La parabole est une courbe plane définie comme le lieu géométrique des points équidistants d'un point fixe, appelé foyer, et d'une droite fixe, appelée directrice. Son axe de symétrie passe par le foyer et est perpendiculaire à la directrice.
Sommaire
- Équation Réduite de la Parabole
- Parabole à Axe Vertical et Parabole à Axe Horizontal
- Forme Canonique de la Parabole
- Sommet, Foyer, Directrice et Axe de Symétrie
- Équation de la Parabole à partir du Sommet et d'un Point
- Exercices sur la Parabole
Équation Réduite de la Parabole
Une parabole est le lieu géométrique des points du plan équidistants d'un point fixe, appelé foyer, et d'une droite fixe, appelée directrice.
Considérons le cas le plus simple : le foyer est \(F(0,p)\), avec \(p>0\), et la directrice est la droite \(r\) d'équation \(y=-p\). Un point \(P(x,y)\) appartient à la parabole si et seulement si sa distance au foyer est égale à sa distance à la directrice :
\[ d(P,F)=d(P,r). \]
Or
\[ d(P,F)=\sqrt{x^2+(y-p)^2} \]
et
\[ d(P,r)=|y+p|, \]
d'où l'équation
\[ \sqrt{x^2+(y-p)^2}=|y+p|. \]
Dans ce cas, la parabole se situe au-dessus de la directrice, donc \(y\geq -p\) et \(y+p\geq 0\). On peut alors écrire :
\[ \sqrt{x^2+(y-p)^2}=y+p. \]
En élevant au carré les deux membres, on obtient
\[ x^2+(y-p)^2=(y+p)^2. \]
En développant les carrés :
\[ x^2+y^2-2py+p^2=y^2+2py+p^2. \]
En simplifiant, on obtient
\[ x^2=4py. \]
Puisque \(p>0\), on peut diviser par \(4p\) pour obtenir :
\[ y=\frac{1}{4p}x^2. \]
En posant
\[ a=\frac{1}{4p}, \]
l'équation devient
\[ y=ax^2. \]
C'est l'équation réduite de la parabole de sommet à l'origine et d'axe de symétrie confondu avec l'axe \(y\).
Dans le cas que nous venons d'étudier, on a \(a>0\), la concavité est donc tournée vers le haut. Plus généralement, pour tout \(a\neq 0\), la parabole d'équation
\[ y=ax^2 \]
a pour sommet \(V(0,0)\), pour axe de symétrie \(x=0\), pour foyer
\[ F\left(0,\frac{1}{4a}\right) \]
et pour directrice
\[ y=-\frac{1}{4a}. \]
La quantité
\[ \frac{1}{4|a|} \]
représente la distance entre le sommet et le foyer. La parabole présente une concavité tournée vers le haut si \(a>0\), et vers le bas si \(a<0\).
Parabole à Axe Vertical et Parabole à Axe Horizontal
L'équation de la parabole revêt des formes différentes selon l'orientation de son axe de symétrie. Les deux cas fondamentaux sont la parabole à axe vertical et la parabole à axe horizontal.
Parabole à Axe Vertical
Une parabole à axe vertical et de sommet à l'origine a pour équation
\[ y=ax^2, \qquad a\neq 0. \]
L'axe de symétrie coïncide avec l'axe \(y\), c'est-à-dire avec la droite \(x=0\). Si \(a>0\), la parabole présente une concavité tournée vers le haut ; si en revanche \(a<0\), elle est tournée vers le bas.
Les éléments caractéristiques sont : sommet \(V(0,0)\), axe de symétrie \(x=0\), foyer \(F\left(0,\displaystyle \frac{1}{4a}\right)\) et directrice \(y=-\displaystyle \frac{1}{4a}\).
La même équation peut également s'écrire sous la forme
\[ x^2=4py, \]
où \(p=\displaystyle \frac{1}{4a}\) est le paramètre de la parabole. Le signe de \(p\) indique le sens d'ouverture, tandis que la distance entre le sommet et le foyer vaut \( |p|=\displaystyle \frac{1}{4|a|} \).
Exemple. Considérons la parabole
\[ y=2x^2. \]
Ici \(a=2\), donc
\[ \frac{1}{4a}=\frac{1}{8}. \]
Le sommet est \(V(0,0)\), l'axe de symétrie est \(x=0\), le foyer est \(F\left(0,\displaystyle \frac{1}{8}\right)\) et la directrice a pour équation \(y=-\displaystyle \frac{1}{8}\). Puisque \(a>0\), la parabole présente une concavité tournée vers le haut.
Parabole à Axe Horizontal
Une parabole à axe horizontal et de sommet à l'origine a pour équation
\[ x=ay^2, \qquad a\neq 0. \]
Dans ce cas, l'axe de symétrie coïncide avec l'axe \(x\), c'est-à-dire avec la droite \(y=0\). Si \(a>0\), la parabole présente une concavité tournée vers la droite ; si en revanche \(a<0\), elle est tournée vers la gauche.
Les éléments caractéristiques sont : sommet \(V(0,0)\), axe de symétrie \(y=0\), foyer \(F\left(\displaystyle \frac{1}{4a},0\right)\) et directrice \(x=-\displaystyle \frac{1}{4a}\).
De façon équivalente, l'équation peut s'écrire sous la forme
\[ y^2=4px, \]
où, ici encore, \(p=\displaystyle \frac{1}{4a}\) est le paramètre de la parabole. Le signe de \(p\) indique le sens d'ouverture, tandis que \( |p|=\displaystyle \frac{1}{4|a|} \) représente la distance entre le sommet et le foyer.
Exemple. Considérons la parabole
\[ x=2y^2. \]
Ici \(a=2\), donc
\[ \frac{1}{4a}=\frac{1}{8}. \]
Le sommet est \(V(0,0)\), l'axe de symétrie est \(y=0\), le foyer est \(F\left(\displaystyle \frac{1}{8},0\right)\) et la directrice a pour équation \(x=-\displaystyle \frac{1}{8}\). Puisque \(a>0\), la parabole présente une concavité tournée vers la droite.
Relation entre le Coefficient et le Paramètre de la Parabole
Dans les formes réduites
\[ y=ax^2 \qquad \text{et} \qquad x=ay^2, \]
le coefficient \(a\) détermine à la fois l'ouverture et l'orientation de la parabole. Plus précisément, le paramètre de la parabole est
\[ p=\frac{1}{4a}. \]
Si \(a>0\), alors \(p>0\) et la parabole s'ouvre dans le sens positif de l'axe de symétrie. Si \(a<0\), alors \(p<0\) et la parabole s'ouvre dans le sens négatif de l'axe de symétrie.
La distance entre le sommet et le foyer, en revanche, est toujours positive et est donnée par
\[ |p|=\frac{1}{4|a|}. \]
Cette distinction est importante : \(p\) conserve l'information relative au sens de la concavité, tandis que \( |p| \) mesure une distance.
Forme Canonique de la Parabole
Jusqu'à présent, nous avons considéré des paraboles de sommet à l'origine. Dans de nombreux cas, cependant, le sommet se situe en un point quelconque du plan. Dans ce cas, il est utile d'écrire la parabole sous sa forme canonique.
Une translation déplace tous les points du plan d'un même vecteur. C'est pourquoi, lorsqu'on translate une parabole, sa forme ne change pas : seules changent la position du sommet, du foyer, de la directrice et de l'axe de symétrie.
Parabole à Axe Vertical sous Forme Canonique
Partons de la parabole réduite
\[ y=ax^2. \]
Si le sommet est déplacé au point \(V(h,k)\), l'équation devient
\[ y=a(x-h)^2+k. \]
Cette forme est appelée forme canonique. Elle est particulièrement utile car elle permet de lire immédiatement le sommet de la parabole.
En effet, dans la parabole
\[ y=a(x-h)^2+k, \]
le sommet est \(V(h,k)\), tandis que l'axe de symétrie est la droite
\[ x=h. \]
Le signe de \(a\) détermine le sens de la concavité : la parabole est tournée vers le haut si \(a>0\), vers le bas si \(a<0\).
De la Forme Canonique à la Forme Générale
En développant le carré dans la forme du sommet, on obtient :
\[ y=a(x-h)^2+k =a(x^2-2hx+h^2)+k. \]
Donc
\[ y=ax^2-2ahx+ah^2+k. \]
En posant
\[ b=-2ah, \qquad c=ah^2+k, \]
on retrouve la forme générale
\[ y=ax^2+bx+c. \]
Réciproquement, en partant de la forme générale \(y=ax^2+bx+c\), avec \(a\neq 0\), les coordonnées du sommet sont
\[ h=-\frac{b}{2a}, \qquad k=c-\frac{b^2}{4a}. \]
Éléments Géométriques sous Forme Canonique
Pour une parabole à axe vertical d'équation
\[ y=a(x-h)^2+k, \qquad a\neq 0, \]
les éléments caractéristiques sont : sommet \(V(h,k)\), axe de symétrie \(x=h\), foyer \(F\left(h,k+\displaystyle \frac{1}{4a}\right)\) et directrice \(y=k-\displaystyle \frac{1}{4a}\).
La distance entre le sommet et le foyer est
\[ \frac{1}{4|a|}, \]
tandis que la distance entre le foyer et la directrice est
\[ \frac{1}{2|a|}. \]
Exemple. Considérons la parabole
\[ y=2(x-3)^2-5. \]
Elle s'obtient en appliquant à la parabole \(y=2x^2\) une translation de \(3\) unités vers la droite et de \(5\) unités vers le bas.
Le sommet est donc
\[ V(3,-5), \]
et l'axe de symétrie a pour équation
\[ x=3. \]
Puisque \(a=2\), on a
\[ \frac{1}{4a}=\frac{1}{8}. \]
Le foyer est
\[ F\left(3,-5+\frac{1}{8}\right) = F\left(3,-\frac{39}{8}\right), \]
tandis que la directrice a pour équation
\[ y=-5-\frac{1}{8} = -\frac{41}{8}. \]
Sommet, Foyer, Directrice et Axe de Symétrie
Les éléments géométriques fondamentaux d'une parabole sont son sommet, son foyer, sa directrice et son axe de symétrie. Ces éléments permettent de décrire entièrement la position de la parabole dans le plan cartésien.
Dans cette section, nous considérons les paraboles à axe vertical, c'est-à-dire les paraboles représentées par l'équation
\[ y=ax^2+bx+c, \qquad a\neq 0. \]
Sommet de la Parabole
Pour une parabole à axe vertical, le sommet est le point où la fonction quadratique atteint sa valeur minimale, si \(a>0\), ou sa valeur maximale, si \(a<0\).
Pour déterminer les coordonnées du sommet, partons de l'équation générale
\[ y=ax^2+bx+c. \]
Factorisons \(a\) dans les deux premiers termes :
\[ y=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c. \]
Complétons le carré en ajoutant et en retranchant le terme \(\left(\displaystyle \frac{b}{2a}\right)^2\) :
\[ y=a\left[ x^2+\frac{b}{a}x+ \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \right]+c. \]
On obtient ainsi :
\[ y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+c. \]
Puisque \(\Delta=b^2-4ac\), on peut écrire :
\[ -\frac{b^2}{4a}+c = -\frac{b^2-4ac}{4a} = -\frac{\Delta}{4a}. \]
La parabole peut donc se réécrire sous la forme
\[ y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a}. \]
En comparant cette expression avec la forme du sommet
\[ y=a(x-h)^2+k, \]
on obtient :
\[ h=-\frac{b}{2a}, \qquad k=-\frac{\Delta}{4a}. \]
Le sommet de la parabole \(y=ax^2+bx+c\) est donc
\[ V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right). \]
Axe de Symétrie
L'axe de symétrie est la droite passant par le sommet qui divise la parabole en deux parties symétriques. Pour une parabole à axe vertical d'équation
\[ y=ax^2+bx+c, \]
l'axe de symétrie a pour équation
\[ x=-\frac{b}{2a}. \]
Cette droite contient à la fois le sommet et le foyer de la parabole.
Foyer de la Parabole
Le foyer est le point fixe qui intervient dans la définition géométrique de la parabole. Tout point de la parabole est équidistant du foyer et de la directrice.
Si la parabole est écrite sous la forme du sommet
\[ y=a(x-h)^2+k, \]
son foyer est
\[ F\left(h,k+\frac{1}{4a}\right). \]
Dans le cas de la forme générale \(y=ax^2+bx+c\), on a
\[ h=-\frac{b}{2a}, \qquad k=-\frac{\Delta}{4a}. \]
En substituant ces valeurs, on obtient :
\[ F\left( -\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}+\frac{1}{4a} \right). \]
Cette formule est valable aussi bien pour \(a>0\) que pour \(a<0\). Si \(a>0\), le foyer se trouve au-dessus du sommet ; si \(a<0\), il se trouve au-dessous du sommet.
Directrice de la Parabole
La directrice est la droite fixe par rapport à laquelle la parabole est définie. Tout point de la parabole est équidistant du foyer et de la directrice.
Si la parabole est écrite sous la forme
\[ y=a(x-h)^2+k, \]
la directrice a pour équation
\[ y=k-\frac{1}{4a}. \]
Pour la parabole d'équation \(y=ax^2+bx+c\), en utilisant à nouveau
\[ k=-\frac{\Delta}{4a}, \]
on obtient :
\[ y=-\frac{\Delta}{4a}-\frac{1}{4a}. \]
Cette formule tient elle aussi compte automatiquement du signe de \(a\). Si \(a>0\), la directrice se trouve au-dessous du sommet ; si \(a<0\), elle se trouve au-dessus du sommet.
Distance Focale
La distance entre le sommet et le foyer est appelée distance focale. Dans la forme du sommet
\[ y=a(x-h)^2+k, \]
le foyer s'obtient à partir du sommet par un déplacement orienté égal à
\[ \frac{1}{4a} \]
le long de l'axe de symétrie. Par conséquent, la distance focale est
\[ \frac{1}{4|a|}. \]
La distance entre le foyer et la directrice vaut donc le double :
\[ \frac{1}{2|a|}. \]
Récapitulatif des Formules
Pour une parabole à axe vertical d'équation
\[ y=ax^2+bx+c, \qquad a\neq 0, \]
en posant \(\Delta=b^2-4ac\), on a : sommet \(V\left(-\displaystyle \frac{b}{2a},-\displaystyle \frac{\Delta}{4a}\right)\), axe de symétrie \(x=-\displaystyle \frac{b}{2a}\), foyer \(F\left(-\displaystyle \frac{b}{2a},-\displaystyle \frac{\Delta}{4a}+\displaystyle \frac{1}{4a}\right)\), directrice \(y=-\displaystyle \frac{\Delta}{4a}-\displaystyle \frac{1}{4a}\) et distance focale \(\displaystyle \frac{1}{4|a|}\).
Exemple. Considérons la parabole
\[ y=2x^2-8x+3. \]
Ici
\[ a=2, \qquad b=-8, \qquad c=3. \]
Le discriminant est
\[ \Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot 2\cdot 3=64-24=40. \]
Le sommet est donc
\[ V\left(-\frac{-8}{2\cdot 2},-\frac{40}{4\cdot 2}\right) = V(2,-5). \]
L'axe de symétrie a pour équation
\[ x=2. \]
Puisque
\[ \frac{1}{4a}=\frac{1}{8}, \]
le foyer est
\[ F\left(2,-5+\frac{1}{8}\right) = F\left(2,-\frac{39}{8}\right), \]
tandis que la directrice a pour équation
\[ y=-5-\frac{1}{8} = -\frac{41}{8}. \]
Enfin, la distance focale est
\[ \frac{1}{4|a|} = \frac{1}{8}. \]
Équation de la Parabole à partir du Sommet et d'un Point
Une parabole à axe vertical est déterminée de façon unique dès lors que l'on connaît son sommet et un autre point de la courbe, à condition que ce point n'ait pas la même abscisse que le sommet.
Supposons donc que le sommet soit
\[ V(h,k) \]
et que la parabole passe par le point
\[ P(x_0,y_0), \qquad x_0\neq h. \]
Le sommet étant connu, il convient d'utiliser la forme du sommet :
\[ y=a(x-h)^2+k. \]
Dans cette équation, le seul paramètre à déterminer est \(a\). Pour le trouver, imposons que la parabole passe par le point \(P(x_0,y_0)\). En substituant les coordonnées du point, on obtient :
\[ y_0=a(x_0-h)^2+k. \]
D'où :
\[ y_0-k=a(x_0-h)^2. \]
Puisque \(x_0\neq h\), on peut diviser par \((x_0-h)^2\) pour obtenir :
\[ a=\frac{y_0-k}{(x_0-h)^2}. \]
L'équation de la parabole est donc
\[ y=\frac{y_0-k}{(x_0-h)^2}(x-h)^2+k. \]
Exemple. Déterminons l'équation de la parabole à axe vertical, de sommet
\[ V(3,-2) \]
et passant par le point
\[ P(5,6). \]
Le sommet étant \(V(3,-2)\), écrivons la parabole sous la forme :
\[ y=a(x-3)^2-2. \]
Imposons à présent qu'elle passe par le point \(P(5,6)\) :
\[ 6=a(5-3)^2-2. \]
Donc :
\[ 6=4a-2. \]
D'où :
\[ 8=4a \]
et par conséquent
\[ a=2. \]
L'équation recherchée est donc
\[ y=2(x-3)^2-2. \]
Si l'on souhaite l'écrire sous forme générale, développons le carré :
\[ y=2(x^2-6x+9)-2. \]
On obtient :
\[ y=2x^2-12x+18-2, \]
c'est-à-dire
\[ y=2x^2-12x+16. \]
Vérification. Vérifions que la parabole obtenue a bien pour sommet \(V(3,-2)\). Dans l'équation
\[ y=2x^2-12x+16 \]
on a \(a=2\), \(b=-12\), \(c=16\). L'abscisse du sommet est :
\[ x_V=-\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2\cdot 2} = 3. \]
L'ordonnée correspondante est :
\[ y_V=2\cdot 3^2-12\cdot 3+16 = 18-36+16 = -2. \]
Le sommet est donc bien \(V(3,-2)\).
Le Cas de la Parabole à Axe Horizontal
La démarche est analogue pour une parabole à axe horizontal. Si le sommet est \(V(h,k)\), la forme du sommet est
\[ x=a(y-k)^2+h. \]
Si la parabole passe par le point \(P(x_0,y_0)\), avec \(y_0\neq k\), en substituant les coordonnées du point on obtient :
\[ x_0=a(y_0-k)^2+h. \]
D'où :
\[ a=\frac{x_0-h}{(y_0-k)^2}. \]
Ici encore, une fois \(a\) déterminé, l'équation de la parabole est entièrement connue.
Foyer et Directrice
Une fois le coefficient \(a\) déterminé, on peut également calculer les éléments géométriques de la parabole.
Pour une parabole à axe vertical d'équation
\[ y=a(x-h)^2+k, \]
le foyer est
\[ F\left(h,k+\frac{1}{4a}\right), \]
tandis que la directrice a pour équation
\[ y=k-\frac{1}{4a}. \]
La distance entre le sommet et le foyer est
\[ \frac{1}{4|a|}. \]
Exercices sur la Parabole
Concluons par quelques exercices corrigés sur la parabole. Ces exemples rassemblent les situations les plus fréquentes : déterminer les éléments caractéristiques, établir l'équation à partir de données géométriques, étudier une parabole à axe horizontal et résoudre des problèmes simples de symétrie.
Exercice 1. Soit la parabole d'équation
\[ y=3x^2-12x+7, \]
déterminer le sommet, le foyer, la directrice et la distance focale.
L'équation est sous la forme
\[ y=ax^2+bx+c. \]
Ici
\[ a=3,\qquad b=-12,\qquad c=7. \]
Calculons le discriminant :
\[ \Delta=b^2-4ac=(-12)^2-4\cdot 3\cdot 7=144-84=60. \]
Le sommet de la parabole est
\[ V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right). \]
En substituant les valeurs trouvées, on obtient :
\[ V\left(-\frac{-12}{2\cdot 3},-\frac{60}{4\cdot 3}\right) = V(2,-5). \]
Puisque
\[ \frac{1}{4a}=\frac{1}{12}, \]
et puisque \(a>0\), le foyer se trouve au-dessus du sommet :
\[ F\left(2,-5+\frac{1}{12}\right) = F\left(2,-\frac{59}{12}\right). \]
La directrice, en revanche, se trouve au-dessous du sommet :
\[ y=-5-\frac{1}{12} = -\frac{61}{12}. \]
Enfin, la distance focale est
\[ \frac{1}{4|a|} = \frac{1}{12}. \]
Exercice 2. Déterminer l'équation de la parabole à axe vertical de sommet \(V(-1,4)\) et passant par le point \(P(2,-5)\).
Le sommet étant connu, utilisons la forme du sommet :
\[ y=a(x-h)^2+k. \]
Dans notre cas \(h=-1\) et \(k=4\), donc :
\[ y=a(x+1)^2+4. \]
La parabole passe par le point \(P(2,-5)\). En substituant \(x=2\) et \(y=-5\), on obtient :
\[ -5=a(2+1)^2+4. \]
Donc :
\[ -5=9a+4. \]
D'où :
\[ -9=9a, \]
et par conséquent
\[ a=-1. \]
L'équation de la parabole est donc
\[ y=-(x+1)^2+4. \]
En développant le carré, on obtient :
\[ y=-(x^2+2x+1)+4, \]
c'est-à-dire
\[ y=-x^2-2x+3. \]
Exercice 3. Soit la parabole à axe horizontal
\[ x=2y^2-8y+6, \]
déterminer le sommet, le foyer et la directrice.
La parabole ayant un axe horizontal, complétons le carré par rapport à la variable \(y\) :
\[ \begin{aligned} x &=2y^2-8y+6 \\ &=2(y^2-4y)+6 \\ &=2(y^2-4y+4-4)+6 \\ &=2(y-2)^2-8+6 \\ &=2(y-2)^2-2. \end{aligned} \]
La parabole est donc sous la forme
\[ x=a(y-k)^2+h. \]
En comparant les deux expressions, on obtient :
\[ a=2,\qquad h=-2,\qquad k=2. \]
Le sommet est donc
\[ V(-2,2). \]
De plus,
\[ \frac{1}{4a}=\frac{1}{8}. \]
Puisque \(a>0\), la parabole s'ouvre vers la droite. Le foyer se trouve donc à droite du sommet :
\[ F\left(-2+\frac{1}{8},2\right) = F\left(-\frac{15}{8},2\right). \]
La directrice, en revanche, se trouve à gauche du sommet :
\[ x=-2-\frac{1}{8} = -\frac{17}{8}. \]
Exercice 4. Soit la parabole
\[ y=-2x^2+8x-5, \]
déterminer l'équation de la parabole symétrique par rapport à l'axe des abscisses. Calculer en outre les points d'intersection entre les deux paraboles.
La symétrie par rapport à l'axe des abscisses transforme chaque point \((x,y)\) en le point \((x,-y)\). Pour trouver l'équation de la parabole symétrique, on substitue donc \(-y\) à \(y\) dans l'équation initiale :
\[ -y=-2x^2+8x-5. \]
En multipliant les deux membres par \(-1\), on obtient :
\[ y=2x^2-8x+5. \]
Telle est l'équation de la parabole symétrique par rapport à l'axe des abscisses.
Pour déterminer les points d'intersection entre les deux paraboles, résolvons le système :
\[ \begin{cases} y=-2x^2+8x-5 \\ y=2x^2-8x+5. \end{cases} \]
En égalant les deux expressions de \(y\), on obtient :
\[ -2x^2+8x-5=2x^2-8x+5. \]
En regroupant tous les termes dans un même membre :
\[ 4x^2-16x+10=0. \]
En divisant par \(2\) :
\[ 2x^2-8x+5=0. \]
En appliquant la formule de résolution, on obtient :
\[ x= \frac{8\pm\sqrt{64-40}}{4} = \frac{8\pm\sqrt{24}}{4} = \frac{8\pm 2\sqrt6}{4} = \frac{4\pm\sqrt6}{2}. \]
Puisqu'une courbe et sa symétrique par rapport à l'axe des abscisses se coupent sur cet axe même, les ordonnées des points d'intersection sont nulles. Les points d'intersection sont donc :
\[ A\left(\frac{4+\sqrt6}{2},0\right), \qquad B\left(\frac{4-\sqrt6}{2},0\right). \]
Exercice 5. Déterminer l'équation de la parabole à axe vertical de foyer \(F(1,5)\) et de directrice \(y=3\). Vérifier en outre si le point \(P(3,6)\) appartient à la parabole.
Le foyer est \(F(1,5)\) et la directrice est la droite \(y=3\). La directrice étant horizontale, l'axe de la parabole est vertical et passe par le foyer.
Le sommet se situe à mi-chemin entre le foyer et la directrice. Il a donc la même abscisse que le foyer, et son ordonnée est égale à la moyenne de \(5\) et \(3\) :
\[ V\left(1,\frac{5+3}{2}\right) = V(1,4). \]
La distance focale est
\[ 5-4=1. \]
Le foyer se trouvant au-dessus du sommet, la parabole présente une concavité tournée vers le haut. Le paramètre de la parabole est donc \(p=1\), et par conséquent :
\[ a=\frac{1}{4p}=\frac{1}{4}. \]
L'équation de la parabole est donc
\[ y=\frac{1}{4}(x-1)^2+4. \]
Vérifions à présent si le point \(P(3,6)\) appartient à la parabole. En substituant \(x=3\) dans l'équation trouvée, on obtient :
\[ y=\frac{1}{4}(3-1)^2+4 = \frac{1}{4}\cdot 4+4 = 5. \]
Pour \(x=3\), la parabole a pour ordonnée \(5\), alors que le point donné a pour ordonnée \(6\). Le point \(P(3,6)\) n'appartient donc pas à la parabole.
On peut confirmer ce même résultat en utilisant également la définition géométrique. La distance de \(P\) au foyer est
\[ d(P,F) = \sqrt{(3-1)^2+(6-5)^2} = \sqrt5, \]
tandis que la distance de \(P\) à la directrice est
\[ d(P,\text{directrice}) = |6-3| = 3. \]
Puisque \(\sqrt5\neq 3\), le point n'appartient pas à la parabole.