Les opérations sur les ensembles permettent de construire de nouveaux ensembles à partir d'ensembles donnés. Les opérations fondamentales sont la réunion, l'intersection, la différence, le complémentaire et la différence symétrique.
À côté de ces opérations, le produit cartésien joue également un rôle important : il ne construit pas un ensemble formé simplement des éléments des ensembles de départ, mais un ensemble de couples ordonnés.
Dans cette page, nous introduisons les principales opérations sur les ensembles, nous en donnons les définitions formelles, nous analysons quelques exemples et nous rassemblons les propriétés fondamentales de l'algèbre des ensembles.
Sommaire
- Ensembles et Appartenance
- Réunion d'Ensembles
- Intersection d'Ensembles
- Différence d'Ensembles
- Complémentaire d'un Ensemble
- Différence Symétrique
- Produit Cartésien
- Propriétés Fondamentales des Opérations sur les Ensembles
- Diagrammes de Venn
Ensembles et Appartenance
Avant d'introduire les opérations sur les ensembles, rappelons quelques notions fondamentales. Un ensemble est une collection d'objets, appelés éléments. Les éléments d'un ensemble sont considérés comme distincts : l'ordre dans lequel ils sont énumérés n'est pas pertinent, et un élément répété n'est compté qu'une seule fois.
Pour indiquer qu'un élément \(x\) appartient à un ensemble \(A\), on écrit
\[ x \in A. \]
Pour indiquer au contraire que \(x\) n'appartient pas à \(A\), on écrit
\[ x \notin A. \]
Par exemple, si
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \]
alors
\[ 3\in A, \qquad 7\notin A. \]
Deux ensembles sont égaux lorsqu'ils ont exactement les mêmes éléments. Par exemple,
\[ \{1,2,3\}=\{3,2,1\}. \]
Cela s'explique par le fait que, dans un ensemble, l'ordre des éléments n'a pas d'importance.
Nous utiliserons en outre le symbole \(\emptyset\) pour désigner l'ensemble vide, c'est-à-dire l'ensemble ne contenant aucun élément.
Enfin, si tout élément d'un ensemble \(A\) appartient également à un ensemble \(B\), on dit que \(A\) est un sous-ensemble de \(B\) (ou une partie de \(B\)) et l'on écrit
\[ A\subseteq B. \]
Ces notions permettent de définir avec précision les principales opérations sur les ensembles.
Réunion d'Ensembles
Étant donné deux ensembles \(A\) et \(B\), la réunion de \(A\) et \(B\) est l'ensemble formé de tous les éléments appartenant à au moins l'un des deux ensembles.
La réunion de \(A\) et \(B\) se note
\[ A\cup B. \]
Formellement,
\[ A\cup B=\{x:x\in A \text{ ou } x\in B\}. \]
Le mot « ou » doit être entendu au sens inclusif : un élément appartient à \(A\cup B\) s'il appartient à \(A\), ou s'il appartient à \(B\), ou s'il appartient aux deux à la fois.
Par exemple, soient
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\}. \]
Alors
\[ A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}. \]
Les éléments \(3\) et \(4\), bien qu'appartenant aux deux ensembles, ne figurent qu'une seule fois dans la réunion. En effet, dans un ensemble, les répétitions ne sont pas prises en compte.
Propriétés de la réunion
La réunion d'ensembles satisfait quelques propriétés fondamentales.
- Commutativité : \[ A\cup B=B\cup A. \]
- Associativité : \[ (A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C). \]
- Idempotence : \[ A\cup A=A. \]
- Élément neutre : \[ A\cup\emptyset=A. \]
La commutativité montre que l'ordre des ensembles n'a pas d'incidence sur la réunion. L'associativité permet, quant à elle, d'écrire la réunion de trois ensembles sans ambiguïté, en omettant les parenthèses :
\[ A\cup B\cup C. \]
Intersection d'Ensembles
Étant donné deux ensembles \(A\) et \(B\), l'intersection de \(A\) et \(B\) est l'ensemble formé de tous les éléments appartenant simultanément à \(A\) et à \(B\).
L'intersection de \(A\) et \(B\) se note
\[ A\cap B. \]
Formellement,
\[ A\cap B=\{x:x\in A \text{ et } x\in B\}. \]
Ainsi, un élément appartient à \(A\cap B\) si et seulement s'il appartient à la fois à \(A\) et à \(B\).
Par exemple, soient
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{3,4,5,6,7\}. \]
Les éléments communs aux deux ensembles sont \(3\), \(4\) et \(5\). Par conséquent,
\[ A\cap B=\{3,4,5\}. \]
Ensembles disjoints
Deux ensembles \(A\) et \(B\) sont dits disjoints lorsqu'ils n'ont aucun élément en commun, c'est-à-dire lorsque leur intersection est l'ensemble vide :
\[ A\cap B=\emptyset. \]
Par exemple, si
\[ A=\{1,3,5\}, \qquad B=\{2,4,6\}, \]
alors
\[ A\cap B=\emptyset. \]
En effet, aucun élément de \(A\) n'appartient également à \(B\).
Propriétés de l'intersection
L'intersection d'ensembles satisfait des propriétés analogues à celles de la réunion.
- Commutativité : \[ A\cap B=B\cap A. \]
- Associativité : \[ (A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C). \]
- Idempotence : \[ A\cap A=A. \]
- Élément absorbant : \[ A\cap\emptyset=\emptyset. \]
La commutativité montre que l'ordre des ensembles n'a pas d'incidence sur l'intersection. L'associativité permet, quant à elle, d'écrire l'intersection de trois ensembles sans ambiguïté, en omettant les parenthèses :
\[ A\cap B\cap C. \]
Différence d'Ensembles
Étant donné deux ensembles \(A\) et \(B\), la différence de \(A\) et \(B\) est l'ensemble formé de tous les éléments appartenant à \(A\) mais n'appartenant pas à \(B\).
La différence de \(A\) et \(B\) se note
\[ A\setminus B. \]
Formellement,
\[ A\setminus B=\{x:x\in A \text{ et } x\notin B\}. \]
Ainsi, un élément appartient à \(A\setminus B\) si et seulement s'il appartient au premier ensemble sans appartenir au second.
Par exemple, soient
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{3,4,5,6\}. \]
Les éléments de \(A\) n'appartenant pas à \(B\) sont \(1\) et \(2\). Par conséquent,
\[ A\setminus B=\{1,2\}. \]
En revanche, le seul élément de \(B\) n'appartenant pas à \(A\) est \(6\). Ainsi,
\[ B\setminus A=\{6\}. \]
La différence n'est pas commutative
En général, la différence d'ensembles n'est pas commutative. En effet, en changeant l'ordre des ensembles, le résultat peut changer :
\[ A\setminus B\neq B\setminus A. \]
Dans l'exemple précédent, nous avons en effet obtenu
\[ A\setminus B=\{1,2\}, \qquad B\setminus A=\{6\}. \]
Ceci montre que, dans la différence ensembliste, le premier ensemble ne joue pas le même rôle que le second : \(A\setminus B\) contient ce qui reste de \(A\) une fois retirés les éléments appartenant également à \(B\).
Cas particuliers
Pour tout ensemble \(A\), les propriétés suivantes sont vérifiées :
- \[ A\setminus\emptyset=A. \]
- \[ A\setminus A=\emptyset. \]
- \[ \emptyset\setminus A=\emptyset. \]
La première propriété signifie que retirer de \(A\) les éléments de l'ensemble vide ne modifie pas \(A\). La deuxième signifie qu'en retirant de \(A\) tous ses propres éléments, il ne reste aucun élément. La troisième signifie que de l'ensemble vide, on ne peut obtenir aucun élément par différence.
Complémentaire d'un Ensemble
Pour définir le complémentaire d'un ensemble, il est nécessaire de fixer un ensemble universel, c'est-à-dire un ensemble \(U\) à l'intérieur duquel on travaille.
Si \(A\) est un sous-ensemble de \(U\), le complémentaire de \(A\) par rapport à \(U\) est l'ensemble formé de tous les éléments de \(U\) n'appartenant pas à \(A\).
Le complémentaire de \(A\) se note souvent
\[ A^c. \]
Formellement,
\[ A^c=U\setminus A=\{x\in U:x\notin A\}. \]
Ainsi, un élément appartient à \(A^c\) si et seulement s'il appartient à l'ensemble universel \(U\) sans appartenir à \(A\).
Par exemple, soit
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \]
et soit
\[ A=\{2,4,6,8,10\}. \]
Alors le complémentaire de \(A\) par rapport à \(U\) est
\[ A^c=\{1,3,5,7,9\}. \]
En effet, \(A^c\) contient tous les éléments de \(U\) n'appartenant pas à \(A\), et uniquement ceux-ci.
Dépendance vis-à-vis de l'ensemble universel
Le complémentaire d'un ensemble ne dépend pas seulement de l'ensemble \(A\), mais également de l'ensemble universel \(U\) choisi.
Par exemple, si
\[ A=\{2,4,6\} \]
et si l'on considère comme univers
\[ U=\{1,2,3,4,5,6\}, \]
alors
\[ A^c=\{1,3,5\}. \]
Si l'on considère en revanche comme univers
\[ V=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}, \]
alors le complémentaire de \(A\) par rapport à \(V\) est
\[ V\setminus A=\{1,3,5,7,8\}. \]
C'est pourquoi, lorsqu'on parle de complémentaire, l'ensemble universel doit être clair d'après le contexte ou explicitement précisé.
Propriétés du complémentaire
Si \(A\subseteq U\), alors les propriétés suivantes sont vérifiées :
- \[ A\cup A^c=U. \]
- \[ A\cap A^c=\emptyset. \]
- \[ (A^c)^c=A. \]
- \[ \emptyset^c=U. \]
- \[ U^c=\emptyset. \]
La première propriété signifie que tout élément de l'univers appartient soit à \(A\), soit à son complémentaire. La deuxième signifie, quant à elle, qu'aucun élément ne peut appartenir simultanément à \(A\) et au complémentaire de \(A\).
Différence Symétrique
Étant donné deux ensembles \(A\) et \(B\), la différence symétrique de \(A\) et \(B\) est l'ensemble formé des éléments appartenant à \(A\) ou à \(B\), mais non aux deux à la fois.
La différence symétrique de \(A\) et \(B\) se note
\[ A\triangle B. \]
Formellement,
\[ A\triangle B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A). \]
De manière équivalente, on peut écrire
\[ A\triangle B=(A\cup B)\setminus(A\cap B). \]
Cette seconde formule montre que la différence symétrique s'obtient en prenant la réunion de \(A\) et \(B\), puis en retirant les éléments communs aux deux ensembles.
Par exemple, soient
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\}. \]
Les éléments appartenant à \(A\) mais pas à \(B\) sont \(1\) et \(2\), tandis que les éléments appartenant à \(B\) mais pas à \(A\) sont \(5\) et \(6\). Par conséquent,
\[ A\triangle B=\{1,2,5,6\}. \]
Les éléments \(3\) et \(4\), étant communs aux deux ensembles, n'appartiennent pas à la différence symétrique.
Propriétés de la différence symétrique
La différence symétrique satisfait quelques propriétés fondamentales.
- Commutativité : \[ A\triangle B=B\triangle A. \]
- Associativité : \[ (A\triangle B)\triangle C=A\triangle(B\triangle C). \]
- Élément neutre : \[ A\triangle\emptyset=A. \]
- Différence symétrique d'un ensemble avec lui-même : \[ A\triangle A=\emptyset. \]
La commutativité tient au fait que, dans la différence symétrique, peu importe lequel des deux ensembles contient l'élément : seul compte le fait que l'élément appartienne à l'un des deux, mais pas aux deux à la fois.
La propriété \(A\triangle A=\emptyset\) exprime, quant à elle, le fait que tout élément de \(A\) appartient aux deux ensembles considérés, de sorte qu'aucun élément n'appartient à un seul des deux.
Produit Cartésien
Les opérations considérées jusqu'ici produisent des ensembles dont les éléments demeurent des éléments des ensembles de départ, ou de l'ensemble universel fixé. Le produit cartésien est de nature différente : il construit un ensemble de couples ordonnés.
Étant donné deux ensembles \(A\) et \(B\), le produit cartésien de \(A\) et \(B\) est l'ensemble de tous les couples ordonnés \((a,b)\), où le premier élément appartient à \(A\) et le second appartient à \(B\).
Le produit cartésien de \(A\) et \(B\) se note
\[ A\times B. \]
Formellement,
\[ A\times B=\{(a,b):a\in A \text{ et } b\in B\}. \]
Ainsi, pour construire \(A\times B\), chaque élément de \(A\) est associé à chaque élément de \(B\), en respectant l'ordre du couple.
Par exemple, soient
\[ A=\{1,2\}, \qquad B=\{3,4,5\}. \]
Alors
\[ A\times B=\{(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)\}. \]
Dans chaque couple, le premier élément provient de \(A\), tandis que le second provient de \(B\).
Couples ordonnés
Dans le produit cartésien, l'ordre des éléments du couple est essentiel. En général,
\[ (a,b)\neq(b,a). \]
Par exemple,
\[ (1,3)\neq(3,1). \]
Par conséquent, en général, le produit cartésien n'est pas commutatif :
\[ A\times B\neq B\times A. \]
En effet, \(A\times B\) est formé des couples dont le premier élément appartient à \(A\) et le second à \(B\), tandis que \(B\times A\) est formé des couples dont le premier élément appartient à \(B\) et le second à \(A\).
Produit cartésien et plan cartésien
Un exemple fondamental de produit cartésien est
\[ \mathbb{R}\times\mathbb{R}. \]
Cet ensemble est formé de tous les couples ordonnés \((x,y)\), où \(x\) et \(y\) sont des nombres réels :
\[ \mathbb{R}\times\mathbb{R}=\{(x,y):x\in\mathbb{R} \text{ et } y\in\mathbb{R}\}. \]
L'ensemble \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}\) se note également \(\mathbb{R}^2\) et représente le plan cartésien.
Propriétés du produit cartésien
Le produit cartésien satisfait quelques propriétés utiles.
- Produit avec l'ensemble vide : \[ A\times\emptyset=\emptyset, \qquad \emptyset\times A=\emptyset. \]
- Distributivité par rapport à la réunion : \[ A\times(B\cup C)=(A\times B)\cup(A\times C). \]
- Distributivité par rapport à l'intersection : \[ A\times(B\cap C)=(A\times B)\cap(A\times C). \]
Si \(A\) et \(B\) sont des ensembles finis, alors le nombre d'éléments du produit cartésien est donné par
\[ |A\times B|=|A|\cdot |B|. \]
En effet, pour chaque élément de \(A\), on peut former autant de couples qu'il y a d'éléments dans \(B\).
Propriétés Fondamentales des Opérations sur les Ensembles
Les opérations sur les ensembles satisfont quelques propriétés fondamentales. Ces propriétés permettent de transformer et de simplifier des expressions ensemblistes, de manière analogue à ce qui se produit avec les propriétés des opérations sur les nombres.
Dans cette section, nous supposons que \(A\), \(B\) et \(C\) sont des ensembles contenus dans un même ensemble universel \(U\).
Propriétés de la réunion et de l'intersection
| Propriété | Réunion | Intersection |
|---|---|---|
| Commutativité | \(A \cup B = B \cup A\) | \(A \cap B = B \cap A\) |
| Associativité | \((A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)\) | \((A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)\) |
| Idempotence | \(A \cup A = A\) | \(A \cap A = A\) |
| Élément neutre | \(A \cup \varnothing = A\) | \(A \cap U = A\) |
| Élément absorbant | \(A \cup U = U\) | \(A \cap \varnothing = \varnothing\) |
Le tableau met en évidence une symétrie importante : de nombreuses propriétés de la réunion possèdent une propriété correspondante pour l'intersection. Cette correspondance est appelée dualité entre réunion et intersection.
Propriétés distributives
La réunion et l'intersection sont également liées par les propriétés distributives :
\[ A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C). \]
\[ A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C). \]
La première formule exprime la distributivité de la réunion par rapport à l'intersection. La seconde exprime la distributivité de l'intersection par rapport à la réunion.
Lois d'absorption
Les lois d'absorption suivantes sont également vérifiées :
\[ A\cup(A\cap B)=A. \]
\[ A\cap(A\cup B)=A. \]
La première égalité signifie qu'ajouter à \(A\) une partie déjà contenue dans \(A\) ne modifie pas l'ensemble. La seconde signifie qu'intersecter \(A\) avec un ensemble contenant certainement \(A\) laisse \(A\) inchangé.
Lois du complémentaire
Pour le complémentaire, les propriétés suivantes sont vérifiées :
\[ A\cup A^c=U. \]
\[ A\cap A^c=\emptyset. \]
\[ (A^c)^c=A. \]
En outre, les lois de De Morgan sont vérifiées :
\[ (A\cup B)^c=A^c\cap B^c. \]
\[ (A\cap B)^c=A^c\cup B^c. \]
Les lois de De Morgan montrent comment le complémentaire transforme la réunion en intersection et l'intersection en réunion.
L'ensemble de ces propriétés constitue les règles de base de l'algèbre des ensembles et se révèle fondamental pour manipuler rigoureusement les expressions ensemblistes.
Diagrammes de Venn
Les diagrammes de Venn sont des représentations graphiques utilisées pour visualiser les ensembles et les opérations sur les ensembles.
Dans un diagramme de Venn, l'ensemble universel \(U\) est généralement représenté par un rectangle, tandis que les ensembles contenus dans \(U\) sont représentés par des régions fermées, souvent des cercles ou des ovales.
Pour deux ensembles \(A\) et \(B\), les régions du diagramme permettent de visualiser immédiatement les principales opérations :
- \(A\cup B\) correspond à la région formée des éléments appartenant à au moins l'un des deux ensembles ;
- \(A\cap B\) correspond à la région commune à \(A\) et à \(B\) ;
- \(A\setminus B\) correspond à la partie de \(A\) n'appartenant pas à \(B\) ;
- \(A^c\) correspond à la partie de l'univers \(U\) extérieure à \(A\) ;
- \(A\triangle B\) correspond à la partie de la réunion \(A\cup B\) n'appartenant pas à l'intersection \(A\cap B\).
Les diagrammes de Venn sont particulièrement utiles pour comprendre le sens des opérations sur les ensembles et pour vérifier visuellement certaines propriétés, comme les lois de De Morgan :
\[ (A\cup B)^c=A^c\cap B^c, \qquad (A\cap B)^c=A^c\cup B^c. \]
Toutefois, un diagramme ne remplace pas une démonstration formelle. Pour démontrer une identité ensembliste, la méthode la plus rigoureuse consiste à montrer que tout élément du premier ensemble appartient également au second, et réciproquement.
Par exemple, pour démontrer une égalité du type
\[ X=Y, \]
on peut procéder en démontrant les deux inclusions
\[ X\subseteq Y \qquad \text{et} \qquad Y\subseteq X. \]
De cette manière, le raisonnement ne dépend pas de la figure, mais des définitions des ensembles et des opérations en jeu.
Les opérations sur les ensembles permettent de décrire avec précision des relations fondamentales entre collections d'objets. La réunion rassemble les éléments appartenant à au moins l'un des ensembles considérés, l'intersection identifie les éléments communs, la différence sélectionne les éléments appartenant à un ensemble mais pas à un autre, le complémentaire dépend de l'ensemble universel, et la différence symétrique rassemble les éléments appartenant à un seul des deux ensembles.
Le produit cartésien introduit, quant à lui, une opération de nature différente, car il construit des ensembles de couples ordonnés. Il devient ainsi possible de décrire des relations, des correspondances et des structures plus complexes.
Ces notions constituent une partie fondamentale du langage mathématique et sont à la base de nombreux sujets ultérieurs, de la logique à la combinatoire, de l'algèbre aux fonctions.