Un guide pratique sur les équations du premier degré avec des résolutions détaillées : apprends à isoler l'inconnue, à calculer le ppcm et à gérer les parenthèses. Inclut la vérification des résultats et l'analyse des équations déterminées, impossibles et indéterminées.
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
\[ 2x + 5 = 11 \]
Résultat
\[ x = 3 \]
Résolution
Idée de résolution
Pour résoudre une équation du premier degré, on isole l'inconnue : on déplace les termes constants vers le second membre, puis on divise par le coefficient de l'inconnue.
Isolation de l'inconnue
Soustrayons \(5\) aux deux membres :
\[ 2x = 11 - 5 = 6 \]
Division par le coefficient
\[ x = \frac{6}{2} = 3 \]
Vérification
\[ 2 \cdot 3 + 5 = 11 \checkmark \]
Résultat
\[ \boxed{x = 3} \]
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
\[ 3x - 7 = 2 \]
Résultat
\[ x = 3 \]
Résolution
Idée de résolution
On déplace le terme constant vers le second membre, puis on divise par le coefficient de l'inconnue.
Isolation de l'inconnue
Ajoutons \(7\) aux deux membres :
\[ 3x = 2 + 7 = 9 \]
Division par le coefficient
\[ x = \frac{9}{3} = 3 \]
Vérification
\[ 3 \cdot 3 - 7 = 2 \checkmark \]
Résultat
\[ \boxed{x = 3} \]
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
\[ 5x = -20 \]
Résultat
\[ x = -4 \]
Résolution
Idée de résolution
L'équation est déjà sous la forme \(ax = b\) : il suffit de diviser les deux membres par le coefficient de l'inconnue.
Division par le coefficient
\[ x = \frac{-20}{5} = -4 \]
Vérification
\[ 5 \cdot (-4) = -20 \checkmark \]
Résultat
\[ \boxed{x = -4} \]
Exercice 4 — niveau ★★☆☆☆
\[ 4x + 3 = 2x + 11 \]
Résultat
\[ x = 4 \]
Résolution
Idée de résolution
L'inconnue figure dans les deux membres. On regroupe les termes en \(x\) à gauche et les termes constants à droite.
Regroupement des termes en \(x\)
Soustrayons \(2x\) aux deux membres :
\[ 2x + 3 = 11 \]
Isolation de l'inconnue
\[ 2x = 8 \implies x = 4 \]
Vérification
\[ 4 \cdot 4 + 3 = 19 \qquad 2 \cdot 4 + 11 = 19 \checkmark \]
Résultat
\[ \boxed{x = 4} \]
Exercice 5 — niveau ★★☆☆☆
\[ 7x - 5 = 3x + 7 \]
Résultat
\[ x = 3 \]
Résolution
Idée de résolution
On regroupe les termes en \(x\) dans le premier membre et les termes constants dans le second.
Regroupement des termes en \(x\)
Soustrayons \(3x\) aux deux membres :
\[ 4x - 5 = 7 \]
Isolation de l'inconnue
\[ 4x = 12 \implies x = 3 \]
Vérification
\[ 7 \cdot 3 - 5 = 16 \qquad 3 \cdot 3 + 7 = 16 \checkmark \]
Résultat
\[ \boxed{x = 3} \]
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
\[ 3(x + 4) = 18 \]
Résultat
\[ x = 2 \]
Résolution
Idée de résolution
On élimine d'abord les parenthèses en distribuant le facteur \(3\), puis on isole l'inconnue.
Développement du facteur
\[ 3x + 12 = 18 \]
Isolation de l'inconnue
\[ 3x = 6 \implies x = 2 \]
Vérification
\[ 3(2 + 4) = 3 \cdot 6 = 18 \checkmark \]
Résultat
\[ \boxed{x = 2} \]
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
\[ 2(3x - 1) = 4(x + 2) \]
Résultat
\[ x = 5 \]
Résolution
Idée de résolution
On développe les deux facteurs, puis on regroupe les termes en \(x\) à gauche et les termes constants à droite.
Développement des facteurs
\[ 6x - 2 = 4x + 8 \]
Regroupement et isolation
\[ 2x = 10 \implies x = 5 \]
Vérification
\[ 2(3 \cdot 5 - 1) = 2 \cdot 14 = 28 \qquad 4(5 + 2) = 4 \cdot 7 = 28 \checkmark \]
Résultat
\[ \boxed{x = 5} \]
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
\[ \frac{x}{2} + 3 = 7 \]
Résultat
\[ x = 8 \]
Résolution
Idée de résolution
On isole d'abord le terme contenant la fraction, puis on multiplie par le dénominateur.
Isolation du terme fractionnaire
\[ \frac{x}{2} = 4 \]
Élimination du dénominateur
Multiplions les deux membres par \(2\) :
\[ x = 8 \]
Vérification
\[ \frac{8}{2} + 3 = 4 + 3 = 7 \checkmark \]
Résultat
\[ \boxed{x = 8} \]
Exercice 9 — niveau ★★★☆☆
\[ \frac{x}{3} + \frac{x}{6} = 5 \]
Résultat
\[ x = 10 \]
Résolution
Idée de résolution
Pour éliminer les dénominateurs, on multiplie l'équation entière par le plus petit commun multiple (ppcm) de \(3\) et \(6\), c'est-à-dire \(6\).
Multiplication par le ppcm
\[ 6 \cdot \frac{x}{3} + 6 \cdot \frac{x}{6} = 6 \cdot 5 \implies 2x + x = 30 \]
Regroupement et résolution
\[ 3x = 30 \implies x = 10 \]
Vérification
\[ \frac{10}{3} + \frac{10}{6} = \frac{20}{6} + \frac{10}{6} = \frac{30}{6} = 5 \checkmark \]
Résultat
\[ \boxed{x = 10} \]
Exercice 10 — niveau ★★★☆☆
\[ \frac{2x - 1}{3} = \frac{x + 2}{2} \]
Résultat
\[ x = 8 \]
Résolution
Idée de résolution
On multiplie tout par le ppcm des dénominateurs, soit \(6\), afin d'éliminer les fractions.
Multiplication par le ppcm
\[ 2(2x-1) = 3(x+2) \]
Développement et regroupement
\[ 4x - 2 = 3x + 6 \implies x = 8 \]
Vérification
\[ \frac{2 \cdot 8 - 1}{3} = \frac{15}{3} = 5 \qquad \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5 \checkmark \]
Résultat
\[ \boxed{x = 8} \]
Exercice 11 — niveau ★★★☆☆
\[ 5(x - 2) - 3(x + 1) = 7 \]
Résultat
\[ x = 10 \]
Résolution
Idée de résolution
On développe les deux facteurs, en faisant attention au signe du second terme, puis on simplifie.
Développement des facteurs
\[ 5x - 10 - 3x - 3 = 7 \]
Réduction des termes semblables
\[ 2x - 13 = 7 \]
Isolation de l'inconnue
\[ 2x = 20 \implies x = 10 \]
Vérification
\[ 5(10 - 2) - 3(10 + 1) = 40 - 33 = 7 \checkmark \]
Résultat
\[ \boxed{x = 10} \]
Exercice 12 — niveau ★★★☆☆
\[ \frac{x + 1}{4} - \frac{x - 1}{6} = 1 \]
Résultat
\[ x = 7 \]
Résolution
Idée de résolution
Le ppcm de \(4\) et \(6\) est \(12\). On multiplie tout par \(12\) pour éliminer les fractions.
Multiplication par le ppcm
\[ 3(x+1) - 2(x-1) = 12 \]
Développement et regroupement
\[ 3x + 3 - 2x + 2 = 12 \implies x + 5 = 12 \implies x = 7 \]
Vérification
\[ \frac{7+1}{4} - \frac{7-1}{6} = \frac{8}{4} - \frac{6}{6} = 2 - 1 = 1 \checkmark \]
Résultat
\[ \boxed{x = 7} \]
Exercice 13 — niveau ★★★☆☆
\[ 3x - 2(x - 4) = 3(x + 2) - 6 \]
Résultat
\[ x = 4 \]
Résolution
Idée de résolution
On développe les facteurs dans les deux membres, puis on regroupe les termes en \(x\) à gauche et les termes constants à droite.
Développement des deux membres
\[ 3x - 2x + 8 = 3x + 6 - 6 \implies x + 8 = 3x \]
Isolation de l'inconnue
\[ 8 = 2x \implies x = 4 \]
Vérification
\[ 3 \cdot 4 - 2(4-4) = 12 \qquad 3(4+2) - 6 = 12 \checkmark \]
Résultat
\[ \boxed{x = 4} \]
Exercice 14 — niveau ★★★★☆
\[ \frac{3x - 2}{5} + \frac{x + 1}{2} = \frac{7x - 1}{10} + 1 \]
Résultat
\[ x = 2 \]
Résolution
Idée de résolution
Le ppcm de \(5\), \(2\) et \(10\) vaut \(10\). On multiplie tout par \(10\).
Multiplication par le ppcm
\[ 2(3x-2) + 5(x+1) = (7x-1) + 10 \]
Développement
\[ 6x - 4 + 5x + 5 = 7x + 9 \]
Réduction des termes semblables
\[ 11x + 1 = 7x + 9 \implies 4x = 8 \implies x = 2 \]
Vérification
\[ \frac{3 \cdot 2-2}{5} + \frac{2+1}{2} = \frac{4}{5} + \frac{3}{2} = \frac{8}{10} + \frac{15}{10} = \frac{23}{10} \]
\[ \frac{7 \cdot 2-1}{10} + 1 = \frac{13}{10} + \frac{10}{10} = \frac{23}{10} \checkmark \]
Résultat
\[ \boxed{x = 2} \]
Exercice 15 — niveau ★★★★☆
\[ 4(2x + 1) - 3(x - 2) = 2(x + 5) + 7 \]
Résultat
\[ x = \dfrac{7}{3} \]
Résolution
Idée de résolution
On développe tous les facteurs des deux membres, puis on réduit les termes semblables.
Développement
\[ 8x + 4 - 3x + 6 = 2x + 10 + 7 \]
Réduction des termes semblables
\[ 5x + 10 = 2x + 17 \]
Isolation de l'inconnue
\[ 3x = 7 \implies x = \frac{7}{3} \]
Vérification
\[ 4\!\left(\frac{14}{3}+1\right) - 3\!\left(\frac{7}{3}-2\right) = 4 \cdot \frac{17}{3} - 3 \cdot \frac{1}{3} = \frac{68-3}{3} = \frac{65}{3} \]
\[ 2\!\left(\frac{7}{3}+5\right)+7 = \frac{44}{3}+\frac{21}{3} = \frac{65}{3} \checkmark \]
Résultat
\[ \boxed{x = \frac{7}{3}} \]
Exercice 16 — niveau ★★★★☆
\[ \frac{x - 3}{2} - \frac{2x + 1}{5} = \frac{x}{10} - 2 \]
Résultat
Équation impossible — aucune solution.
Résolution
Idée de résolution
Le ppcm de \(2\), \(5\) et \(10\) est \(10\). On multiplie tout par \(10\).
Multiplication par le ppcm
\[ 5(x-3) - 2(2x+1) = x - 20 \]
Développement
\[ 5x - 15 - 4x - 2 = x - 20 \implies x - 17 = x - 20 \]
Analyse du résultat
Soustrayons \(x\) aux deux membres :
\[ -17 = -20 \]
On obtient une contradiction : l'équation est impossible et n'admet aucune solution.
Résultat
\[ \boxed{\text{Équation impossible — aucune solution}} \]
Exercice 17 — niveau ★★★★☆
\[ 3(x + 2) - 2(x + 3) = x \]
Résultat
Équation indéterminée — une infinité de solutions (\(x \in \mathbb{R}\)).
Résolution
Idée de résolution
On développe les facteurs et on réduit les termes semblables.
Développement
\[ 3x + 6 - 2x - 6 = x \]
Réduction des termes semblables
\[ x = x \]
Analyse du résultat
L'équation se ramène à une identité vraie pour toute valeur de \(x\). Il s'agit d'une équation indéterminée : tout nombre réel est solution.
Résultat
\[ \boxed{x \in \mathbb{R} \quad \text{(une infinité de solutions)}} \]
Exercice 18 — niveau ★★★★★
\[ \frac{2x + 1}{3} - \frac{x - 2}{4} + \frac{x}{6} = \frac{5x + 3}{12} + 1 \]
Résultat
\[ x = \dfrac{5}{2} \]
Résolution
Idée de résolution
Le ppcm de \(3\), \(4\), \(6\) et \(12\) est \(12\). On multiplie tout par \(12\).
Multiplication par le ppcm
\[ 4(2x+1) - 3(x-2) + 2x = (5x+3) + 12 \]
Développement
\[ 8x + 4 - 3x + 6 + 2x = 5x + 15 \]
Réduction des termes semblables
\[ 7x + 10 = 5x + 15 \]
Isolation de l'inconnue
\[ 2x = 5 \implies x = \frac{5}{2} \]
Vérification
\[ \frac{2 \cdot \frac{5}{2}+1}{3} - \frac{\frac{5}{2}-2}{4} + \frac{\frac{5}{2}}{6} = \frac{6}{3} - \frac{\frac{1}{2}}{4} + \frac{5}{12} = 2 - \frac{1}{8} + \frac{5}{12} \]
\[ = \frac{48}{24} - \frac{3}{24} + \frac{10}{24} = \frac{55}{24} \]
\[ \frac{5 \cdot \frac{5}{2}+3}{12} + 1 = \frac{\frac{31}{2}}{12} + 1 = \frac{31}{24} + \frac{24}{24} = \frac{55}{24} \checkmark \]
Résultat
\[ \boxed{x = \frac{5}{2}} \]
Exercice 19 — niveau ★★★★★
\[ \frac{3(x-1)}{4} - \frac{2(x+3)}{6} = \frac{x-5}{12} + \frac{1}{3} \]
Résultat
\[ x = 5 \]
Résolution
Idée de résolution
Le ppcm de \(4\), \(6\), \(12\) et \(3\) vaut \(12\). On multiplie tout par \(12\).
Multiplication par le ppcm
\[ 3 \cdot 3(x-1) - 2 \cdot 2(x+3) = (x-5) + 4 \]
\[ 9(x-1) - 4(x+3) = x - 1 \]
Développement
\[ 9x - 9 - 4x - 12 = x - 1 \implies 5x - 21 = x - 1 \]
Isolation de l'inconnue
\[ 4x = 20 \implies x = 5 \]
Vérification
\[ \frac{3(5-1)}{4} - \frac{2(5+3)}{6} = 3 - \frac{8}{3} = \frac{1}{3} \]
\[ \frac{5-5}{12} + \frac{1}{3} = 0 + \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \checkmark \]
Résultat
\[ \boxed{x = 5} \]
Exercice 20 — niveau ★★★★★
\[ \frac{x+2}{3} - \frac{3x-1}{9} + \frac{2(x-3)}{6} = \frac{5x+1}{18} + \frac{1}{2} \]
Résultat
\[ x = 14 \]
Résolution
Idée de résolution
Le ppcm de \(3\), \(9\), \(6\), \(18\) et \(2\) est \(18\). On multiplie tout par \(18\).
Multiplication par le ppcm
\[ 6(x+2) - 2(3x-1) + 6(x-3) = (5x+1) + 9 \]
Développement
\[ 6x + 12 - 6x + 2 + 6x - 18 = 5x + 10 \]
Réduction des termes semblables
\[ 6x - 4 = 5x + 10 \]
Isolation de l'inconnue
\[ x = 14 \]
Vérification
\[ \frac{16}{3} - \frac{41}{9} + \frac{22}{6} = \frac{48}{9} - \frac{41}{9} + \frac{33}{9} = \frac{40}{9} \]
\[ \frac{71}{18} + \frac{9}{18} = \frac{80}{18} = \frac{40}{9} \checkmark \]
Résultat
\[ \boxed{x = 14} \]