Le théorème de permanence du signe pour les suites énonce que, si une suite réelle \(a_n\) converge vers une limite \(L\neq 0\), alors il existe un rang \(N\in\mathbb{N}\) à partir duquel tous les termes de la suite ont le même signe que \(L\). Autrement dit :
\[ \lim_{n\to\infty} a_n = L \quad \text{avec } L>0 \,\implies\, \exists N\in\mathbb{N} \,:\, \forall n\geq N \, , \, a_n>0 \]
Si au contraire \(L<0\), alors :
\[ \lim_{n\to\infty} a_n = L \quad \text{avec } L<0 \,\implies\, \exists N\in\mathbb{N} \,:\, \forall n\geq N \, , \, a_n<0 \]
Par définition :
\[ \lim_{n\to\infty} a_n = L \,\iff\, \forall \varepsilon>0 \,\, \exists N\in\mathbb{N} \,:\, \forall n\geq N \, , \, |a_n-L|<\varepsilon \]
En particulier, en choisissant \[ \varepsilon=\frac{|L|}{2}, \] nous obtenons :
\[ L-\frac{|L|}{2} < a_n < L+\frac{|L|}{2} \]
Considérons maintenant les deux cas possibles.
- Si \(L>0\), alors \( |L|=L \), donc :
\[ \frac{L}{2} < a_n < \frac{3L}{2} \qquad \forall n\geq N \]
En particulier :
\[ a_n>0 \qquad \forall n\geq N \]
- Si \(L<0\), alors \( |L|=-L \), donc :
\[ -\frac{3|L|}{2} < a_n < -\frac{|L|}{2} \qquad \forall n\geq N \]
et par conséquent :
\[ a_n<0 \qquad \forall n\geq N \]
Dans les deux cas, à partir d’un certain rang \(N\), tous les termes de la suite ont le même signe que la limite \(L\).
Exercice 1. Considérons la suite :
\[ a_n=\frac{1}{n} \]
Calculons la limite :
\[ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 \]
Comme la limite est nulle, le théorème de permanence du signe ne peut pas être appliqué. En effet, le théorème exige explicitement que \(L\neq 0\).
Exercice 2. Considérons la suite :
\[ a_n=\frac{3}{n}-2 \]
Calculons la limite :
\[ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{3}{n}-2\right)=-2 \]
Choisissons :
\[ \varepsilon=1 \]
Nous devons trouver un rang \(N\) tel que :
\[ |a_n+2|<1 \qquad \forall n\geq N \]
Observons que :
\[ |a_n+2| = \left| \frac{3}{n} \right| = \frac{3}{n} \]
Nous imposons donc :
\[ \frac{3}{n}<1 \]
ce qui équivaut à :
\[ n>3 \]
Par conséquent, pour tout :
\[ n\geq 4 \]
on a :
\[ a_n<0 \]
Ainsi, à partir du rang \(4\), tous les termes de la suite sont négatifs, conformément au théorème de permanence du signe.
Exercice 3. Considérons la suite :
\[ a_n=\frac{5}{n}+1 \]
Calculons la limite :
\[ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{5}{n}+1\right)=1 \]
Choisissons :
\[ \varepsilon=\frac{1}{2} \]
Nous devons trouver un rang \(N\) tel que :
\[ |a_n-1|<\frac{1}{2} \qquad \forall n\geq N \]
Observons que :
\[ |a_n-1| = \left| \frac{5}{n} \right| = \frac{5}{n} \]
Nous imposons donc :
\[ \frac{5}{n}<\frac{1}{2} \]
ce qui équivaut à :
\[ n>10 \]
Par conséquent, pour tout :
\[ n\geq 11 \]
on a :
\[ a_n>0 \]
Ainsi, à partir du rang \(11\), tous les termes de la suite sont positifs, conformément au théorème de permanence du signe.