x<3\).
Exercice 14 — niveau ★★★★☆
\[ f(x) = \frac{x^3-x}{x^2-4} \]
Résultat
\[ f(x)>0 \text{ pour } -2<x<-1,\ 0<x<1,\ x>2 \]
\[ f(x)<0 \text{ pour } x<-2,\ -1<x<0,\ 1<x<2 \]
Résolution
Factorisation
\[ f(x)=\frac{x(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)} \]
Domaine
\(x\neq -2\), \(x\neq 2\).
Zéros
\(x=-1\), \(x=0\), \(x=1\).
Tableau de signes
Conclusion
\(f(x)>0\) pour \(-2<x<-1\), \(0<x<1\) ou \(x>2\).
\(f(x)<0\) pour \(x<-2\), \(-1<x<0\) ou \(1<x<2\).
Exercice 15 — niveau ★★★★☆
\[ f(x) = x^2(x-2)(x+3) \]
Résultat
\[ f(x)>0 \text{ pour } x<-3 \text{ ou } x>2 \]
\[ f(x)<0 \text{ pour } -3<x<0 \text{ ou } 0<x<2 \]
\[ f(x)=0 \text{ pour } x=-3,\ 0,\ 2 \]
Résolution
Zéros
\(x=-3\), \(x=0\), \(x=2\).
Remarque
\(x=0\) est un zéro double : le signe ne change pas en ce point.
Tableau de signes
Conclusion
\(f(x)>0\) pour \(x<-3\) ou \(x>2\).
\(f(x)<0\) pour \(-3<x<0\) ou \(0<x<2\).
Exercice 16 — niveau ★★★★★
\[ f(x) = \frac{x^2(x+1)}{(x-1)^2(x+2)} \]
Résultat
\[ f(x)>0 \text{ pour } x<-2,\ -1<x<0,\ 0<x<1,\ x>1 \]
\[ f(x)<0 \text{ pour } -2<x<-1 \]
\[ f(x)=0 \text{ pour } x=-1,\ 0 \]
Résolution
Domaine
\(x\neq -2\), \(x\neq 1\).
Zéros
\(x=-1\), \(x=0\).
Remarque
Les facteurs \(x^2\) et \((x-1)^2\) ne changent pas le signe. Le zéro \(x=0\) est double et le pôle \(x=1\) est double.
Tableau de signes
Conclusion
\(f(x)>0\) pour \(x<-2\), \(-1<x<0\), \(0<x<1\) ou \(x>1\).
\(f(x)<0\) pour \(-2<x<-1\).
Exercice 17 — niveau ★★★★★
\[ f(x) = \frac{x^4-1}{x^3-x} \]
Résultat
\[ f(x)>0 \text{ pour } 0<x<1 \text{ ou } x>1 \]
\[ f(x)<0 \text{ pour } x<-1 \text{ ou } -1<x<0 \]
Résolution
Factorisation
\[ x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1) \]
\[ x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1) \]
Domaine
\(x\neq -1\), \(x\neq 0\), \(x\neq 1\).
Simplification
Pour \(x\neq -1\) et \(x\neq 1\), on obtient :
\[ f(x)=\frac{x^2+1}{x} \]
Comme \(x^2+1>0\) pour tout réel \(x\), le signe dépend uniquement de \(x\).
Tableau de signes
Conclusion
\(f(x)>0\) pour \(0<x<1\) ou \(x>1\).
\(f(x)<0\) pour \(x<-1\) ou \(-1<x<0\).
Exercice 18 — niveau ★★★★★
\[ f(x) = (x^2+2x-3)^2 \]
Résultat
\[ f(x)\geq 0 \text{ pour tout } x\in\mathbb{R} \]
\[ f(x)=0 \text{ pour } x=-3,\ 1 \]
Résolution
Factorisation
\[ x^2+2x-3=(x+3)(x-1) \]
\[ f(x)=\big[(x+3)(x-1)\big]^2 \]
Zéros
\(x=-3\), \(x=1\).
Remarque
Un carré est toujours positif ou nul. La fonction est donc toujours non négative.
Tableau de signes
Conclusion
\(f(x)>0\) pour \(x<-3\), \(-3<x<1\) ou \(x>1\).
\(f(x)=0\) pour \(x=-3\) et \(x=1\).
Exercice 19 — niveau ★★★★★
\[ f(x) = \frac{(x+1)^2(x-2)}{x^2(x+3)} \]
Résultat
\[ f(x)>0 \text{ pour } x<-3 \text{ ou } x>2 \]
\[ f(x)<0 \text{ pour } -3<x<-1,\ -1<x<0,\ 0<x<2 \]
\[ f(x)=0 \text{ pour } x=-1,\ 2 \]
Résolution
Domaine
\(x\neq -3\), \(x\neq 0\).
Zéros
\(x=-1\), \(x=2\). Le zéro \(x=-1\) est double.
Tableau de signes
Conclusion
\(f(x)>0\) pour \(x<-3\) ou \(x>2\).
\(f(x)<0\) pour \(-3<x<-1\), \(-1<x<0\) ou \(0<x<2\).
Exercice 20 — niveau ★★★★★
\[ f(x) = \frac{x^3+x^2-4x-4}{x^2-x-2} \]
Résultat
\[ f(x)>0 \text{ pour } -2<x<-1,\ -1<x<2,\ x>2 \]
\[ f(x)<0 \text{ pour } x<-2 \]
\[ f(x)=0 \text{ pour } x=-2 \]
Résolution
Factorisation du numérateur
On regroupe les termes :
\[ x^3+x^2-4x-4=x^2(x+1)-4(x+1) \]
\[ =(x+1)(x^2-4)=(x+1)(x-2)(x+2) \]
Factorisation du dénominateur
\[ x^2-x-2=(x-2)(x+1) \]
Domaine
Le dénominateur s’annule pour :
\[ x=-1,\quad x=2 \]
Donc :
\[ x\neq -1,\quad x\neq 2 \]
Simplification
Pour \(x\neq -1\) et \(x\neq 2\), on obtient :
\[ f(x)=\frac{(x+1)(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}=x+2 \]
La fonction a donc le même signe que \(x+2\), en tenant compte des points exclus.
Tableau de signes
Conclusion
\(f(x)>0\) pour \(-2<x<-1\), \(-1<x<2\) ou \(x>2\).
\(f(x)<0\) pour \(x<-2\).
\(f(x)=0\) pour \(x=-2\).
Les points \(x=-1\) et \(x=2\) sont exclus du domaine.