Règle de Ruffini : Exercices Corrigés avec Schémas

\[ x^2 - 5x + 6 \]

Démarche de résolution

Le diviseur est un binôme du premier degré de la forme \(x - a\) : dans ce cas, la règle de Ruffini est l'outil le plus efficace. Plutôt que d'effectuer la division entre polynômes sous sa forme développée, on travaille uniquement sur les coefficients du dividende, ce qui réduit considérablement le nombre d'opérations.

Identification de la valeur à utiliser

Le diviseur est \(x - 1\). Dans la règle de Ruffini, on utilise la valeur qui annule le diviseur : \[ x - 1 = 0 \;\Rightarrow\; x = 1 \] Par conséquent : \[ a = 1 \]

Écriture des coefficients

Le polynôme est déjà ordonné suivant les puissances décroissantes : \[ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \] Les coefficients qui lui sont associés sont : \[ 1 \quad -6 \quad 11 \quad -6 \]

Construction du schéma de Ruffini

On place la valeur \(a = 1\) à gauche et on inscrit les coefficients sur la ligne supérieure :

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \end{array} \]

Application pas à pas de la règle

Étape 1 : on reporte le premier coefficient sur la ligne inférieure sans le modifier.

\[ 1 \]

Étape 2 : on multiplie la valeur que l'on vient d'inscrire par \(a = 1\) et on place le résultat sous le coefficient suivant :

\[ 1 \cdot 1 = 1 \]

Étape 3 : on additionne les valeurs présentes dans la colonne :

\[ -6 + 1 = -5 \]

Étape 4 : on répète la procédure : on multiplie la valeur obtenue par \(1\) et on additionne :

\[ -5 \cdot 1 = -5 \] \[ 11 + (-5) = 6 \]

Étape 5 : on effectue la dernière opération :

\[ 6 \cdot 1 = 6 \] \[ -6 + 6 = 0 \]

Schéma complet

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array} \]

Interprétation du résultat

Les valeurs obtenues sur la ligne inférieure, à l'exception de la dernière, représentent les coefficients du polynôme quotient : \[ x^2 - 5x + 6 \]

La dernière valeur correspond au reste de la division : \[ r = 0 \] Comme le reste est nul, la division est exacte.

Résultat

\[ \boxed{x^2 - 5x + 6} \]

Conclusion

Le reste étant nul, le polynôme initial est divisible par \(x - 1\) et peut s'écrire sous la forme : \[ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x^2 - 5x + 6) \]

\[ x^2 - 5x + 4 \]

Démarche de résolution

On reconnaît que le diviseur est un binôme linéaire de la forme \(x - a\). Cela permet d'appliquer le théorème de Ruffini : au lieu d'effectuer la division colonne par colonne entre polynômes, il suffit de disposer les coefficients du dividende dans un tableau et d'exécuter une suite alternée de multiplications et d'additions.

Identification de la valeur à utiliser

Le diviseur est \(x - 2\), déjà écrit sous la forme canonique \(x - a\) : aucune réécriture n'est nécessaire. La valeur qui annule le diviseur s'obtient directement : \[ x - 2 = 0 \;\Rightarrow\; x = 2 \] Par conséquent : \[ a = 2 \]

Écriture des coefficients

Le polynôme est déjà ordonné suivant les puissances décroissantes : \[ x^3 - 7x^2 + 14x - 8 \] Les coefficients qui lui sont associés sont : \[ 1 \quad -7 \quad 14 \quad -8 \]

Construction du schéma de Ruffini

On place la valeur \(a = 2\) à gauche et on inscrit les coefficients sur la ligne supérieure :

\[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 1 & -7 & 14 & -8 \end{array} \]

Application pas à pas de la règle

Étape 1 : on reporte le premier coefficient sur la ligne inférieure sans le modifier.

\[ 1 \]

Étape 2 : on multiplie la valeur que l'on vient d'inscrire par \(a = 2\) et on place le résultat sous le coefficient suivant :

\[ 1 \cdot 2 = 2 \]

Étape 3 : on additionne les valeurs présentes dans la colonne :

\[ -7 + 2 = -5 \]

Étape 4 : on répète la procédure : on multiplie la valeur obtenue par \(2\) et on additionne :

\[ -5 \cdot 2 = -10 \] \[ 14 + (-10) = 4 \]

Étape 5 : on effectue la dernière opération :

\[ 4 \cdot 2 = 8 \] \[ -8 + 8 = 0 \]

Schéma complet

\[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 1 & -7 & 14 & -8 \\ & & 2 & -10 & 8 \\ \hline & 1 & -5 & 4 & 0 \end{array} \]

Interprétation du résultat

Les valeurs obtenues sur la ligne inférieure, à l'exception de la dernière, représentent les coefficients du polynôme quotient : \[ x^2 - 5x + 4 \]

La dernière valeur correspond au reste de la division : \[ r = 0 \] Comme le reste est nul, la division est exacte.

Résultat

\[ \boxed{x^2 - 5x + 4} \]

Conclusion

Le reste étant nul, le polynôme initial est divisible par \(x - 2\) et peut s'écrire sous la forme : \[ x^3 - 7x^2 + 14x - 8 = (x - 2)(x^2 - 5x + 4) \]

\[ x^2 - x - 2 \]

Démarche de résolution

Le diviseur est un binôme linéaire. Avant d'appliquer la règle de Ruffini, il convient de prêter attention au signe : le diviseur n'est pas de la forme \(x - a\) avec \(a\) positif, mais bien \(x + 3\). Il est donc nécessaire d'identifier correctement la racine du diviseur, c'est-à-dire la valeur de \(x\) qui l'annule, afin de ne pas commettre d'erreurs de signe au cours de la procédure.

Identification de la valeur à utiliser

Le diviseur est \(x + 3\). Puisque la règle de Ruffini exige la forme \(x - a\), on réécrit le diviseur en mettant le signe en évidence : \[ x + 3 = x - (-3) \] La valeur qui annule le diviseur est alors : \[ x + 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = -3 \] Par conséquent : \[ a = -3 \]

Écriture des coefficients

Le polynôme est déjà ordonné suivant les puissances décroissantes : \[ x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \] Les coefficients qui lui sont associés sont : \[ 1 \quad 2 \quad -5 \quad -6 \]

Construction du schéma de Ruffini

On place la valeur \(a = -3\) à gauche et on inscrit les coefficients sur la ligne supérieure :

\[ \begin{array}{r|rrrr} -3 & 1 & 2 & -5 & -6 \end{array} \]

Application pas à pas de la règle

Étape 1 : on reporte le premier coefficient sur la ligne inférieure sans le modifier.

\[ 1 \]

Étape 2 : on multiplie la valeur que l'on vient d'inscrire par \(a = -3\) et on place le résultat sous le coefficient suivant :

\[ 1 \cdot (-3) = -3 \]

Étape 3 : on additionne les valeurs présentes dans la colonne :

\[ 2 + (-3) = -1 \]

Étape 4 : on répète la procédure : on multiplie la valeur obtenue par \(-3\) et on additionne :

\[ -1 \cdot (-3) = 3 \] \[ -5 + 3 = -2 \]

Étape 5 : on effectue la dernière opération :

\[ -2 \cdot (-3) = 6 \] \[ -6 + 6 = 0 \]

Schéma complet

\[ \begin{array}{r|rrrr} -3 & 1 & 2 & -5 & -6 \\ & & -3 & 3 & 6 \\ \hline & 1 & -1 & -2 & 0 \end{array} \]

Interprétation du résultat

Les valeurs obtenues sur la ligne inférieure, à l'exception de la dernière, représentent les coefficients du polynôme quotient : \[ x^2 - x - 2 \]

La dernière valeur correspond au reste de la division : \[ r = 0 \] Comme le reste est nul, la division est exacte.

Résultat

\[ \boxed{x^2 - x - 2} \]

Conclusion

Le reste étant nul, le polynôme initial est divisible par \(x + 3\) et peut s'écrire sous la forme : \[ x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = (x + 3)(x^2 - x - 2) \]

\[ x^2 - 4x + 3 \]

Démarche de résolution

Ici aussi, le diviseur est linéaire avec un signe positif devant la constante, exactement comme dans l'exercice précédent. Rappelons que la règle de Ruffini exige d'introduire dans le schéma non pas le terme constant du diviseur, mais bien la racine du diviseur, c'est-à-dire la valeur de \(x\) qui l'annule : une erreur de signe à ce stade se répercuterait sur toutes les étapes suivantes.

Identification de la valeur à utiliser

Le diviseur est \(x + 2\). On le réécrit sous la forme \(x - a\) : \[ x + 2 = x - (-2) \] La valeur qui annule le diviseur est : \[ x + 2 = 0 \;\Rightarrow\; x = -2 \] Par conséquent : \[ a = -2 \]

Écriture des coefficients

Le polynôme est déjà ordonné suivant les puissances décroissantes : \[ x^3 - 2x^2 - 5x + 6 \] Les coefficients qui lui sont associés sont : \[ 1 \quad -2 \quad -5 \quad 6 \]

Construction du schéma de Ruffini

On place la valeur \(a = -2\) à gauche et on inscrit les coefficients sur la ligne supérieure :

\[ \begin{array}{r|rrrr} -2 & 1 & -2 & -5 & 6 \end{array} \]

Application pas à pas de la règle

Étape 1 : on reporte le premier coefficient sur la ligne inférieure sans le modifier.

\[ 1 \]

Étape 2 : on multiplie la valeur que l'on vient d'inscrire par \(a = -2\) et on place le résultat sous le coefficient suivant :

\[ 1 \cdot (-2) = -2 \]

Étape 3 : on additionne les valeurs présentes dans la colonne :

\[ -2 + (-2) = -4 \]

Étape 4 : on répète la procédure : on multiplie la valeur obtenue par \(-2\) et on additionne :

\[ -4 \cdot (-2) = 8 \] \[ -5 + 8 = 3 \]

Étape 5 : on effectue la dernière opération :

\[ 3 \cdot (-2) = -6 \] \[ 6 + (-6) = 0 \]

Schéma complet

\[ \begin{array}{r|rrrr} -2 & 1 & -2 & -5 & 6 \\ & & -2 & 8 & -6 \\ \hline & 1 & -4 & 3 & 0 \end{array} \]

Interprétation du résultat

Les valeurs obtenues sur la ligne inférieure, à l'exception de la dernière, représentent les coefficients du polynôme quotient : \[ x^2 - 4x + 3 \]

La dernière valeur correspond au reste de la division : \[ r = 0 \] Comme le reste est nul, la division est exacte.

Résultat

\[ \boxed{x^2 - 4x + 3} \]

Conclusion

Le reste étant nul, le polynôme initial est divisible par \(x + 2\) et peut s'écrire sous la forme : \[ x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x + 2)(x^2 - 4x + 3) \]

\[ 2x^2 + x - 6 \]

Démarche de résolution

Le diviseur est de la forme \(x - a\), on peut donc appliquer la règle de Ruffini. Il est utile de remarquer que le coefficient dominant du dividende est \(2\) et non \(1\) : cela ne pose aucun problème, puisque la règle opère sur les coefficients tels qu'ils se présentent, quelle que soit leur valeur. Il suffira de les reporter tous correctement dans le schéma.

Identification de la valeur à utiliser

Le diviseur est \(x - 1\), déjà sous la forme canonique \(x - a\). La valeur qui annule le diviseur est : \[ x - 1 = 0 \;\Rightarrow\; x = 1 \] Par conséquent : \[ a = 1 \]

Écriture des coefficients

Le polynôme est déjà ordonné suivant les puissances décroissantes : \[ 2x^3 - x^2 - 7x + 6 \] Les coefficients qui lui sont associés sont : \[ 2 \quad -1 \quad -7 \quad 6 \]

Construction du schéma de Ruffini

On place la valeur \(a = 1\) à gauche et on inscrit les coefficients sur la ligne supérieure :

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 2 & -1 & -7 & 6 \end{array} \]

Application pas à pas de la règle

Étape 1 : on reporte le premier coefficient sur la ligne inférieure sans le modifier.

\[ 2 \]

Étape 2 : on multiplie la valeur que l'on vient d'inscrire par \(a = 1\) et on place le résultat sous le coefficient suivant :

\[ 2 \cdot 1 = 2 \]

Étape 3 : on additionne les valeurs présentes dans la colonne :

\[ -1 + 2 = 1 \]

Étape 4 : on répète la procédure : on multiplie la valeur obtenue par \(1\) et on additionne :

\[ 1 \cdot 1 = 1 \] \[ -7 + 1 = -6 \]

Étape 5 : on effectue la dernière opération :

\[ -6 \cdot 1 = -6 \] \[ 6 + (-6) = 0 \]

Schéma complet

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 2 & -1 & -7 & 6 \\ & & 2 & 1 & -6 \\ \hline & 2 & 1 & -6 & 0 \end{array} \]

Interprétation du résultat

Les valeurs obtenues sur la ligne inférieure, à l'exception de la dernière, représentent les coefficients du polynôme quotient. Le dividende étant de degré 3 avec un coefficient dominant égal à \(2\), le quotient est de degré 2 avec un coefficient dominant égal à \(2\) : \[ 2x^2 + x - 6 \]

La dernière valeur correspond au reste de la division : \[ r = 0 \] Comme le reste est nul, la division est exacte.

Résultat

\[ \boxed{2x^2 + x - 6} \]

Conclusion

Le reste étant nul, le polynôme initial est divisible par \(x - 1\) et peut s'écrire sous la forme : \[ 2x^3 - x^2 - 7x + 6 = (x - 1)(2x^2 + x - 6) \]

\[ x^2 - 6x + 8 \]

Démarche de résolution

Le diviseur est de la forme \(x - a\), on applique donc la règle de Ruffini. Il est utile de garder en tête que le degré du polynôme quotient est toujours exactement inférieur d'une unité à celui du dividende : en divisant un polynôme de degré 3 par un binôme de degré 1, on s'attend à obtenir un quotient de degré 2. Cela permet de vérifier d'un coup d'œil que le résultat est plausible.

Identification de la valeur à utiliser

Le diviseur est \(x - 3\), déjà sous la forme canonique \(x - a\). La valeur qui annule le diviseur est : \[ x - 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = 3 \] Par conséquent : \[ a = 3 \]

Écriture des coefficients

Le polynôme est déjà ordonné suivant les puissances décroissantes : \[ x^3 - 9x^2 + 26x - 24 \] Les coefficients qui lui sont associés sont : \[ 1 \quad -9 \quad 26 \quad -24 \]

Construction du schéma de Ruffini

On place la valeur \(a = 3\) à gauche et on inscrit les coefficients sur la ligne supérieure :

\[ \begin{array}{r|rrrr} 3 & 1 & -9 & 26 & -24 \end{array} \]

Application pas à pas de la règle

Étape 1 : on reporte le premier coefficient sur la ligne inférieure sans le modifier.

\[ 1 \]

Étape 2 : on multiplie la valeur que l'on vient d'inscrire par \(a = 3\) et on place le résultat sous le coefficient suivant :

\[ 1 \cdot 3 = 3 \]

Étape 3 : on additionne les valeurs présentes dans la colonne :

\[ -9 + 3 = -6 \]

Étape 4 : on répète la procédure : on multiplie la valeur obtenue par \(3\) et on additionne :

\[ -6 \cdot 3 = -18 \] \[ 26 + (-18) = 8 \]

Étape 5 : on effectue la dernière opération :

\[ 8 \cdot 3 = 24 \] \[ -24 + 24 = 0 \]

Schéma complet

\[ \begin{array}{r|rrrr} 3 & 1 & -9 & 26 & -24 \\ & & 3 & -18 & 24 \\ \hline & 1 & -6 & 8 & 0 \end{array} \]

Interprétation du résultat

Les valeurs obtenues sur la ligne inférieure, à l'exception de la dernière, représentent les coefficients du polynôme quotient : \[ x^2 - 6x + 8 \]

La dernière valeur correspond au reste de la division : \[ r = 0 \] Comme le reste est nul, la division est exacte.

Résultat

\[ \boxed{x^2 - 6x + 8} \]

Conclusion

Le reste étant nul, le polynôme initial est divisible par \(x - 3\) et peut s'écrire sous la forme : \[ x^3 - 9x^2 + 26x - 24 = (x - 3)(x^2 - 6x + 8) \]

\[ x^2 + 3x - 4 \]

Démarche de résolution

Le diviseur est \(x + 1\), un cas particulier où la racine vaut \(-1\). Dans la règle de Ruffini, cela signifie qu'à chaque étape on multiplie par \(-1\), c'est-à-dire qu'il suffit de changer le signe de la valeur courante avant de l'additionner au coefficient suivant. Ce cas est commode du point de vue calculatoire, mais il exige tout de même de la vigilance : l'alternance des signes peut engendrer des erreurs si l'on procède trop vite.

Identification de la valeur à utiliser

Le diviseur est \(x + 1 = x - (-1)\). La valeur qui annule le diviseur est : \[ x + 1 = 0 \;\Rightarrow\; x = -1 \] Par conséquent : \[ a = -1 \]

Écriture des coefficients

Le polynôme est déjà ordonné suivant les puissances décroissantes : \[ x^3 + 4x^2 - x - 4 \] Les coefficients qui lui sont associés sont : \[ 1 \quad 4 \quad -1 \quad -4 \]

Construction du schéma de Ruffini

On place la valeur \(a = -1\) à gauche et on inscrit les coefficients sur la ligne supérieure :

\[ \begin{array}{r|rrrr} -1 & 1 & 4 & -1 & -4 \end{array} \]

Application pas à pas de la règle

Étape 1 : on reporte le premier coefficient sur la ligne inférieure sans le modifier.

\[ 1 \]

Étape 2 : on multiplie la valeur que l'on vient d'inscrire par \(a = -1\) et on place le résultat sous le coefficient suivant :

\[ 1 \cdot (-1) = -1 \]

Étape 3 : on additionne les valeurs présentes dans la colonne :

\[ 4 + (-1) = 3 \]

Étape 4 : on répète la procédure : on multiplie la valeur obtenue par \(-1\) et on additionne :

\[ 3 \cdot (-1) = -3 \] \[ -1 + (-3) = -4 \]

Étape 5 : on effectue la dernière opération :

\[ -4 \cdot (-1) = 4 \] \[ -4 + 4 = 0 \]

Schéma complet

\[ \begin{array}{r|rrrr} -1 & 1 & 4 & -1 & -4 \\ & & -1 & -3 & 4 \\ \hline & 1 & 3 & -4 & 0 \end{array} \]

Interprétation du résultat

Les valeurs obtenues sur la ligne inférieure, à l'exception de la dernière, représentent les coefficients du polynôme quotient : \[ x^2 + 3x - 4 \]

La dernière valeur correspond au reste de la division : \[ r = 0 \] Comme le reste est nul, la division est exacte.

Résultat

\[ \boxed{x^2 + 3x - 4} \]

Conclusion

Le reste étant nul, le polynôme initial est divisible par \(x + 1\) et peut s'écrire sous la forme : \[ x^3 + 4x^2 - x - 4 = (x + 1)(x^2 + 3x - 4) \]

\[ x^2 - x - 6 \]

Démarche de résolution

La présence d'un binôme linéaire au dénominateur invite à utiliser la règle de Ruffini. Il est instructif de la comparer mentalement à la division euclidienne entre polynômes : cette dernière demanderait de réécrire plusieurs fois les termes du dividende et de soustraire des polynômes entiers, alors que Ruffini ramène le tout à une ligne de multiplications et d'additions scalaires. La compacité du schéma s'avère particulièrement avantageuse lorsque les coefficients prennent des valeurs numériquement élevées.

Identification de la valeur à utiliser

Le diviseur est \(x - 4\), déjà sous la forme canonique \(x - a\). La valeur qui annule le diviseur est : \[ x - 4 = 0 \;\Rightarrow\; x = 4 \] Par conséquent : \[ a = 4 \]

Écriture des coefficients

Le polynôme est déjà ordonné suivant les puissances décroissantes : \[ x^3 - 5x^2 - 2x + 24 \] Les coefficients qui lui sont associés sont : \[ 1 \quad -5 \quad -2 \quad 24 \]

Construction du schéma de Ruffini

On place la valeur \(a = 4\) à gauche et on inscrit les coefficients sur la ligne supérieure :

\[ \begin{array}{r|rrrr} 4 & 1 & -5 & -2 & 24 \end{array} \]

Application pas à pas de la règle

Étape 1 : on reporte le premier coefficient sur la ligne inférieure sans le modifier.

\[ 1 \]

Étape 2 : on multiplie la valeur que l'on vient d'inscrire par \(a = 4\) et on place le résultat sous le coefficient suivant :

\[ 1 \cdot 4 = 4 \]

Étape 3 : on additionne les valeurs présentes dans la colonne :

\[ -5 + 4 = -1 \]

Étape 4 : on répète la procédure : on multiplie la valeur obtenue par \(4\) et on additionne :

\[ -1 \cdot 4 = -4 \] \[ -2 + (-4) = -6 \]

Étape 5 : on effectue la dernière opération :

\[ -6 \cdot 4 = -24 \] \[ 24 + (-24) = 0 \]

Schéma complet

\[ \begin{array}{r|rrrr} 4 & 1 & -5 & -2 & 24 \\ & & 4 & -4 & -24 \\ \hline & 1 & -1 & -6 & 0 \end{array} \]

Interprétation du résultat

Les valeurs obtenues sur la ligne inférieure, à l'exception de la dernière, représentent les coefficients du polynôme quotient : \[ x^2 - x - 6 \]

La dernière valeur correspond au reste de la division : \[ r = 0 \] Comme le reste est nul, la division est exacte.

Résultat

\[ \boxed{x^2 - x - 6} \]

Conclusion

Le reste étant nul, le polynôme initial est divisible par \(x - 4\) et peut s'écrire sous la forme : \[ x^3 - 5x^2 - 2x + 24 = (x - 4)(x^2 - x - 6) \]

\[ x^2 - x - 6 \]

Démarche de résolution

Le diviseur \(x + 4\) présente un signe positif devant la constante, comme dans les cas \(x + 3\) et \(x + 2\) déjà rencontrés. La règle de Ruffini s'applique de manière identique, mais il convient de redire le raisonnement : on n'introduit pas \(+4\) dans le schéma, mais bien la racine du diviseur, c'est-à-dire la valeur \(x = -4\) qui l'annule. Confondre le terme constant du diviseur avec sa racine est l'erreur la plus fréquente dans l'application de cette technique.

Identification de la valeur à utiliser

Le diviseur est \(x + 4 = x - (-4)\). La valeur qui annule le diviseur est : \[ x + 4 = 0 \;\Rightarrow\; x = -4 \] Par conséquent : \[ a = -4 \]

Écriture des coefficients

Le polynôme est déjà ordonné suivant les puissances décroissantes : \[ x^3 + 3x^2 - 10x - 24 \] Les coefficients qui lui sont associés sont : \[ 1 \quad 3 \quad -10 \quad -24 \]

Construction du schéma de Ruffini

On place la valeur \(a = -4\) à gauche et on inscrit les coefficients sur la ligne supérieure :

\[ \begin{array}{r|rrrr} -4 & 1 & 3 & -10 & -24 \end{array} \]

Application pas à pas de la règle

Étape 1 : on reporte le premier coefficient sur la ligne inférieure sans le modifier.

\[ 1 \]

Étape 2 : on multiplie la valeur que l'on vient d'inscrire par \(a = -4\) et on place le résultat sous le coefficient suivant :

\[ 1 \cdot (-4) = -4 \]

Étape 3 : on additionne les valeurs présentes dans la colonne :

\[ 3 + (-4) = -1 \]

Étape 4 : on répète la procédure : on multiplie la valeur obtenue par \(-4\) et on additionne :

\[ -1 \cdot (-4) = 4 \] \[ -10 + 4 = -6 \]

Étape 5 : on effectue la dernière opération :

\[ -6 \cdot (-4) = 24 \] \[ -24 + 24 = 0 \]

Schéma complet

\[ \begin{array}{r|rrrr} -4 & 1 & 3 & -10 & -24 \\ & & -4 & 4 & 24 \\ \hline & 1 & -1 & -6 & 0 \end{array} \]

Interprétation du résultat

Les valeurs obtenues sur la ligne inférieure, à l'exception de la dernière, représentent les coefficients du polynôme quotient : \[ x^2 - x - 6 \]

La dernière valeur correspond au reste de la division : \[ r = 0 \] Comme le reste est nul, la division est exacte.

Résultat

\[ \boxed{x^2 - x - 6} \]

Conclusion

Le reste étant nul, le polynôme initial est divisible par \(x + 4\) et peut s'écrire sous la forme : \[ x^3 + 3x^2 - 10x - 24 = (x + 4)(x^2 - x - 6) \]

\[ 2x^2 + 7x + 3 \]

Démarche de résolution

Le diviseur est de la forme \(x - a\), on peut donc appliquer la règle de Ruffini. Le dividende a pour coefficient dominant \(2\) : il est intéressant d'observer que cette valeur se reporte inchangée comme premier élément de la ligne inférieure du schéma, et qu'elle détermine le coefficient dominant du quotient. Autrement dit, le quotient d'un polynôme de coefficient dominant \(k\) par un binôme unitaire aura lui aussi un coefficient dominant égal à \(k\).

Identification de la valeur à utiliser

Le diviseur est \(x - 2\), déjà sous la forme canonique \(x - a\). La valeur qui annule le diviseur est : \[ x - 2 = 0 \;\Rightarrow\; x = 2 \] Par conséquent : \[ a = 2 \]

Écriture des coefficients

Le polynôme est déjà ordonné suivant les puissances décroissantes : \[ 2x^3 + 3x^2 - 11x - 6 \] Les coefficients qui lui sont associés sont : \[ 2 \quad 3 \quad -11 \quad -6 \]

Construction du schéma de Ruffini

On place la valeur \(a = 2\) à gauche et on inscrit les coefficients sur la ligne supérieure :

\[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 2 & 3 & -11 & -6 \end{array} \]

Application pas à pas de la règle

Étape 1 : on reporte le premier coefficient sur la ligne inférieure sans le modifier.

\[ 2 \]

Étape 2 : on multiplie la valeur que l'on vient d'inscrire par \(a = 2\) et on place le résultat sous le coefficient suivant :

\[ 2 \cdot 2 = 4 \]

Étape 3 : on additionne les valeurs présentes dans la colonne :

\[ 3 + 4 = 7 \]

Étape 4 : on répète la procédure : on multiplie la valeur obtenue par \(2\) et on additionne :

\[ 7 \cdot 2 = 14 \] \[ -11 + 14 = 3 \]

Étape 5 : on effectue la dernière opération :

\[ 3 \cdot 2 = 6 \] \[ -6 + 6 = 0 \]

Schéma complet

\[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 2 & 3 & -11 & -6 \\ & & 4 & 14 & 6 \\ \hline & 2 & 7 & 3 & 0 \end{array} \]

Interprétation du résultat

Les valeurs obtenues sur la ligne inférieure, à l'exception de la dernière, représentent les coefficients du polynôme quotient. Le coefficient dominant \(2\) du dividende apparaît inchangé comme premier coefficient du quotient : \[ 2x^2 + 7x + 3 \]

La dernière valeur correspond au reste de la division : \[ r = 0 \] Comme le reste est nul, la division est exacte.

Résultat

\[ \boxed{2x^2 + 7x + 3} \]

Conclusion

Le reste étant nul, le polynôme initial est divisible par \(x - 2\) et peut s'écrire sous la forme : \[ 2x^3 + 3x^2 - 11x - 6 = (x - 2)(2x^2 + 7x + 3) \]

\[ x^2 + 2x - 8 \]

Démarche de résolution

Avant d'appliquer la règle de Ruffini, il est utile de rappeler le théorème sur lequel elle repose : le théorème du reste énonce que le reste de la division d'un polynôme \(p(x)\) par \((x - a)\) est égal à \(p(a)\). En particulier, si \(p(a) = 0\), alors le reste est nul et \((x - a)\) est un diviseur exact. Ruffini ne fait que rendre mécanique et compact le calcul du quotient et du reste que ce théorème garantit.

Identification de la valeur à utiliser

Le diviseur est \(x - 3\), déjà sous la forme canonique \(x - a\). La valeur qui annule le diviseur est : \[ x - 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = 3 \] Par conséquent : \[ a = 3 \]

Écriture des coefficients

Le polynôme est déjà ordonné suivant les puissances décroissantes : \[ x^3 - x^2 - 14x + 24 \] Les coefficients qui lui sont associés sont : \[ 1 \quad -1 \quad -14 \quad 24 \]

Construction du schéma de Ruffini

On place la valeur \(a = 3\) à gauche et on inscrit les coefficients sur la ligne supérieure :

\[ \begin{array}{r|rrrr} 3 & 1 & -1 & -14 & 24 \end{array} \]

Application pas à pas de la règle

Étape 1 : on reporte le premier coefficient sur la ligne inférieure sans le modifier.

\[ 1 \]

Étape 2 : on multiplie la valeur que l'on vient d'inscrire par \(a = 3\) et on place le résultat sous le coefficient suivant :

\[ 1 \cdot 3 = 3 \]

Étape 3 : on additionne les valeurs présentes dans la colonne :

\[ -1 + 3 = 2 \]

Étape 4 : on répète la procédure : on multiplie la valeur obtenue par \(3\) et on additionne :

\[ 2 \cdot 3 = 6 \] \[ -14 + 6 = -8 \]

Étape 5 : on effectue la dernière opération :

\[ -8 \cdot 3 = -24 \] \[ 24 + (-24) = 0 \]

Schéma complet

\[ \begin{array}{r|rrrr} 3 & 1 & -1 & -14 & 24 \\ & & 3 & 6 & -24 \\ \hline & 1 & 2 & -8 & 0 \end{array} \]

Interprétation du résultat

Les valeurs obtenues sur la ligne inférieure, à l'exception de la dernière, représentent les coefficients du polynôme quotient : \[ x^2 + 2x - 8 \]

La dernière valeur correspond au reste de la division : \[ r = 0 \] Comme le reste est nul, la division est exacte.

Résultat

\[ \boxed{x^2 + 2x - 8} \]

Conclusion

Le reste étant nul, le polynôme initial est divisible par \(x - 3\) et peut s'écrire sous la forme : \[ x^3 - x^2 - 14x + 24 = (x - 3)(x^2 + 2x - 8) \]

\[ x^2 - 6x + 5 \]

Démarche de résolution

On applique la règle de Ruffini et, à la fin, on vérifiera le résultat de la manière la plus directe possible : en développant le produit \((x + 2)(x^2 - 6x + 5)\) et en s'assurant que l'on retrouve bien le polynôme de départ. Cette habitude de vérification — rapide à mettre en œuvre — permet de repérer immédiatement d'éventuelles erreurs de calcul commises lors de l'élaboration du schéma.

Identification de la valeur à utiliser

Le diviseur est \(x + 2 = x - (-2)\). La valeur qui annule le diviseur est : \[ x + 2 = 0 \;\Rightarrow\; x = -2 \] Par conséquent : \[ a = -2 \]

Écriture des coefficients

Le polynôme est déjà ordonné suivant les puissances décroissantes : \[ x^3 - 4x^2 - 7x + 10 \] Les coefficients qui lui sont associés sont : \[ 1 \quad -4 \quad -7 \quad 10 \]

Construction du schéma de Ruffini

On place la valeur \(a = -2\) à gauche et on inscrit les coefficients sur la ligne supérieure :

\[ \begin{array}{r|rrrr} -2 & 1 & -4 & -7 & 10 \end{array} \]

Application pas à pas de la règle

Étape 1 : on reporte le premier coefficient sur la ligne inférieure sans le modifier.

\[ 1 \]

Étape 2 : on multiplie la valeur que l'on vient d'inscrire par \(a = -2\) et on place le résultat sous le coefficient suivant :

\[ 1 \cdot (-2) = -2 \]

Étape 3 : on additionne les valeurs présentes dans la colonne :

\[ -4 + (-2) = -6 \]

Étape 4 : on répète la procédure : on multiplie la valeur obtenue par \(-2\) et on additionne :

\[ -6 \cdot (-2) = 12 \] \[ -7 + 12 = 5 \]

Étape 5 : on effectue la dernière opération :

\[ 5 \cdot (-2) = -10 \] \[ 10 + (-10) = 0 \]

Schéma complet

\[ \begin{array}{r|rrrr} -2 & 1 & -4 & -7 & 10 \\ & & -2 & 12 & -10 \\ \hline & 1 & -6 & 5 & 0 \end{array} \]

Interprétation du résultat

Les valeurs obtenues sur la ligne inférieure, à l'exception de la dernière, représentent les coefficients du polynôme quotient : \[ x^2 - 6x + 5 \]

La dernière valeur correspond au reste de la division : \[ r = 0 \] Comme le reste est nul, la division est exacte.

Résultat

\[ \boxed{x^2 - 6x + 5} \]

Conclusion

Le reste étant nul, le polynôme initial est divisible par \(x + 2\) et peut s'écrire sous la forme : \[ x^3 - 4x^2 - 7x + 10 = (x + 2)(x^2 - 6x + 5) \]

\[ 3x^2 + x - 2 \]

Démarche de résolution

Ici encore, le diviseur est de la forme \(x - a\) et l'on applique la règle de Ruffini. Le coefficient dominant du dividende est \(3\) : aux étapes intermédiaires, les produits seront des multiples de \(3\), ce qui n'augmente pas la difficulté de la méthode mais oblige à ne négliger aucun facteur. Avec des coefficients différents de \(1\), la bonne pratique consiste à relire chaque multiplication avant de passer à l'étape suivante.

Identification de la valeur à utiliser

Le diviseur est \(x - 2\), déjà sous la forme canonique \(x - a\). La valeur qui annule le diviseur est : \[ x - 2 = 0 \;\Rightarrow\; x = 2 \] Par conséquent : \[ a = 2 \]

Écriture des coefficients

Le polynôme est déjà ordonné suivant les puissances décroissantes : \[ 3x^3 - 5x^2 - 4x + 4 \] Les coefficients qui lui sont associés sont : \[ 3 \quad -5 \quad -4 \quad 4 \]

Construction du schéma de Ruffini

On place la valeur \(a = 2\) à gauche et on inscrit les coefficients sur la ligne supérieure :

\[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 3 & -5 & -4 & 4 \end{array} \]

Application pas à pas de la règle

Étape 1 : on reporte le premier coefficient sur la ligne inférieure sans le modifier.

\[ 3 \]

Étape 2 : on multiplie la valeur que l'on vient d'inscrire par \(a = 2\) et on place le résultat sous le coefficient suivant :

\[ 3 \cdot 2 = 6 \]

Étape 3 : on additionne les valeurs présentes dans la colonne :

\[ -5 + 6 = 1 \]

Étape 4 : on répète la procédure : on multiplie la valeur obtenue par \(2\) et on additionne :

\[ 1 \cdot 2 = 2 \] \[ -4 + 2 = -2 \]

Étape 5 : on effectue la dernière opération :

\[ -2 \cdot 2 = -4 \] \[ 4 + (-4) = 0 \]

Schéma complet

\[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 3 & -5 & -4 & 4 \\ & & 6 & 2 & -4 \\ \hline & 3 & 1 & -2 & 0 \end{array} \]

Interprétation du résultat

Les valeurs obtenues sur la ligne inférieure, à l'exception de la dernière, représentent les coefficients du polynôme quotient. Le coefficient dominant \(3\) du dividende se retrouve inchangé comme premier coefficient du quotient : \[ 3x^2 + x - 2 \]

La dernière valeur correspond au reste de la division : \[ r = 0 \] Comme le reste est nul, la division est exacte.

Résultat

\[ \boxed{3x^2 + x - 2} \]

Conclusion

Le reste étant nul, le polynôme initial est divisible par \(x - 2\) et peut s'écrire sous la forme : \[ 3x^3 - 5x^2 - 4x + 4 = (x - 2)(3x^2 + x - 2) \]

\[ x^2 + x - 2 \]

Démarche de résolution

Le diviseur est \(x + 4\), avec un terme constant dont la valeur absolue est plus grande que dans les cas précédents. Dans la règle de Ruffini, cela se traduit par des produits intermédiaires plus élevés : il convient d'effectuer chaque multiplication avec soin, car une erreur sur une grande valeur produit des écarts plus visibles dans la ligne finale. Du point de vue de la procédure, rien ne change : on identifie la racine \(a = -4\) et l'on procède comme à l'accoutumée.

Identification de la valeur à utiliser

Le diviseur est \(x + 4 = x - (-4)\). La valeur qui annule le diviseur est : \[ x + 4 = 0 \;\Rightarrow\; x = -4 \] Par conséquent : \[ a = -4 \]

Écriture des coefficients

Le polynôme est déjà ordonné suivant les puissances décroissantes : \[ x^3 + 5x^2 + 2x - 8 \] Les coefficients qui lui sont associés sont : \[ 1 \quad 5 \quad 2 \quad -8 \]

Construction du schéma de Ruffini

On place la valeur \(a = -4\) à gauche et on inscrit les coefficients sur la ligne supérieure :

\[ \begin{array}{r|rrrr} -4 & 1 & 5 & 2 & -8 \end{array} \]

Application pas à pas de la règle

Étape 1 : on reporte le premier coefficient sur la ligne inférieure sans le modifier.

\[ 1 \]

Étape 2 : on multiplie la valeur que l'on vient d'inscrire par \(a = -4\) et on place le résultat sous le coefficient suivant :

\[ 1 \cdot (-4) = -4 \]

Étape 3 : on additionne les valeurs présentes dans la colonne :

\[ 5 + (-4) = 1 \]

Étape 4 : on répète la procédure : on multiplie la valeur obtenue par \(-4\) et on additionne :

\[ 1 \cdot (-4) = -4 \] \[ 2 + (-4) = -2 \]

Étape 5 : on effectue la dernière opération :

\[ -2 \cdot (-4) = 8 \] \[ -8 + 8 = 0 \]

Schéma complet

\[ \begin{array}{r|rrrr} -4 & 1 & 5 & 2 & -8 \\ & & -4 & -4 & 8 \\ \hline & 1 & 1 & -2 & 0 \end{array} \]

Interprétation du résultat

Les valeurs obtenues sur la ligne inférieure, à l'exception de la dernière, représentent les coefficients du polynôme quotient : \[ x^2 + x - 2 \]

La dernière valeur correspond au reste de la division : \[ r = 0 \] Comme le reste est nul, la division est exacte.

Résultat

\[ \boxed{x^2 + x - 2} \]

Conclusion

Le reste étant nul, le polynôme initial est divisible par \(x + 4\) et peut s'écrire sous la forme : \[ x^3 + 5x^2 + 2x - 8 = (x + 4)(x^2 + x - 2) \]

\[ 2x^2 - 3x - 2 \]

Démarche de résolution

En plus de fournir quotient et reste, la règle de Ruffini est un outil de factorisation : chaque fois que le reste est nul, le polynôme s'écrit comme produit du diviseur et du quotient. Si le quotient ainsi obtenu se factorise à son tour — par exemple à l'aide de la formule de résolution de l'équation du second degré — on aboutit à la décomposition complète du polynôme de départ en facteurs irréductibles. Dans cet exercice, le quotient \(2x^2 - 3x - 2\) est un trinôme que l'on peut factoriser plus avant, mais cela sort du cadre de l'objectif présent.

Identification de la valeur à utiliser

Le diviseur est \(x - 3\), déjà sous la forme canonique \(x - a\). La valeur qui annule le diviseur est : \[ x - 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = 3 \] Par conséquent : \[ a = 3 \]

Écriture des coefficients

Le polynôme est déjà ordonné suivant les puissances décroissantes : \[ 2x^3 - 9x^2 + 7x + 6 \] Les coefficients qui lui sont associés sont : \[ 2 \quad -9 \quad 7 \quad 6 \]

Construction du schéma de Ruffini

On place la valeur \(a = 3\) à gauche et on inscrit les coefficients sur la ligne supérieure :

\[ \begin{array}{r|rrrr} 3 & 2 & -9 & 7 & 6 \end{array} \]

Application pas à pas de la règle

Étape 1 : on reporte le premier coefficient sur la ligne inférieure sans le modifier.

\[ 2 \]

Étape 2 : on multiplie la valeur que l'on vient d'inscrire par \(a = 3\) et on place le résultat sous le coefficient suivant :

\[ 2 \cdot 3 = 6 \]

Étape 3 : on additionne les valeurs présentes dans la colonne :

\[ -9 + 6 = -3 \]

Étape 4 : on répète la procédure : on multiplie la valeur obtenue par \(3\) et on additionne :

\[ -3 \cdot 3 = -9 \] \[ 7 + (-9) = -2 \]

Étape 5 : on effectue la dernière opération :

\[ -2 \cdot 3 = -6 \] \[ 6 + (-6) = 0 \]

Schéma complet

\[ \begin{array}{r|rrrr} 3 & 2 & -9 & 7 & 6 \\ & & 6 & -9 & -6 \\ \hline & 2 & -3 & -2 & 0 \end{array} \]

Interprétation du résultat

Les valeurs obtenues sur la ligne inférieure, à l'exception de la dernière, représentent les coefficients du polynôme quotient : \[ 2x^2 - 3x - 2 \]

La dernière valeur correspond au reste de la division : \[ r = 0 \] Comme le reste est nul, la division est exacte.

Résultat

\[ \boxed{2x^2 - 3x - 2} \]

Conclusion

Le reste étant nul, le polynôme initial est divisible par \(x - 3\) et peut s'écrire sous la forme : \[ 2x^3 - 9x^2 + 7x + 6 = (x - 3)(2x^2 - 3x - 2) \]

\[ x^2 + x - 6 \]

Démarche de résolution

Le dividende \(x^3 - 7x + 6\) ne contient pas de terme en \(x^2\) : il s'agit d'un polynôme avec un terme manquant. Avant d'appliquer la règle de Ruffini, il est indispensable de rendre explicite le coefficient nul correspondant, en insérant \(0\) à la place du terme en \(x^2\) dans le schéma. Omettre cette étape conduirait à associer chaque coefficient à la mauvaise puissance, ce qui invaliderait l'ensemble du calcul.

Identification de la valeur à utiliser

Le diviseur est \(x - 1\), déjà sous la forme canonique \(x - a\). La valeur qui annule le diviseur est : \[ x - 1 = 0 \;\Rightarrow\; x = 1 \] Par conséquent : \[ a = 1 \]

Écriture des coefficients

Le polynôme écrit sous forme complète, avec le terme manquant explicité, est : \[ x^3 + 0x^2 - 7x + 6 \] Les coefficients associés, dans l'ordre, sont : \[ 1 \quad 0 \quad -7 \quad 6 \]

Construction du schéma de Ruffini

On place la valeur \(a = 1\) à gauche et on inscrit les quatre coefficients — y compris le zéro — sur la ligne supérieure :

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & 0 & -7 & 6 \end{array} \]

Application pas à pas de la règle

Étape 1 : on reporte le premier coefficient sur la ligne inférieure sans le modifier.

\[ 1 \]

Étape 2 : on multiplie la valeur que l'on vient d'inscrire par \(a = 1\) et on place le résultat sous le coefficient suivant :

\[ 1 \cdot 1 = 1 \]

Étape 3 : on additionne les valeurs présentes dans la colonne :

\[ 0 + 1 = 1 \]

Étape 4 : on répète la procédure : on multiplie la valeur obtenue par \(1\) et on additionne :

\[ 1 \cdot 1 = 1 \] \[ -7 + 1 = -6 \]

Étape 5 : on effectue la dernière opération :

\[ -6 \cdot 1 = -6 \] \[ 6 + (-6) = 0 \]

Schéma complet

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & 0 & -7 & 6 \\ & & 1 & 1 & -6 \\ \hline & 1 & 1 & -6 & 0 \end{array} \]

Interprétation du résultat

Les valeurs obtenues sur la ligne inférieure, à l'exception de la dernière, représentent les coefficients du polynôme quotient : \[ x^2 + x - 6 \]

La dernière valeur correspond au reste de la division : \[ r = 0 \] Comme le reste est nul, la division est exacte.

Résultat

\[ \boxed{x^2 + x - 6} \]

Conclusion

Le reste étant nul, le polynôme initial est divisible par \(x - 1\) et peut s'écrire sous la forme : \[ x^3 - 7x + 6 = (x - 1)(x^2 + x - 6) \]

\[ x^2 - 5x + 6 \]

Démarche de résolution

Avant d'entamer le schéma, il est judicieux de vérifier rapidement que \(x + 3\) est bien un diviseur exact, en calculant \(p(-3)\) de tête : \((-3)^3 - 2(-3)^2 - 9(-3) + 18 = -27 - 18 + 27 + 18 = 0\). Cette vérification préalable, rendue possible par le théorème du reste, ne demande que quelques secondes et nous garantit que le schéma de Ruffini fournira un reste nul. Si, au contraire, le résultat n'était pas nul, on saurait d'emblée que la division n'est pas exacte, sans avoir besoin de mener tout le schéma à son terme.

Identification de la valeur à utiliser

Le diviseur est \(x + 3 = x - (-3)\). La valeur qui annule le diviseur est : \[ x + 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = -3 \] Par conséquent : \[ a = -3 \]

Écriture des coefficients

Le polynôme est déjà ordonné suivant les puissances décroissantes : \[ x^3 - 2x^2 - 9x + 18 \] Les coefficients qui lui sont associés sont : \[ 1 \quad -2 \quad -9 \quad 18 \]

Construction du schéma de Ruffini

On place la valeur \(a = -3\) à gauche et on inscrit les coefficients sur la ligne supérieure :

\[ \begin{array}{r|rrrr} -3 & 1 & -2 & -9 & 18 \end{array} \]

Application pas à pas de la règle

Étape 1 : on reporte le premier coefficient sur la ligne inférieure sans le modifier.

\[ 1 \]

Étape 2 : on multiplie la valeur que l'on vient d'inscrire par \(a = -3\) et on place le résultat sous le coefficient suivant :

\[ 1 \cdot (-3) = -3 \]

Étape 3 : on additionne les valeurs présentes dans la colonne :

\[ -2 + (-3) = -5 \]

Étape 4 : on répète la procédure : on multiplie la valeur obtenue par \(-3\) et on additionne :

\[ -5 \cdot (-3) = 15 \] \[ -9 + 15 = 6 \]

Étape 5 : on effectue la dernière opération :

\[ 6 \cdot (-3) = -18 \] \[ 18 + (-18) = 0 \]

Schéma complet

\[ \begin{array}{r|rrrr} -3 & 1 & -2 & -9 & 18 \\ & & -3 & 15 & -18 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array} \]

Interprétation du résultat

Les valeurs obtenues sur la ligne inférieure, à l'exception de la dernière, représentent les coefficients du polynôme quotient : \[ x^2 - 5x + 6 \]

La dernière valeur correspond au reste de la division : \[ r = 0 \] Comme le reste est nul, la division est exacte, ainsi que la vérification préalable l'avait laissé prévoir.

Résultat

\[ \boxed{x^2 - 5x + 6} \]

Conclusion

Le reste étant nul, le polynôme initial est divisible par \(x + 3\) et peut s'écrire sous la forme : \[ x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = (x + 3)(x^2 - 5x + 6) \]

\[ 2x^2 - 5x + 2 \]

Démarche de résolution

Cet exercice combine deux éléments déjà rencontrés séparément : un diviseur de la forme \(x + k\) avec \(k > 0\) — qui impose de déduire une racine négative — et un coefficient dominant du dividende différent de \(1\). La règle de Ruffini traite les deux situations sans modifier la procédure ; ce qui change est seulement la vigilance accrue requise lorsqu'on exécute des produits faisant intervenir simultanément des nombres négatifs et des coefficients entiers supérieurs à l'unité.

Identification de la valeur à utiliser

Le diviseur est \(x + 3 = x - (-3)\). La valeur qui annule le diviseur est : \[ x + 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = -3 \] Par conséquent : \[ a = -3 \]

Écriture des coefficients

Le polynôme est déjà ordonné suivant les puissances décroissantes : \[ 2x^3 + x^2 - 13x + 6 \] Les coefficients qui lui sont associés sont : \[ 2 \quad 1 \quad -13 \quad 6 \]

Construction du schéma de Ruffini

On place la valeur \(a = -3\) à gauche et on inscrit les coefficients sur la ligne supérieure :

\[ \begin{array}{r|rrrr} -3 & 2 & 1 & -13 & 6 \end{array} \]

Application pas à pas de la règle

Étape 1 : on reporte le premier coefficient sur la ligne inférieure sans le modifier.

\[ 2 \]

Étape 2 : on multiplie la valeur que l'on vient d'inscrire par \(a = -3\) et on place le résultat sous le coefficient suivant :

\[ 2 \cdot (-3) = -6 \]

Étape 3 : on additionne les valeurs présentes dans la colonne :

\[ 1 + (-6) = -5 \]

Étape 4 : on répète la procédure : on multiplie la valeur obtenue par \(-3\) et on additionne :

\[ -5 \cdot (-3) = 15 \] \[ -13 + 15 = 2 \]

Étape 5 : on effectue la dernière opération :

\[ 2 \cdot (-3) = -6 \] \[ 6 + (-6) = 0 \]

Schéma complet

\[ \begin{array}{r|rrrr} -3 & 2 & 1 & -13 & 6 \\ & & -6 & 15 & -6 \\ \hline & 2 & -5 & 2 & 0 \end{array} \]

Interprétation du résultat

Les valeurs obtenues sur la ligne inférieure, à l'exception de la dernière, représentent les coefficients du polynôme quotient. Le coefficient dominant \(2\) du dividende apparaît comme premier coefficient du quotient : \[ 2x^2 - 5x + 2 \]

La dernière valeur correspond au reste de la division : \[ r = 0 \] Comme le reste est nul, la division est exacte.

Résultat

\[ \boxed{2x^2 - 5x + 2} \]

Conclusion

Le reste étant nul, le polynôme initial est divisible par \(x + 3\) et peut s'écrire sous la forme : \[ 2x^3 + x^2 - 13x + 6 = (x + 3)(2x^2 - 5x + 2) \]

\[ x^2 + 2x - 3 \]

Démarche de résolution

Appliquer la règle de Ruffini ne se limite pas à fournir le quotient et le reste : lorsque le reste est nul, \(a\) est une racine du polynôme dividende. Dans cet exercice, on obtiendra le quotient \(x^2 + 2x - 3\), lui aussi factorisable sous la forme \((x - 1)(x + 3)\). Cela signifie que \(x = 1\) est une racine double et que \(x = -3\) est une autre racine, et la décomposition complète du polynôme de départ s'écrit \((x-1)^2(x+3)\). Ruffini constitue donc le premier maillon d'une chaîne de factorisations.

Identification de la valeur à utiliser

Le diviseur est \(x - 1\), déjà sous la forme canonique \(x - a\). La valeur qui annule le diviseur est : \[ x - 1 = 0 \;\Rightarrow\; x = 1 \] Par conséquent : \[ a = 1 \]

Écriture des coefficients

Le polynôme est déjà ordonné suivant les puissances décroissantes : \[ x^3 + x^2 - 5x + 3 \] Les coefficients qui lui sont associés sont : \[ 1 \quad 1 \quad -5 \quad 3 \]

Construction du schéma de Ruffini

On place la valeur \(a = 1\) à gauche et on inscrit les coefficients sur la ligne supérieure :

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & 1 & -5 & 3 \end{array} \]

Application pas à pas de la règle

Étape 1 : on reporte le premier coefficient sur la ligne inférieure sans le modifier.

\[ 1 \]

Étape 2 : on multiplie la valeur que l'on vient d'inscrire par \(a = 1\) et on place le résultat sous le coefficient suivant :

\[ 1 \cdot 1 = 1 \]

Étape 3 : on additionne les valeurs présentes dans la colonne :

\[ 1 + 1 = 2 \]

Étape 4 : on répète la procédure : on multiplie la valeur obtenue par \(1\) et on additionne :

\[ 2 \cdot 1 = 2 \] \[ -5 + 2 = -3 \]

Étape 5 : on effectue la dernière opération :

\[ -3 \cdot 1 = -3 \] \[ 3 + (-3) = 0 \]

Schéma complet

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & 1 & -5 & 3 \\ & & 1 & 2 & -3 \\ \hline & 1 & 2 & -3 & 0 \end{array} \]

Interprétation du résultat

Les valeurs obtenues sur la ligne inférieure, à l'exception de la dernière, représentent les coefficients du polynôme quotient : \[ x^2 + 2x - 3 \]

La dernière valeur correspond au reste de la division : \[ r = 0 \] Comme le reste est nul, la division est exacte.

Résultat

\[ \boxed{x^2 + 2x - 3} \]

Conclusion

Le reste étant nul, le polynôme initial est divisible par \(x - 1\) et peut s'écrire sous la forme : \[ x^3 + x^2 - 5x + 3 = (x - 1)(x^2 + 2x - 3) \] En factorisant à son tour le quotient, on obtient la décomposition complète : \[ x^3 + x^2 - 5x + 3 = (x - 1)^2(x + 3) \]

\[ 3x^2 + 5x - 2 \]

Démarche de résolution

Arrivés au vingtième exercice, nous pouvons dresser un bilan de la méthode. La règle de Ruffini s'est révélée applicable de manière uniforme, indépendamment du signe de la racine, de la valeur absolue des coefficients ou du coefficient dominant du dividende. La seule condition nécessaire reste que le diviseur soit un binôme unitaire du premier degré \(x - a\) : lorsque cette condition est remplie, le schéma à trois lignes fournit toujours le quotient et le reste de manière rapide et vérifiable.

Identification de la valeur à utiliser

Le diviseur est \(x - 1\), déjà sous la forme canonique \(x - a\). La valeur qui annule le diviseur est : \[ x - 1 = 0 \;\Rightarrow\; x = 1 \] Par conséquent : \[ a = 1 \]

Écriture des coefficients

Le polynôme est déjà ordonné suivant les puissances décroissantes : \[ 3x^3 + 2x^2 - 7x + 2 \] Les coefficients qui lui sont associés sont : \[ 3 \quad 2 \quad -7 \quad 2 \]

Construction du schéma de Ruffini

On place la valeur \(a = 1\) à gauche et on inscrit les coefficients sur la ligne supérieure :

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 3 & 2 & -7 & 2 \end{array} \]

Application pas à pas de la règle

Étape 1 : on reporte le premier coefficient sur la ligne inférieure sans le modifier.

\[ 3 \]

Étape 2 : on multiplie la valeur que l'on vient d'inscrire par \(a = 1\) et on place le résultat sous le coefficient suivant :

\[ 3 \cdot 1 = 3 \]

Étape 3 : on additionne les valeurs présentes dans la colonne :

\[ 2 + 3 = 5 \]

Étape 4 : on répète la procédure : on multiplie la valeur obtenue par \(1\) et on additionne :

\[ 5 \cdot 1 = 5 \] \[ -7 + 5 = -2 \]

Étape 5 : on effectue la dernière opération :

\[ -2 \cdot 1 = -2 \] \[ 2 + (-2) = 0 \]

Schéma complet

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 3 & 2 & -7 & 2 \\ & & 3 & 5 & -2 \\ \hline & 3 & 5 & -2 & 0 \end{array} \]

Interprétation du résultat

Les valeurs obtenues sur la ligne inférieure, à l'exception de la dernière, représentent les coefficients du polynôme quotient. Le coefficient dominant \(3\) du dividende se retrouve inchangé comme premier coefficient du quotient : \[ 3x^2 + 5x - 2 \]

La dernière valeur correspond au reste de la division : \[ r = 0 \] Comme le reste est nul, la division est exacte.

Résultat

\[ \boxed{3x^2 + 5x - 2} \]

Conclusion

Le reste étant nul, le polynôme initial est divisible par \(x - 1\) et peut s'écrire sous la forme : \[ 3x^3 + 2x^2 - 7x + 2 = (x - 1)(3x^2 + 5x - 2) \]