Exercice 1 du 25/03/2026 — niveau ★★☆☆☆
\[ 3x^2 + 6x \]
Résultat
\[ 3x(x + 2) \]
Développement
Idée directrice
On cherche le plus grand facteur commun (PGFC) à tous les termes du polynôme. Ici, le PGFC est \(3x\).
Identification du PGFC
Les coefficients \(3\) et \(6\) ont pour PGCD \(3\). La variable \(x\) apparaît dans les deux termes avec un exposant au moins égal à \(1\). Donc PGFC \(= 3x\).
Mise en facteur commun
\[ 3x^2 + 6x = 3x \cdot x + 3x \cdot 2 = 3x(x + 2) \]
Vérification
\[ 3x(x+2) = 3x^2 + 6x \]
Résultat
\[ \boxed{3x(x+2)} \]
Exercice 2 du 25/03/2026 — niveau ★★☆☆☆
\[ 4x^3 - 8x^2 + 12x \]
Résultat
\[ 4x(x^2 - 2x + 3) \]
Développement
Identification du PGFC
Les coefficients \(4, 8, 12\) ont pour PGCD \(4\). La variable \(x\) apparaît dans tous les termes avec un exposant au moins égal à \(1\). Donc PGFC \(= 4x\).
Mise en facteur commun
\[ 4x^3 - 8x^2 + 12x = 4x\cdot x^2 - 4x\cdot 2x + 4x\cdot 3 = 4x(x^2 - 2x + 3) \]
Vérification
\[ 4x(x^2-2x+3) = 4x^3 - 8x^2 + 12x \]
Résultat
\[ \boxed{4x(x^2 - 2x + 3)} \]
Exercice 3 du 25/03/2026 — niveau ★★☆☆☆
\[ 6x^2y - 9xy^2 + 3xy \]
Résultat
\[ 3xy(2x - 3y + 1) \]
Développement
Identification du PGFC
Les coefficients \(6, 9, 3\) ont pour PGCD \(3\). La variable \(x\) apparaît avec un exposant au moins égal à \(1\), tout comme la variable \(y\). Donc PGFC \(= 3xy\).
Mise en facteur commun
\[ 6x^2y - 9xy^2 + 3xy = 3xy\cdot2x - 3xy\cdot3y + 3xy\cdot1 = 3xy(2x - 3y + 1) \]
Vérification
\[ 3xy(2x-3y+1) = 6x^2y - 9xy^2 + 3xy \]
Résultat
\[ \boxed{3xy(2x - 3y + 1)} \]
Exercice 4 du 25/03/2026 — niveau ★★☆☆☆
\[ x^2 - 16 \]
Résultat
\[ (x-4)(x+4) \]
Développement
Idée directrice
On reconnaît la différence de deux carrés : \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) avec \(a = x\) et \(b = 4\).
Application de la formule
\[ x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4) \]
Vérification
\[ (x-4)(x+4) = x^2+4x-4x-16 = x^2-16 \]
Résultat
\[ \boxed{(x-4)(x+4)} \]
Exercice 5 du 25/03/2026 — niveau ★★☆☆☆
\[ 9x^2 - 25 \]
Résultat
\[ (3x-5)(3x+5) \]
Développement
Idée directrice
On reconnaît la différence de deux carrés avec \(a = 3x\) et \(b = 5\).
Application de la formule
\[ 9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x-5)(3x+5) \]
Vérification
\[ (3x-5)(3x+5) = 9x^2+15x-15x-25 = 9x^2-25 \]
Résultat
\[ \boxed{(3x-5)(3x+5)} \]
Exercice 6 du 25/03/2026 — niveau ★★☆☆☆
\[ x^2 + 6x + 9 \]
Résultat
\[ (x+3)^2 \]
Développement
Idée directrice
On reconnaît le carré d'un binôme : \(a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2\) avec \(a=x\) et \(b=3\).
Vérification de la structure
Premier terme : \(x^2 = x^2\) \(\checkmark\)
Terme central : \(6x = 2\cdot x\cdot3\) \(\checkmark\)
Dernier terme : \(9 = 3^2\) \(\checkmark\)
Résultat
\[ \boxed{(x+3)^2} \]
Exercice 7 du 25/03/2026 — niveau ★★★☆☆
\[ x^2 + 5x + 6 \]
Résultat
\[ (x+2)(x+3) \]
Développement
Idée directrice
Un trinôme de la forme \(x^2+bx+c\) se factorise en \((x+p)(x+q)\) avec \(p+q=b\) et \(p\cdot q=c\).
Recherche de \(p\) et \(q\)
On cherche deux nombres dont le produit est \(6\) et la somme est \(5\) :
\[ p\cdot q = 6 \qquad p + q = 5 \implies p = 2,\; q = 3 \]
Factorisation
\[ x^2+5x+6 = (x+2)(x+3) \]
Vérification
\[ (x+2)(x+3) = x^2+3x+2x+6 = x^2+5x+6 \]
Résultat
\[ \boxed{(x+2)(x+3)} \]
Exercice 8 du 25/03/2026 — niveau ★★★☆☆
\[ x^2 - 7x + 12 \]
Résultat
\[ (x-3)(x-4) \]
Développement
Recherche de \(p\) et \(q\)
On cherche deux nombres dont le produit est \(12\) et la somme est \(-7\) :
\[ p\cdot q = 12 \qquad p+q = -7 \implies p=-3,\; q=-4 \]
Factorisation
\[ x^2-7x+12 = (x-3)(x-4) \]
Vérification
\[ (x-3)(x-4) = x^2-4x-3x+12 = x^2-7x+12 \]
Résultat
\[ \boxed{(x-3)(x-4)} \]
Exercice 9 du 25/03/2026 — niveau ★★★☆☆
\[ x^2 + x - 6 \]
Résultat
\[ (x+3)(x-2) \]
Développement
Recherche de \(p\) et \(q\)
On cherche deux nombres dont le produit est \(-6\) et la somme est \(1\) :
\[ p\cdot q = -6 \qquad p+q=1 \implies p=3,\; q=-2 \]
Factorisation
\[ x^2+x-6 = (x+3)(x-2) \]
Vérification
\[ (x+3)(x-2) = x^2-2x+3x-6 = x^2+x-6 \]
Résultat
\[ \boxed{(x+3)(x-2)} \]
Exercice 10 du 25/03/2026 — niveau ★★★☆☆
\[ 2x^2 + 7x + 3 \]
Résultat
\[ (2x+1)(x+3) \]
Développement
Idée directrice
Pour un trinôme \(ax^2+bx+c\) avec \(a\neq1\), on utilise la méthode du produit \(a\cdot c\) : on cherche deux nombres dont le produit est \(ac = 6\) et la somme est \(b = 7\).
Produit \(ac\) et recherche des facteurs
\[ a\cdot c = 2\cdot3 = 6 \qquad p+q=7 \implies p=1,\; q=6 \]
Décomposition du terme central
\[ 2x^2+7x+3 = 2x^2+x+6x+3 \]
Factorisation par regroupement
\[ = x(2x+1)+3(2x+1) = (2x+1)(x+3) \]
Vérification
\[ (2x+1)(x+3) = 2x^2+6x+x+3 = 2x^2+7x+3 \]
Résultat
\[ \boxed{(2x+1)(x+3)} \]
Exercice 11 du 25/03/2026 — niveau ★★★☆☆
\[ 3x^2 - 10x + 3 \]
Résultat
\[ (3x-1)(x-3) \]
Développement
Produit \(ac\) et recherche des facteurs
\[ a\cdot c = 3\cdot3 = 9 \qquad p+q=-10 \implies p=-1,\; q=-9 \]
Décomposition du terme central
\[ 3x^2-10x+3 = 3x^2-x-9x+3 \]
Factorisation par regroupement
\[ = x(3x-1)-3(3x-1) = (3x-1)(x-3) \]
Vérification
\[ (3x-1)(x-3) = 3x^2-9x-x+3 = 3x^2-10x+3 \]
Résultat
\[ \boxed{(3x-1)(x-3)} \]
Exercice 12 du 25/03/2026 — niveau ★★★☆☆
\[ 6x^2 + x - 2 \]
Résultat
\[ (3x+2)(2x-1) \]
Développement
Produit \(ac\) et recherche des facteurs
\[ a\cdot c = 6\cdot(-2) = -12 \qquad p+q=1 \implies p=4,\; q=-3 \]
Décomposition du terme central
\[ 6x^2+x-2 = 6x^2+4x-3x-2 \]
Factorisation par regroupement
\[ = 2x(3x+2)-(3x+2) = (3x+2)(2x-1) \]
Vérification
\[ (3x+2)(2x-1) = 6x^2-3x+4x-2 = 6x^2+x-2 \]
Résultat
\[ \boxed{(3x+2)(2x-1)} \]
Exercice 13 du 25/03/2026 — niveau ★★★★☆
\[ x^3 - x \]
Résultat
\[ x(x-1)(x+1) \]
Développement
Première étape : mise en facteur de \(x\)
\[ x^3 - x = x(x^2 - 1) \]
Deuxième étape : différence de deux carrés
\[ x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \]
Factorisation complète
\[ x^3-x = x(x-1)(x+1) \]
Vérification
\[ x(x-1)(x+1) = x(x^2-1) = x^3-x \]
Résultat
\[ \boxed{x(x-1)(x+1)} \]
Exercice 14 du 25/03/2026 — niveau ★★★★☆
\[ x^3 + 8 \]
Résultat
\[ (x+2)(x^2 - 2x + 4) \]
Développement
Idée directrice
On reconnaît la somme de deux cubes : \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) avec \(a=x\) et \(b=2\).
Application de la formule
\[ x^3+8 = x^3+2^3 = (x+2)(x^2-2x+4) \]
Vérification
\[ (x+2)(x^2-2x+4) = x^3-2x^2+4x+2x^2-4x+8 = x^3+8 \]
Résultat
\[ \boxed{(x+2)(x^2-2x+4)} \]
Exercice 15 du 25/03/2026 — niveau ★★★★☆
\[ x^3 - 27 \]
Résultat
\[ (x-3)(x^2+3x+9) \]
Développement
Idée directrice
On reconnaît la différence de deux cubes : \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\) avec \(a=x\) et \(b=3\).
Application de la formule
\[ x^3-27 = x^3-3^3 = (x-3)(x^2+3x+9) \]
Vérification
\[ (x-3)(x^2+3x+9) = x^3+3x^2+9x-3x^2-9x-27 = x^3-27 \]
Résultat
\[ \boxed{(x-3)(x^2+3x+9)} \]
Exercice 16 du 25/03/2026 — niveau ★★★★☆
\[ x^3 - x^2 - x + 1 \]
Résultat
\[ (x-1)^2(x+1) \]
Développement
Idée directrice
On applique la factorisation par regroupement en associant les termes deux à deux.
Regroupement des termes
\[ (x^3-x^2)+(-x+1) = x^2(x-1)-(x-1) \]
Mise en facteur de \((x-1)\)
\[ (x-1)(x^2-1) \]
Factorisation complémentaire : différence de deux carrés
\[ (x-1)(x-1)(x+1) = (x-1)^2(x+1) \]
Vérification
\[ (x-1)^2(x+1) = (x^2-2x+1)(x+1) = x^3+x^2-2x^2-2x+x+1 = x^3-x^2-x+1 \]
Résultat
\[ \boxed{(x-1)^2(x+1)} \]
Exercice 17 du 25/03/2026 — niveau ★★★★☆
\[ 2x^3 + x^2 - 2x - 1 \]
Résultat
\[ (2x+1)(x-1)(x+1) \]
Développement
Factorisation par regroupement
\[ (2x^3+x^2)+(-2x-1) = x^2(2x+1)-(2x+1) \]
Mise en facteur de \((2x+1)\)
\[ (2x+1)(x^2-1) \]
Différence de deux carrés
\[ (2x+1)(x-1)(x+1) \]
Vérification
\[ (2x+1)(x^2-1) = 2x^3-2x+x^2-1 = 2x^3+x^2-2x-1 \]
Résultat
\[ \boxed{(2x+1)(x-1)(x+1)} \]
Exercice 18 du 25/03/2026 — niveau ★★★★★
\[ x^4 - 1 \]
Résultat
\[ (x-1)(x+1)(x^2+1) \]
Développement
Première étape : différence de deux carrés
\[ x^4-1 = (x^2)^2-1^2 = (x^2-1)(x^2+1) \]
Deuxième étape : nouvelle différence de deux carrés
\[ x^2-1 = (x-1)(x+1) \]
Le facteur \(x^2+1\) est irréductible sur \(\mathbb{R}\) (discriminant \(-4 < 0\)).
Factorisation complète
\[ x^4-1 = (x-1)(x+1)(x^2+1) \]
Vérification
\[ (x^2-1)(x^2+1) = x^4+x^2-x^2-1 = x^4-1 \]
Résultat
\[ \boxed{(x-1)(x+1)(x^2+1)} \]
Exercice 19 du 25/03/2026 — niveau ★★★★★
\[ x^4 - 5x^2 + 4 \]
Résultat
\[ (x-1)(x+1)(x-2)(x+2) \]
Développement
Idée directrice
Il s'agit d'un trinôme bicarré. On effectue la substitution \(t = x^2\) pour se ramener à un trinôme du second degré en \(t\).
Substitution \(t = x^2\)
\[ t^2-5t+4 = 0 \implies (t-1)(t-4) = 0 \implies t=1 \text{ ou } t=4 \]
Retour à la variable \(x\)
\[ t=1 \implies x^2-1=(x-1)(x+1) \]
\[ t=4 \implies x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Factorisation complète
\[ x^4-5x^2+4 = (x^2-1)(x^2-4) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2) \]
Vérification
\[ (x^2-1)(x^2-4) = x^4-4x^2-x^2+4 = x^4-5x^2+4 \]
Résultat
\[ \boxed{(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)} \]
Exercice 20 du 25/03/2026 — niveau ★★★★★
\[ x^3 + 3x^2 - 4x - 12 \]
Résultat
\[ (x+3)(x-2)(x+2) \]
Développement
Factorisation par regroupement
\[ (x^3+3x^2)+(-4x-12) = x^2(x+3)-4(x+3) \]
Mise en facteur de \((x+3)\)
\[ (x+3)(x^2-4) \]
Différence de deux carrés
\[ x^2-4 = (x-2)(x+2) \]
Factorisation complète
\[ x^3+3x^2-4x-12 = (x+3)(x-2)(x+2) \]
Vérification
\[ (x+3)(x^2-4) = x^3-4x+3x^2-12 = x^3+3x^2-4x-12 \]
Résultat
\[ \boxed{(x+3)(x-2)(x+2)} \]