Exercices résolus sur les systèmes d’équations

\( x = 3 \quad y = 2 \)

Méthode d'élimination (addition)

En additionnant membre à membre, on élimine \( y \) :

\( (x + y) + (x - y) = 5 + 1 \implies 2x = 6 \implies x = 3 \)

En substituant dans la première équation : \( 3 + y = 5 \implies y = 2 \).

Vérification

\( 3 + 2 = 5 \) et \( 3 - 2 = 1 \)

Résultat final : \(\boxed{x = 3 \quad y = 2}\)

\( x = 4 \quad y = 2 \)

Méthode de substitution

De la première équation : \( x = 2y \). En substituant dans la seconde :

\( 2y + y = 6 \implies 3y = 6 \implies y = 2 \), donc \( x = 4 \).

Vérification

\( 4 - 4 = 0 \) et \( 4 + 2 = 6 \)

Résultat final : \(\boxed{x = 4 \quad y = 2}\)

\( x = 3 \quad y = 1 \)

Méthode de substitution

De la première : \( y = 10 - 3x \). En substituant dans la seconde :

\( x + 3(10 - 3x) = 6 \implies x + 30 - 9x = 6 \implies -8x = -24 \implies x = 3 \)

Ensuite \( y = 10 - 9 = 1 \).

Vérification

\( 9 + 1 = 10 \) et \( 3 + 3 = 6 \)

Résultat final : \(\boxed{x = 3 \quad y = 1}\)

\( x = 2 \quad y = 2 \)

Méthode de substitution

De la seconde : \( x = 4 - y \). En substituant dans la première :

\( 5(4 - y) + 2y = 14 \implies 20 - 5y + 2y = 14 \implies -3y = -6 \implies y = 2 \)

Ensuite \( x = 4 - 2 = 2 \).

Vérification

\( 10 + 4 = 14 \) et \( 2 + 2 = 4 \)

Résultat final : \(\boxed{x = 2 \quad y = 2}\)

\( x = 2 \quad y = 1 \)

Méthode d'élimination

Nous multiplions la seconde équation par 3 pour rendre les coefficients de \( y \) opposés :

\( \begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ 12x + 3y = 27 \end{cases} \)

En additionnant : \( 14x = 28 \implies x = 2 \). Ensuite \( y = 1 \).

Vérification

\( 4 - 3 = 1 \) et \( 8 + 1 = 9 \)

Résultat final : \(\boxed{x = 2 \quad y = 1}\)

\( x = 2 \quad y = 3 \)

Méthode d'élimination

Les coefficients de \( y \) sont déjà opposés. En additionnant les équations :

\( 8x = 16 \implies x = 2 \). Ensuite \( y = 3 \).

Vérification

\( 6 + 6 = 12 \) et \( 10 - 6 = 4 \)

Résultat final : \(\boxed{x = 2 \quad y = 3}\)

\( x = 3 \quad y = 2 \)

Suppression des fractions

Première équation ×3 : \( x + 3y = 9 \)
Seconde équation ×2 : \( 2x + y = 8 \)

De la première : \( x = 9 - 3y \). En substituant : \( 2(9 - 3y) + y = 8 \implies y = 2 \), donc \( x = 3 \).

Vérification

\( 1 + 2 = 3 \) et \( 3 + 1 = 4 \)

Résultat final : \(\boxed{x = 3 \quad y = 2}\)

\( x = 2 \quad y = 3 \)

Méthode d'élimination

Seconde équation ×2 : \( 4x + 10y = 38 \). En soustrayant la première :

\( 13y = 39 \implies y = 3 \). Ensuite \( x = 2 \).

Vérification

\( 8 - 9 = -1 \) et \( 4 + 15 = 19 \)

Résultat final : \(\boxed{x = 2 \quad y = 3}\)

Solutions infinies

Analyse du système

En multipliant la première par 2 on obtient la seconde : les équations sont équivalentes (même droite).

Le système est indéterminé. Solutions : \( x = \frac{6 - 3t}{2} \), \( y = t \) avec \( t \in \mathbb{R} \).

Résultat final : \(\boxed{\text{Solutions infinies : } x = \dfrac{6-3t}{2},\ y = t \ (t \in \mathbb{R})}\)

Aucune solution

Analyse du système

En multipliant la première par 2 : \( 6x - 2y = 10 \), ce qui contredit la seconde équation.

Les droites sont parallèles et distinctes → système incompatible.

Résultat final : \(\boxed{\text{Système incompatible — aucune solution}}\)

\( x = 1 \quad y = 4 \)

Méthode d'élimination

Nous multiplions la première équation par 2 pour rendre les coefficients de \( y \) égaux :

\( \begin{cases} 10x + 4y = 26 \\ 3x + 4y = 19 \end{cases} \)

En soustrayant : \( 7x = 7 \implies x = 1 \). Ensuite \( y = 4 \).

Vérification

\( 5 + 8 = 13 \) et \( 3 + 16 = 19 \)

Résultat final : \(\boxed{x = 1 \quad y = 4}\)

\( x = 4 \quad y = 1 \)

Méthode d'élimination

Nous multiplions la première par 2 et la seconde par 3 pour éliminer \( y \) :

\( \begin{cases} 4x - 6y = 10 \\ 15x + 6y = 66 \end{cases} \)

En additionnant : \( 19x = 76 \implies x = 4 \). Ensuite \( y = 1 \).

Vérification

\( 8 - 3 = 5 \) et \( 20 + 2 = 22 \)

Résultat final : \(\boxed{x = 4 \quad y = 1}\)

\( (x,y) = (1,3) \) ou \( (3,1) \)

Méthode combinée

De la première : \( x = 4 - y \). En substituant dans la seconde :

\( (4 - y) \cdot y = 3 \implies 4y - y^2 = 3 \implies y^2 - 4y + 3 = 0 \implies (y-1)(y-3) = 0 \)

\( y = 1 \implies x = 3 \); \( y = 3 \implies x = 1 \).

Résultat final : \(\boxed{(x,y)=(1,3)\ \text{ou}\ (3,1)}\)

\( x = 3 \quad y = 2 \quad z = 1 \)

Élimination par soustraction

En soustrayant la seconde de la première : \( 2y = 4 \implies y = 2 \).
En soustrayant la troisième de la première : \( 2z = 2 \implies z = 1 \).

Ensuite \( x = 6 - y - z = 3 \).

Vérification

Les trois équations originales sont satisfaites.

Résultat final : \(\boxed{x = 3 \quad y = 2 \quad z = 1}\)

\( x = 3 \quad y = 2 \quad z = 4 \)

Élimination par soustraction

Seconde moins première : \( x = 3 \).
Troisième moins première : \( y = 2 \).

Ensuite \( z = 9 - x - y = 4 \).

Vérification

Les trois équations sont satisfaites.

Résultat final : \(\boxed{x = 3 \quad y = 2 \quad z = 4}\)

\( x = 1 \quad y = 2 \quad z = 3 \)

Réduction du système

On additionne la première et la seconde pour éliminer \( y \) : \( 3x + z = 6 \).

On résout le système 2×2 résultant pour trouver \( x = 1 \), \( z = 3 \), puis \( y = 2 \).

Vérification

Les équations originales sont satisfaites.

Résultat final : \(\boxed{x = 1 \quad y = 2 \quad z = 3}\)

\( (x,y) = (2,1) \) ou \( (-1,-2) \)

Substitution

\( x = y + 1 \). En substituant : \( (y+1)^2 + y^2 = 5 \implies 2y^2 + 2y - 4 = 0 \implies y^2 + y - 2 = 0 \).

Solutions : \( y = 1 \) (\( x=2 \)) ou \( y = -2 \) (\( x=-1 \)).

Résultat final : \(\boxed{(x,y)=(2,1)\ \text{ou}\ (-1,-2)}\)

\( (x,y) \in \{(1,3),(3,1),(-1,-3),(-3,-1)\} \)

Utilisation d'une identité algébrique

\( (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = 10 + 6 = 16 \implies x+y = \pm 4 \).

On résout l'équation quadratique pour chaque cas afin d'obtenir les quatre paires.

Résultat final : \(\boxed{(x,y) \in \{(1,3),(3,1),(-1,-3),(-3,-1)\}}\)

\( x = 1 \quad y = 2 \quad z = 3 \)

Somme des trois équations

En additionnant les trois : \( 4(x + y + z) = 24 \implies x + y + z = 6 \).

En soustrayant cette équation de chacune des équations originales, on obtient \( x=1 \), \( y=2 \), \( z=3 \).

Résultat final : \(\boxed{x = 1 \quad y = 2 \quad z = 3}\)

\( x = 2 \quad y = 1 \quad z = 4 \)

Réduction à deux équations

En additionnant la première et la seconde : \( x + y = 3 \). On substitue \( z = x + 2y \) dans la troisième et on résout.

Résultat final : \(\boxed{x = 2 \quad y = 1 \quad z = 4}\)

\( x = 4 \quad y = \frac{11}{5} \quad z = -\frac{2}{5} \)

Méthode d'élimination

On élimine \( x \) entre les équations et on résout le système 2×2 résultant.

Résultat final : \(\boxed{x = 4 \quad y = \frac{11}{5} \quad z = -\frac{2}{5}}\)

\( x = \frac{67}{25} \quad y = \frac{23}{25} \quad z = \frac{32}{25} \)

Réduction du système

Combinaison d'élimination et de substitution pour obtenir un système 2×2.

Résultat final : \(\boxed{x = \frac{67}{25} \quad y = \frac{23}{25} \quad z = \frac{32}{25}}\)

Cela dépend de la valeur de \( k \)

Analyse avec paramètre

En substituant \( x = 6 - y \): \( (k - 2)y = 0 \).

• Si \( k \neq 2 \): solution unique \( x = 6 \), \( y = 0 \)
• Si \( k = 2 \): solutions infinies (\( x = 6 - t \), \( y = t \))

Résultat final : \(\boxed{\text{Déterminé si } k \neq 2;\ \text{Indéterminé si } k=2}\)

\( (x,y) = (2,3) \) ou \( (3,2) \)

Méthode combinée

\( y = 5 - x \). En substituant : \( x^2 + (5 - x)^2 = 13 \implies x^2 - 5x + 6 = 0 \).

Solutions : \( x=2 \) (\( y=3 \)) et \( x=3 \) (\( y=2 \)).

Résultat final : \(\boxed{(x,y)=(2,3)\ \text{ou}\ (3,2)}\)

\( x = \frac{49}{12} \quad y = \frac{7}{4} \quad z = \frac{19}{12} \)

Élimination combinée

On élimine progressivement \( y \) et on résout le système résultant.

Résultat final : \(\boxed{x = \frac{49}{12} \quad y = \frac{7}{4} \quad z = \frac{19}{12}}\)