Dans l'étude des limites, il est essentiel de distinguer deux situations qui, bien qu'étroitement liées, décrivent des aspects différents du comportement d'une fonction.
On parle de limite infinie lorsque ce sont les valeurs de la fonction \(f(x)\) qui croissent ou décroissent sans limite. Par exemple,
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \]
signifie que \(f(x)\) dépasse tout seuil positif fixé à l'avance dès que \(x\) est suffisamment proche de \(x_0\).
On parle en revanche de limite à l'infini lorsque c'est la variable indépendante \(x\) qui tend vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\). Par exemple,
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L \]
signifie que les valeurs de \(f(x)\) se rapprochent du nombre réel \(L\) lorsque \(x\) prend des valeurs positives arbitrairement grandes.
Les deux situations peuvent également se présenter simultanément. L'écriture
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty \]
décrit en effet une limite à l'infini, puisque \(x\to-\infty\), et, en même temps, une limite infinie, puisque \(f(x)\to-\infty\).
Dans cet article, nous étudierons les définitions formelles des limites infinies et des limites à l'infini, les limites à droite et à gauche, leur interprétation géométrique ainsi que leur lien avec les asymptotes verticales et horizontales. Nous verrons également les principales propriétés nécessaires pour comprendre et calculer ces limites, accompagnées de quelques exemples représentatifs.
Sommaire
- Limites infinies et limites à l'infini : une distinction fondamentale
- Limites infinies en un point
- Limites infinies à droite et à gauche
- Interprétation géométrique et asymptotes verticales
- Limites finies lorsque \(x\to+\infty\) et \(x\to-\infty\)
- Interprétation géométrique et asymptotes horizontales
- Limites infinies lorsque \(x\to+\infty\) et \(x\to-\infty\)
- Propriétés fondamentales des limites infinies et des limites à l'infini
- Comparaison entre fonctions et comportement dominant
- Exemples de limites infinies et de limites à l'infini
Limites infinies et limites à l'infini : une distinction fondamentale
Les expressions limite infinie et limite à l'infini décrivent deux caractéristiques distinctes d'une limite. La première concerne le comportement des valeurs de la fonction \(f(x)\) ; la seconde concerne, quant à elle, le comportement de la variable indépendante \(x\).
On parle de limite infinie lorsque
\[ f(x)\to+\infty \qquad\text{ou}\qquad f(x)\to-\infty. \]
Cela ne signifie pas que la fonction atteint une valeur appelée \(+\infty\) ou \(-\infty\). Les symboles \(+\infty\) et \(-\infty\) ne sont pas des nombres réels : ils indiquent que les valeurs de la fonction dépassent tout seuil positif, ou descendent au-dessous de tout seuil négatif.
Par exemple,
\[ \lim_{x\to2}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty \]
est une limite infinie, car les valeurs de la fonction croissent sans limite lorsque \(x\) se rapproche de \(2\).
On parle en revanche de limite à l'infini lorsque c'est la variable \(x\) qui tend vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\). Par exemple,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0 \]
est une limite à l'infini, car \(x\) prend des valeurs positives arbitrairement grandes, tandis que la fonction tend vers la valeur finie \(0\).
Les deux notions sont indépendantes
Une limite peut être infinie sans être une limite à l'infini. C'est ce qui se produit, par exemple, dans
\[ \lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}=+\infty. \]
Ici \(x\) tend vers le nombre réel \(0\), tandis que c'est la fonction qui tend vers \(+\infty\).
Réciproquement, une limite peut être à l'infini sans être infinie. Par exemple,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{2x+1}{x+1}=2. \]
Dans ce cas, \(x\to+\infty\), mais la fonction tend vers le nombre réel \(2\).
Enfin, les deux caractéristiques peuvent se présenter simultanément. L'écriture
\[ \lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty \]
représente à la fois une limite à l'infini, puisque \(x\to+\infty\), et une limite infinie, puisque \(x^2\to+\infty\).
Les quatre cas fondamentaux
En combinant le comportement de la variable avec celui de la fonction, on obtient quatre cas fondamentaux.
- Limite finie en un point : \(x\) tend vers un nombre réel \(x_0\) et \(f(x)\) tend vers un nombre réel \(L\) : \[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L. \]
- Limite infinie en un point : \(x\) tend vers un nombre réel \(x_0\) et \(f(x)\) tend vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\) : \[ \lim_{x\to x_0}f(x)=\pm\infty. \]
- Limite finie à l'infini : \(x\) tend vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\) et \(f(x)\) tend vers un nombre réel \(L\) : \[ \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L. \]
- Limite infinie à l'infini : \(x\) tend vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\) et \(f(x)\) tend elle aussi vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\) : \[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=\pm\infty \qquad\text{ou}\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=\pm\infty. \]
Il est donc important d'observer séparément ce qui se passe pour la variable et ce qui se passe pour les valeurs de la fonction. Cette distinction permet de reconnaître immédiatement le type de limite étudié et de choisir la définition formelle appropriée.
La signification des symboles \(+\infty\) et \(-\infty\)
Dans la théorie des limites, les symboles \(+\infty\) et \(-\infty\) décrivent un comportement, et non une valeur atteinte par la fonction. Écrire
\[ f(x)\to+\infty \]
signifie que \(f(x)\) dépasse, à partir d'un certain point, tout seuil réel positif fixé à l'avance. De même,
\[ f(x)\to-\infty \]
signifie que \(f(x)\) descend, à partir d'un certain point, au-dessous de tout seuil réel négatif fixé à l'avance.
Les définitions formelles données plus loin préciseront ces affirmations au moyen de quantificateurs et d'inégalités appropriés.
Limites infinies en un point
Soit \(f:D\to\mathbb{R}\) et soit \(x_0\) un point d'accumulation du domaine \(D\). Une limite infinie en \(x_0\) décrit une situation dans laquelle les valeurs de la fonction dépassent tout seuil positif, ou descendent au-dessous de tout seuil négatif, lorsque \(x\) se rapproche de \(x_0\).
Deux cas peuvent se présenter
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \]
et
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty. \]
Limite égale à \(+\infty\)
Écrire
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \]
signifie que \(f(x)\) dépasse tout seuil positif fixé à l'avance dès que \(x\) est suffisamment proche de \(x_0\).
Formellement,
\[ \forall M>0\ \exists\delta>0\ \forall x\in D: \quad 0<|x-x_0|<\delta \Longrightarrow f(x)>M. \]
Le seuil \(M\) peut être choisi arbitrairement grand. Une fois \(M\) fixé, il doit être possible de trouver un nombre \(\delta>0\) tel que tous les points du domaine satisfaisant
\[ 0<|x-x_0|<\delta \]
aient une image supérieure à \(M\).
Le nombre \(\delta\) peut dépendre de \(M\) : des seuils de plus en plus élevés peuvent exiger de choisir \(x\) de plus en plus proche de \(x_0\).
Limite égale à \(-\infty\)
De même,
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty \]
signifie que \(f(x)\) descend au-dessous de tout seuil négatif fixé à l'avance dès que \(x\) est suffisamment proche de \(x_0\).
Une formulation particulièrement commode fait à nouveau appel à un seuil positif \(M\) :
\[ \forall M>0\ \exists\delta>0\ \forall x\in D: \quad 0<|x-x_0|<\delta \Longrightarrow f(x)<-M. \]
Lorsque \(M\) augmente, le nombre \(-M\) devient de plus en plus petit. La définition exige donc que la fonction descende, à partir d'un certain point, au-dessous de tout niveau négatif fixé à l'avance.
La valeur de la fonction en \(x_0\)
La valeur que la fonction prend éventuellement au point \(x_0\) n'intervient pas dans la définition de la limite. La condition
\[ 0<|x-x_0| \]
exclut précisément \(x=x_0\).
La fonction peut donc ne pas être définie en \(x_0\), ou bien être définie et y prendre une valeur quelconque. La limite dépend exclusivement du comportement de \(f(x)\) aux points du domaine arbitrairement proches de \(x_0\).
Exemple : \(\displaystyle\frac{1}{x^2}\) lorsque \(x\to0\)
Considérons
\[ f(x)=\frac{1}{x^2}, \qquad x\neq0. \]
Lorsque \(x\) se rapproche de \(0\), le nombre \(x^2\) reste positif et tend vers \(0\). Son inverse devient donc arbitrairement grand :
\[ \lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}=+\infty. \]
Vérifions-le directement à partir de la définition. \(M>0\) étant fixé, nous voulons obtenir
\[ \frac{1}{x^2}>M. \]
Puisque \(x^2>0\) et \(M>0\), cette inégalité équivaut à
\[ x^2<\frac{1}{M}, \]
c'est-à-dire
\[ |x|<\frac{1}{\sqrt{M}}. \]
Il suffit donc de choisir
\[ \delta=\frac{1}{\sqrt{M}}. \]
Si
\[ 0<|x|<\delta, \]
alors
\[ |x|<\frac{1}{\sqrt{M}}, \]
et par conséquent
\[ \frac{1}{x^2}>M. \]
Cette construction étant possible pour tout \(M>0\), la définition est vérifiée.
Exemple : \(-\displaystyle\frac{1}{x^2}\) lorsque \(x\to0\)
Considérons à présent
\[ f(x)=-\frac{1}{x^2}, \qquad x\neq0. \]
Puisque
\[ \frac{1}{x^2}\to+\infty, \]
en changeant de signe, on obtient
\[ \lim_{x\to0}\left(-\frac{1}{x^2}\right)=-\infty. \]
Ce résultat peut lui aussi être vérifié directement. \(M>0\) étant fixé, nous voulons que
\[ -\frac{1}{x^2}<-M. \]
En multipliant par \(-1\) et en inversant le sens de l'inégalité, on obtient
\[ \frac{1}{x^2}>M. \]
Comme dans l'exemple précédent, il suffit donc de choisir
\[ \delta=\frac{1}{\sqrt{M}}. \]
Il s'ensuit que, pour tout \(M>0\),
\[ 0<|x|<\delta \Longrightarrow -\frac{1}{x^2}<-M, \]
et donc
\[ \lim_{x\to0}\left(-\frac{1}{x^2}\right)=-\infty. \]
Une erreur à éviter
Pour qu'une limite soit égale à \(+\infty\), il ne suffit pas que la fonction prenne des valeurs très grandes seulement en certains points s'approchant de \(x_0\). Une fois un seuil \(M>0\) fixé, l'inégalité
\[ f(x)>M \]
doit être vérifiée en tous les points du domaine suffisamment proches de \(x_0\), \(x_0\) lui-même excepté.
De même, pour que la limite soit égale à \(-\infty\), la fonction doit devenir, à partir d'un certain point, inférieure à \(-M\) pour chaque seuil \(M>0\).
Les symboles \(+\infty\) et \(-\infty\) décrivent donc un comportement précis de la fonction, et non des valeurs effectivement atteintes.
La limite infinie n'implique pas la monotonie
L'existence d'une limite infinie n'exige pas que la fonction soit monotone au voisinage du point considéré. Une fonction peut osciller, même une infinité de fois, tout en dépassant, à partir d'un certain point, tout seuil positif fixé à l'avance.
Considérons, par exemple,
\[ f(x)=\frac{2+\sin\left(\displaystyle\frac{1}{x^2}\right)}{|x|}, \qquad x\neq0. \]
Puisque
\[ 1\leq2+\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)\leq3, \]
on a
\[ f(x)\geq\frac{1}{|x|}. \]
De plus,
\[ \lim_{x\to0}\frac{1}{|x|}=+\infty. \]
Du théorème de comparaison, il résulte alors que
\[ \lim_{x\to0}f(x)=+\infty. \]
Le terme oscillant empêche la fonction d'être monotone au voisinage de \(0\), mais ne l'empêche pas de tendre vers \(+\infty\).
Limites infinies à droite et à gauche
Lorsque le comportement d'une fonction au voisinage d'un point \(x_0\) dépend du côté par lequel \(x\) s'approche, il est nécessaire de distinguer la limite à droite de la limite à gauche.
Dans la limite à droite, \(x\) s'approche de \(x_0\) en prenant des valeurs supérieures à \(x_0\) ; dans la limite à gauche, en revanche, \(x\) prend des valeurs inférieures à \(x_0\).
Les limites latérales peuvent, elles aussi, être infinies. Les quatre cas fondamentaux sont
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=-\infty, \]
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty. \]
Limite infinie à droite
Supposons que \(x_0\) soit un point d'accumulation à droite du domaine \(D\). On dit que
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty \]
si, pour tout \(M>0\), il existe \(\delta>0\) tel que, pour tout \(x\in D\),
\[ 0<x-x_0<\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)>M. \]
La condition
\[ 0<x-x_0<\delta \]
équivaut à
\[ x_0<x<x_0+\delta, \]
de sorte que seuls sont considérés les points du domaine situés à droite de \(x_0\).
De même,
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=-\infty \]
si, pour tout \(M>0\), il existe \(\delta>0\) tel que
\[ 0<x-x_0<\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)<-M \]
pour tout \(x\in D\).
Limite infinie à gauche
Supposons à présent que \(x_0\) soit un point d'accumulation à gauche du domaine \(D\). On dit que
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=+\infty \]
si, pour tout \(M>0\), il existe \(\delta>0\) tel que, pour tout \(x\in D\),
\[ 0<x_0-x<\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)>M. \]
Dans ce cas
\[ 0<x_0-x<\delta \]
équivaut à
\[ x_0-\delta<x<x_0, \]
et seuls sont donc considérés les points du domaine situés à gauche de \(x_0\).
De même,
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty \]
si, pour tout \(M>0\), il existe \(\delta>0\) tel que
\[ 0<x_0-x<\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)<-M. \]
Relation avec la limite lorsque \(x\to x_0\)
Supposons que \(x_0\) soit un point d'accumulation du domaine à la fois à gauche et à droite. Dans ce cas,
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \]
si et seulement si
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=+\infty \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty. \]
De même,
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty \]
si et seulement si
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=-\infty. \]
Si les deux limites latérales sont infinies mais de signes opposés, la limite lorsque \(x\to x_0\) n'existe pas.
Si, en revanche, le domaine présente des points arbitrairement proches de \(x_0\) seulement d'un des deux côtés, la limite doit être interprétée par rapport au domaine et coïncide avec la limite calculée du côté où de tels points sont présents.
Un exemple fondamental : la fonction \(\displaystyle\frac{1}{x}\)
Considérons
\[ f(x)=\frac{1}{x}, \qquad x\neq0. \]
Lorsque \(x\) s'approche de \(0\) par la droite, \(x\) est positif et tend vers \(0\). Son inverse devient donc positif et arbitrairement grand :
\[ \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty. \]
Lorsque, en revanche, \(x\) s'approche de \(0\) par la gauche, \(x\) est négatif et tend vers \(0\). L'inverse devient négatif et arbitrairement grand en valeur absolue :
\[ \lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty. \]
Les deux limites latérales sont donc de signes opposés. Par conséquent,
\[ \lim_{x\to0}\frac{1}{x} \]
n'existe pas.
Vérification formelle des deux limites latérales
Pour la limite à droite, fixons \(M>0\). Nous voulons que
\[ \frac{1}{x}>M. \]
Puisque \(x>0\), cette inégalité équivaut à
\[ x<\frac{1}{M}. \]
Il suffit donc de choisir
\[ \delta=\frac{1}{M}. \]
En effet,
\[ 0<x<\delta \quad\Longrightarrow\quad x<\frac{1}{M} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{x}>M. \]
Pour la limite à gauche, avec le même choix
\[ \delta=\frac{1}{M}, \]
de la condition
\[ 0<-x<\delta \]
il résulte
\[ -\frac{1}{M}<x<0. \]
\(x\) étant négatif, en passant aux inverses on obtient
\[ \frac{1}{x}<-M. \]
Les deux définitions sont ainsi vérifiées :
\[ \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty, \qquad \lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty. \]
Interprétation géométrique et asymptotes verticales
Les limites infinies en un point admettent une interprétation géométrique immédiate. Lorsque \(x\) se rapproche d'un nombre réel \(x_0\) et que \(f(x)\) tend vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\), les points de la courbe se rapprochent de la droite verticale
\[ x=x_0 \]
tandis que leurs ordonnées croissent ou décroissent sans limite.
En particulier, si
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty, \]
alors, pour toute hauteur \(M>0\) fixée, pour \(x\) suffisamment proche de \(x_0\), on a
\[ f(x)>M. \]
La courbe se trouve donc au-dessus de toute droite horizontale \(y=M\), pourvu que \(x\) soit suffisamment proche de \(x_0\).
De même, si
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty, \]
alors, pour tout \(M>0\), en s'approchant suffisamment de \(x_0\), on a
\[ f(x)<-M. \]
Dans ce cas, la courbe descend au-dessous de toute droite horizontale \(y=-M\).
Asymptotes verticales
Cette situation conduit naturellement à la notion d'asymptote verticale.
Soit \(f:D\to\mathbb{R}\) et soit \(x_0\in\mathbb{R}\) un point d'accumulation du domaine d'au moins l'un des deux côtés. La droite
\[ x=x_0 \]
est appelée asymptote verticale de la courbe de \(f\) si l'une au moins des limites latérales
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x), \qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x) \]
est égale à \(+\infty\) ou à \(-\infty\).
Il n'est donc pas nécessaire que la fonction présente le même comportement des deux côtés. Il suffit que, d'au moins l'un des deux côtés, les valeurs de la fonction croissent ou décroissent sans limite.
La limite peut ne pas exister
L'existence d'une asymptote verticale n'implique pas nécessairement l'existence de la limite lorsque \(x\to x_0\).
Par exemple, pour
\[ f(x)=\frac{1}{x} \]
on a
\[ \lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty, \qquad \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty. \]
Les deux limites latérales sont de signes opposés, donc
\[ \lim_{x\to0}\frac{1}{x} \]
n'existe pas. Cependant, la droite
\[ x=0 \]
est une asymptote verticale de la courbe.
Le comportement peut ne se manifester que d'un seul côté
Une asymptote verticale peut également résulter d'une seule limite latérale. Un exemple fondamental est la fonction logarithme
\[ f(x)=\ln(x), \qquad x>0. \]
Lorsque \(x\to0^+\),
\[ \lim_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty. \]
La fonction n'est pas définie pour \(x\leq0\), de sorte qu'il n'existe pas de points du domaine arbitrairement proches de \(0\) par la gauche. La limite infinie à droite suffit néanmoins à conclure que
\[ x=0 \]
est une asymptote verticale.
Le point \(x_0\) peut appartenir au domaine
La présence d'une asymptote verticale n'exige pas que la fonction soit nécessairement non définie en \(x_0\). La valeur que la fonction prend éventuellement en ce point ne modifie en effet pas le comportement de la limite.
Considérons, par exemple,
\[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{1}{x^2}, & x\neq0,\\ 0, & x=0. \end{cases} \]
La fonction est définie en \(x=0\), mais
\[ \lim_{x\to0}f(x)=+\infty. \]
Par conséquent, la droite \(x=0\) demeure une asymptote verticale, indépendamment de la valeur attribuée à \(f(0)\).
L'annulation du dénominateur ne suffit pas
Dans les fonctions rationnelles, l'annulation du dénominateur en un point n'implique pas automatiquement la présence d'une asymptote verticale.
Considérons
\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}. \]
Le dénominateur s'annule en \(x=1\), mais, pour \(x\neq1\), on peut simplifier :
\[ \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1. \]
Par conséquent,
\[ \lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2. \]
La limite est finie, donc \(x=1\) n'est pas une asymptote verticale. L'annulation du dénominateur doit toujours être accompagnée d'une étude effective de la limite.
Un exemple de comportement infini des deux côtés
Pour la fonction
\[ f(x)=\frac{1}{(x-2)^2}, \]
le dénominateur tend vers \(0\) en prenant des valeurs positives aussi bien lorsque \(x\to2^-\) que lorsque \(x\to2^+\). On a donc
\[ \lim_{x\to2^-}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty, \qquad \lim_{x\to2^+}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
Par conséquent,
\[ \lim_{x\to2}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty, \]
et la droite
\[ x=2 \]
est une asymptote verticale de la courbe.
D'un point de vue géométrique, une asymptote verticale identifie donc une droite dont la courbe se rapproche horizontalement, tandis que les ordonnées deviennent arbitrairement grandes en valeur absolue d'au moins l'un des deux côtés.
Limites finies lorsque \(x\to+\infty\) et \(x\to-\infty\)
Une limite finie à l'infini décrit le comportement d'une fonction lorsque la variable \(x\) tend vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\), tandis que \(f(x)\) se rapproche d'un nombre réel \(L\).
Il convient de distinguer les deux cas
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=L, \]
car le comportement de la fonction pour des valeurs positives très grandes peut différer de celui observé pour des valeurs négatives très grandes en valeur absolue.
Limite finie lorsque \(x\to+\infty\)
Pour pouvoir considérer la limite lorsque \(x\to+\infty\), le domaine \(D\) de la fonction doit être non majoré, c'est-à-dire qu'il doit contenir des éléments arbitrairement grands.
Soit \(f:D\to\mathbb{R}\), avec \(D\) non majoré, et soit \(L\in\mathbb{R}\). On dit que
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L \]
si, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe \(A\in\mathbb{R}\) tel que, pour tout \(x\in D\),
\[ x>A \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon. \]
Sous forme symbolique,
\[ \forall\varepsilon>0\ \exists A\in\mathbb{R}\ \forall x\in D: \quad x>A \Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon. \]
Le nombre \(\varepsilon\) fixe la précision avec laquelle \(f(x)\) doit approcher \(L\), tandis que \(A\) détermine à quel point \(x\) doit être grand pour que cette précision soit garantie.
La condition
\[ |f(x)-L|<\varepsilon \]
équivaut à
\[ L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon. \]
Par conséquent, pour \(x\) suffisamment grand, les valeurs de la fonction restent arbitrairement proches de \(L\).
Limite finie lorsque \(x\to-\infty\)
Pour considérer la limite lorsque \(x\to-\infty\), le domaine \(D\) doit en revanche être non minoré, c'est-à-dire qu'il doit contenir des éléments arbitrairement petits.
Soit \(f:D\to\mathbb{R}\), avec \(D\) non minoré, et soit \(L\in\mathbb{R}\). On dit que
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=L \]
si, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe \(A\in\mathbb{R}\) tel que, pour tout \(x\in D\),
\[ x<A \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon. \]
Sous forme symbolique,
\[ \forall\varepsilon>0\ \exists A\in\mathbb{R}\ \forall x\in D: \quad x<A \Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon. \]
Là encore, \(\varepsilon\) peut être choisi arbitrairement petit. Le seuil \(A\) doit être tel que tous les points du domaine situés suffisamment à gauche produisent des valeurs de \(f(x)\) à une distance de \(L\) inférieure à \(\varepsilon\).
Exemple : la limite de \(3+\displaystyle\frac{2}{x}\)
Considérons
\[ f(x)=3+\frac{2}{x}. \]
Puisque
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{2}{x}=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{2}{x}=0, \]
on a
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(3+\frac{2}{x}\right)=3 \]
et
\[ \lim_{x\to-\infty}\left(3+\frac{2}{x}\right)=3. \]
Nous pouvons vérifier directement la première limite. \(\varepsilon>0\) étant fixé, imposons
\[ \left|3+\frac{2}{x}-3\right|<\varepsilon. \]
Pour \(x>0\), cette condition équivaut à
\[ \frac{2}{x}<\varepsilon, \]
et donc à
\[ x>\frac{2}{\varepsilon}. \]
Il suffit donc de choisir
\[ A=\frac{2}{\varepsilon}. \]
Lorsque \(x\to-\infty\), en revanche, de la condition
\[ \left|\frac{2}{x}\right|<\varepsilon \]
il suffit d'exiger
\[ x<-\frac{2}{\varepsilon}. \]
Les deux définitions formelles conduisent donc à la même valeur \(L=3\).
Les deux limites peuvent être différentes
L'existence d'une limite lorsque \(x\to+\infty\) ne détermine pas le comportement de la fonction lorsque \(x\to-\infty\). Les deux limites doivent être étudiées séparément.
Considérons, par exemple,
\[ f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}. \]
Puisque
\[ \sqrt{x^2+1} = |x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}, \]
lorsque \(x\to+\infty\), on a, à partir d'un certain point, \(|x|=x\), et donc
\[ \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x^2}}} \to1. \]
Lorsque \(x\to-\infty\), en revanche, on a, à partir d'un certain point, \(|x|=-x\), de sorte que
\[ \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = -\frac{1}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x^2}}} \to-1. \]
Par conséquent,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=1, \qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=-1. \]
La limite ne décrit pas la courbe dans son ensemble
Une limite finie à l'infini ne concerne que le comportement final de la fonction. Modifier \(f\) sur un ensemble borné ne change pas sa limite lorsque \(x\to+\infty\) ni lorsque \(x\to-\infty\).
De plus, l'existence d'une limite finie n'implique pas que la fonction soit monotone. Par exemple,
\[ f(x)=\frac{\sin(x)}{x} \]
continue d'osciller, mais
\[ \left|\frac{\sin(x)}{x}\right| \leq \frac{1}{|x|}, \]
et puisque
\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{|x|}=0, \]
du théorème de comparaison, il résulte que
\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{\sin(x)}{x}=0. \]
Dire que \(x\to+\infty\) ou \(x\to-\infty\) ne signifie donc pas que \(x\) atteint une valeur appelée infini. Cela signifie que la variable dépasse tout seuil positif fixé à l'avance, ou descend au-dessous de tout seuil négatif fixé à l'avance, tandis que les valeurs de la fonction se rapprochent arbitrairement du nombre réel \(L\).
Interprétation géométrique et asymptotes horizontales
Si une fonction tend vers un nombre réel \(L\) lorsque \(x\to+\infty\) ou lorsque \(x\to-\infty\), les points de sa courbe se rapprochent de la droite horizontale
\[ y=L. \]
En effet, la condition
\[ |f(x)-L|<\varepsilon \]
signifie que la distance verticale entre le point \((x,f(x))\) de la courbe et la droite \(y=L\) est inférieure à \(\varepsilon\).
Puisque \(\varepsilon\) peut être choisi arbitrairement petit, cette distance tend vers zéro dans le sens considéré.
Définition d'une asymptote horizontale
Soit \(f:D\to\mathbb{R}\). Si
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L, \]
avec \(L\in\mathbb{R}\), la droite
\[ y=L \]
est appelée asymptote horizontale en \(+\infty\) de la courbe de \(f\).
Si, en revanche,
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=L, \]
alors la même droite
\[ y=L \]
est appelée asymptote horizontale en \(-\infty\).
Lorsqu'il n'est pas nécessaire de préciser le sens, on parle simplement d'asymptote horizontale.
Interprétation au moyen de bandes horizontales
Supposons que
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L. \]
Pour tout \(\varepsilon>0\), il existe un seuil \(A\) tel que
\[ L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon \]
pour tout \(x\in D\) avec \(x>A\).
Géométriquement, la courbe reste donc, à partir d'un certain point, à l'intérieur de la bande comprise entre les droites
\[ y=L-\varepsilon \qquad\text{et}\qquad y=L+\varepsilon. \]
Lorsque \(x\to-\infty\), la même interprétation s'applique, à la différence que la condition est exigée pour tous les \(x\in D\) suffisamment négatifs.
Approche par valeurs supérieures, par valeurs inférieures ou avec oscillations
La courbe ne doit pas nécessairement s'approcher de l'asymptote toujours du même côté.
Par exemple,
\[ f(x)=2+\frac{1}{x} \]
vérifie, pour \(x>0\),
\[ f(x)>2 \]
et
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(2+\frac{1}{x}\right)=2. \]
La courbe se rapproche donc de la droite \(y=2\) en restant au-dessus de celle-ci.
De même,
\[ f(x)=2-\frac{1}{x} \]
vérifie \(f(x)<2\) pour \(x>0\) et tend également vers \(2\). Dans ce cas, la courbe se rapproche de l'asymptote en restant au-dessous de celle-ci.
Une approche oscillante est également possible. Par exemple,
\[ f(x)=L+\frac{\sin(x)}{x} \]
prend alternativement des valeurs supérieures et inférieures à \(L\), mais
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(L+\frac{\sin(x)}{x}\right)=L. \]
L'existence d'une asymptote horizontale n'implique donc pas que la courbe reste, à partir d'un certain point, toujours du même côté de la droite.
Une même droite peut être asymptote dans les deux sens
Si
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=L, \]
la droite \(y=L\) est asymptote horizontale à la fois en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
Par exemple,
\[ f(x)=\frac{1}{x^2} \]
vérifie
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^2}=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x^2}=0. \]
La droite \(y=0\) est donc asymptote horizontale dans les deux sens.
Une fonction peut avoir deux asymptotes horizontales distinctes
Les limites lorsque \(x\to+\infty\) et lorsque \(x\to-\infty\) peuvent être différentes. Si
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L_1 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=L_2, \]
avec \(L_1\neq L_2\), alors \(y=L_1\) est l'asymptote horizontale en \(+\infty\) et \(y=L_2\) est l'asymptote horizontale en \(-\infty\).
Un exemple est
\[ f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}, \]
pour laquelle
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=1, \qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=-1. \]
Les droites \(y=1\) et \(y=-1\) sont donc, respectivement, les asymptotes horizontales en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
La courbe peut couper l'asymptote
Une asymptote horizontale n'est pas une droite que la courbe ne peut pas traverser. La définition exige seulement que la distance verticale à la droite tende vers zéro à l'infini.
Par exemple,
\[ f(x)=\frac{\sin(x)}{x} \]
a \(y=0\) pour asymptote horizontale, mais la courbe coupe cette droite en
\[ x=k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}. \]
Dans ce cas, les points d'intersection sont même en nombre infini.
Unicité de l'asymptote dans chaque sens
Une fonction peut avoir au plus une asymptote horizontale lorsque \(x\to+\infty\) et au plus une lorsque \(x\to-\infty\).
Cela résulte de l'unicité de la limite : si
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L_1 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=L_2, \]
alors nécessairement \(L_1=L_2\). Il en va de même lorsque \(x\to-\infty\).
Comment déterminer les asymptotes horizontales
Pour déterminer les éventuelles asymptotes horizontales d'une fonction, on calcule séparément
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x) \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x), \]
lorsque le domaine permet de considérer les deux limites.
Si l'une des deux limites est égale à un nombre réel \(L\), la droite \(y=L\) est une asymptote horizontale dans le sens correspondant. Si, en revanche, la limite est égale à \(+\infty\), à \(-\infty\), ou n'existe pas, il n'y a aucune asymptote horizontale dans ce sens.
Limites infinies lorsque \(x\to+\infty\) et \(x\to-\infty\)
Une limite infinie à l'infini se présente lorsque la variable \(x\) tend vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\) et que, simultanément, les valeurs de la fonction croissent ou décroissent sans limite.
Quatre cas peuvent se présenter :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty, \]
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty. \]
Dans chaque cas, il est nécessaire de distinguer le comportement de la variable de celui de la fonction : le signe de l'infini vers lequel tend \(x\) ne détermine pas le signe de l'infini vers lequel tend \(f(x)\).
Limites infinies lorsque \(x\to+\infty\)
Soit \(f:D\to\mathbb{R}\), avec \(D\) non majoré. On dit que
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty \]
si, pour tout \(M>0\), il existe \(A\in\mathbb{R}\) tel que, pour tout \(x\in D\),
\[ x>A \quad\Longrightarrow\quad f(x)>M. \]
Sous forme symbolique,
\[ \forall M>0\ \exists A\in\mathbb{R}\ \forall x\in D: \quad x>A \Longrightarrow f(x)>M. \]
La définition exige donc que la fonction dépasse, à partir d'un certain point, tout seuil positif fixé à l'avance.
De même,
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty \]
si, pour tout \(M>0\), il existe \(A\in\mathbb{R}\) tel que
\[ x>A \quad\Longrightarrow\quad f(x)<-M \]
pour tout \(x\in D\).
Dans ce cas, pour des valeurs suffisamment grandes de \(x\), la fonction descend au-dessous de tout seuil négatif fixé à l'avance.
Limites infinies lorsque \(x\to-\infty\)
Supposons à présent que le domaine \(D\) soit non minoré. On dit que
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty \]
si, pour tout \(M>0\), il existe \(A\in\mathbb{R}\) tel que, pour tout \(x\in D\),
\[ x<A \quad\Longrightarrow\quad f(x)>M. \]
Sous forme symbolique,
\[ \forall M>0\ \exists A\in\mathbb{R}\ \forall x\in D: \quad x<A \Longrightarrow f(x)>M. \]
De même,
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty \]
si, pour tout \(M>0\), il existe \(A\in\mathbb{R}\) tel que
\[ x<A \quad\Longrightarrow\quad f(x)<-M. \]
Dans ce cas, la fonction prend des valeurs arbitrairement petites pour tous les \(x\) du domaine suffisamment négatifs.
Exemples fondamentaux avec les puissances
La fonction
\[ f(x)=x^2 \]
tend vers \(+\infty\) dans les deux sens :
\[ \lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}x^2=+\infty. \]
En effet, \(x^2\) devient arbitrairement grand lorsque la valeur absolue de \(x\) croît, indépendamment du signe de \(x\).
La fonction cubique
\[ f(x)=x^3 \]
présente, elle, des comportements différents :
\[ \lim_{x\to+\infty}x^3=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty. \]
Le signe du terme reste en effet celui de \(x\).
Le rôle de la parité de l'exposant
Plus généralement, le comportement de la puissance \(x^n\), avec \(n\) entier positif, dépend de la parité de l'exposant.
Lorsque \(x\to+\infty\), on a toujours
\[ \lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty. \]
Lorsque \(x\to-\infty\), en revanche, si \(n\) est pair,
\[ \lim_{x\to-\infty}x^n=+\infty, \]
tandis que, si \(n\) est impair,
\[ \lim_{x\to-\infty}x^n=-\infty. \]
Le coefficient multipliant la puissance peut naturellement modifier le signe de la limite. Par exemple,
\[ \lim_{x\to+\infty}(-x^2)=-\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}(-x^3)=+\infty. \]
Vérification formelle de \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty\)
\(M>0\) étant fixé, nous devons trouver un seuil \(A\) tel que
\[ x>A \quad\Longrightarrow\quad x^2>M. \]
Pour \(x>0\), la condition
\[ x^2>M \]
est vérifiée lorsque
\[ x>\sqrt{M}. \]
Nous pouvons donc choisir
\[ A=\sqrt{M}. \]
Ce choix étant possible pour tout \(M>0\), il résulte de la définition que
\[ \lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty. \]
Vérification formelle de \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty\)
\(M>0\) étant fixé, nous voulons trouver \(A\in\mathbb{R}\) tel que
\[ x<A \quad\Longrightarrow\quad x^3<-M. \]
Puisque la fonction cubique est strictement croissante,
\[ x^3<-M \]
équivaut à
\[ x<-\sqrt[3]{M}. \]
Il suffit donc de choisir
\[ A=-\sqrt[3]{M}. \]
Il s'ensuit que
\[ \lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty. \]
Interprétation géométrique
Si
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, \]
alors, pour toute droite horizontale \(y=M\) fixée, avec \(M>0\), la courbe se trouve, à partir d'un certain point, au-dessus de cette droite lorsqu'on avance vers la droite.
Si, en revanche,
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty, \]
la courbe se trouve, à partir d'un certain point, au-dessous de toute droite \(y=-M\).
Les mêmes interprétations valent lorsque \(x\to-\infty\), en avançant cette fois vers la gauche le long de l'axe des abscisses.
Contrairement aux limites finies à l'infini, il n'existe pas, dans ces cas, d'asymptote horizontale : les ordonnées ne se rapprochent pas d'un nombre réel, mais croissent ou décroissent sans limite.
Propriétés fondamentales des limites infinies et des limites à l'infini
Les propriétés des limites permettent souvent de déterminer le comportement de sommes, de produits et de quotients sans recourir directement aux définitions formelles.
Dans les écritures qui suivent, les limites de \(f\) et de \(g\) s'entendent toujours par rapport au même processus de passage à la limite, qui peut être une limite en un point, une limite latérale ou une limite à l'infini.
Lorsque \(+\infty\) et \(-\infty\) apparaissent, il est cependant essentiel de rappeler que ces symboles ne représentent pas des nombres réels. Des écritures telles que
\[ +\infty+L=+\infty \]
doivent être interprétées comme des abréviations de propriétés relatives aux limites, et non comme des opérations arithmétiques ordinaires.
Permanence du signe
Si une fonction tend vers \(+\infty\), alors elle est, à partir d'un certain point, positive. En effet, en partant de la définition, on peut choisir, par exemple, \(M=1\) ; il s'ensuit que
\[ f(x)>1>0 \]
pour toutes les valeurs de \(x\) suffisamment proches du point considéré ou, dans le cas des limites à l'infini, suffisamment grandes si \(x\to+\infty\), ou suffisamment négatives si \(x\to-\infty\).
De même, si
\[ f(x)\to-\infty, \]
alors \(f(x)\) est, à partir d'un certain point, négative.
Cette propriété est particulièrement importante dans les produits et les quotients, car elle permet d'établir correctement le signe du résultat.
Somme avec une limite finie
Supposons que, dans le même processus de limite,
\[ f(x)\to+\infty \qquad\text{et}\qquad g(x)\to L, \]
avec \(L\in\mathbb{R}\). Alors
\[ f(x)+g(x)\to+\infty. \]
De même,
\[ f(x)\to-\infty, \qquad g(x)\to L \]
implique
\[ f(x)+g(x)\to-\infty. \]
Sous forme symbolique,
\[ +\infty+L=+\infty, \qquad -\infty+L=-\infty. \]
Un terme qui tend vers une valeur finie ne modifie donc pas le comportement infini de la somme.
Somme de limites infinies
Si deux fonctions tendent toutes deux vers \(+\infty\), leur somme tend vers \(+\infty\) :
\[ (+\infty)+(+\infty)=+\infty. \]
De même,
\[ (-\infty)+(-\infty)=-\infty. \]
Le cas où les deux termes sont de signes opposés est, en revanche, différent. La forme
\[ \infty-\infty \]
est indéterminée : la seule connaissance des limites des deux termes ne permet pas de déterminer la limite de la différence.
Par exemple, lorsque \(x\to+\infty\),
\[ x^2-x\to+\infty, \qquad x-x^2\to-\infty, \]
tandis que
\[ (x+1)-x\to1. \]
Dans tous ces cas, les deux quantités soustraites tendent vers \(+\infty\), mais les résultats sont différents.
Produits
Si une fonction tend vers l'infini et l'autre vers un nombre réel non nul, la valeur absolue du produit tend vers l'infini et le signe se détermine par la règle habituelle des signes.
Par exemple, si
\[ f(x)\to+\infty \qquad\text{et}\qquad g(x)\to L>0, \]
alors
\[ f(x)g(x)\to+\infty. \]
Si, en revanche, \(L<0\),
\[ f(x)g(x)\to-\infty. \]
Lorsque les deux facteurs tendent vers l'infini, on a de même
\[ (+\infty)(+\infty)=+\infty, \qquad (+\infty)(-\infty)=-\infty, \]
\[ (-\infty)(+\infty)=-\infty, \qquad (-\infty)(-\infty)=+\infty. \]
La situation change si l'un des facteurs tend vers \(0\). La forme
\[ 0\cdot\infty \]
est indéterminée et exige une étude plus approfondie de l'expression.
Quotient à dénominateur infini
Si
\[ f(x)\to L\in\mathbb{R} \]
et
\[ g(x)\to+\infty \qquad\text{ou}\qquad g(x)\to-\infty, \]
alors
\[ \frac{f(x)}{g(x)}\to0, \]
pourvu que le quotient soit défini à partir d'un certain point.
En particulier, pour une constante réelle \(L\),
\[ \frac{L}{\pm\infty}=0 \]
est une écriture symbolique qui résume cette propriété.
Si, en revanche, le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers l'infini, apparaît la forme indéterminée
\[ \frac{\infty}{\infty}. \]
Le résultat dépend du comportement relatif du numérateur et du dénominateur, et ne peut être établi à partir de la seule forme symbolique.
Inverse
Si
\[ f(x)\to+\infty \qquad\text{ou}\qquad f(x)\to-\infty, \]
alors
\[ \frac{1}{f(x)}\to0. \]
Réciproquement, si une fonction tend vers zéro en conservant, à partir d'un certain point, un signe précis, son inverse tend vers l'infini avec le signe correspondant :
\[ f(x)\to0^+ \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{f(x)}\to+\infty, \]
tandis que
\[ f(x)\to0^- \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{f(x)}\to-\infty. \]
Le contrôle du signe du dénominateur est donc indispensable lorsqu'une quantité tend vers zéro.
Les principales formes indéterminées
Les formes indéterminées qui reviennent le plus fréquemment dans l'étude des limites sont
\[ \frac{0}{0}, \qquad \frac{\infty}{\infty}, \qquad \infty-\infty, \qquad 0\cdot\infty. \]
Une forme indéterminée ne représente pas la valeur de la limite. Elle indique seulement que les règles élémentaires ne permettent pas de conclure immédiatement et que l'expression doit être transformée ou étudiée plus attentivement.
Par exemple,
\[ \frac{x}{x}\to1, \qquad \frac{x}{x^2}\to0, \qquad \frac{x^2}{x}\to+\infty \]
lorsque \(x\to+\infty\), bien que les trois expressions présentent initialement la forme
\[ \frac{\infty}{\infty}. \]
Pour résoudre ces cas, il est nécessaire d'analyser le comportement relatif des termes en jeu. Dans la section suivante, nous verrons comment la comparaison entre fonctions et l'identification du terme dominant permettent d'aborder bon nombre de ces limites.
Comparaison entre fonctions et comportement dominant
Dans les limites à l'infini, il est souvent utile de déterminer quel terme régit le comportement global d'une expression. Ce principe est particulièrement important lorsque apparaissent des formes indéterminées telles que
\[ \frac{\infty}{\infty} \qquad\text{ou}\qquad \infty-\infty. \]
L'idée fondamentale consiste à comparer les termes présents et à identifier le terme dominant, c'est-à-dire celui qui a un poids décisif dans la limite considérée.
Terme dominant d'un polynôme
Considérons un polynôme de degré \(n\) :
\[ P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, \qquad a_n\neq0. \]
Lorsque \(x\to\pm\infty\), le comportement du polynôme est déterminé par le terme de plus haut degré \(a_nx^n\). En effet, en mettant \(x^n\) en facteur,
\[ P(x) = x^n \left( a_n+\frac{a_{n-1}}{x} +\frac{a_{n-2}}{x^2} +\cdots+ \frac{a_0}{x^n} \right). \]
Tous les termes contenant des puissances de \(x\) au dénominateur tendent vers \(0\). Par conséquent, le signe et le comportement infini de \(P(x)\) dépendent du coefficient dominant \(a_n\), de la parité de \(n\) et du sens de la limite.
Par exemple,
\[ P(x)=-2x^5+3x^2-1 \]
a pour terme dominant \(-2x^5\). Par conséquent,
\[ \lim_{x\to+\infty}P(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}P(x)=+\infty. \]
Fonctions rationnelles
Considérons une fonction rationnelle
\[ f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}, \]
où \(P\) et \(Q\) sont des polynômes, avec \(Q\) non identiquement nul. Pour étudier son comportement à l'infini, il suffit de comparer les termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
Si le degré de \(P\) est inférieur au degré de \(Q\), alors
\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}=0. \]
Si les deux polynômes ont le même degré, la limite est égale au rapport de leurs coefficients dominants respectifs.
Par exemple,
\[ \lim_{x\to\pm\infty} \frac{3x^2-x+1}{2x^2+5} = \frac{3}{2}. \]
Si, en revanche, le degré du numérateur est supérieur à celui du dénominateur, la valeur absolue du rapport croît sans limite ; le signe doit être déterminé en étudiant les termes dominants.
Par exemple,
\[ \frac{2x^3+1}{x^2-4} \]
se comporte, pour de grandes valeurs de \(|x|\), comme \(2x\). Par conséquent,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3+1}{x^2-4}=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{2x^3+1}{x^2-4}=-\infty. \]
Le théorème de comparaison
Le comportement d'une fonction peut également être déduit en la comparant à une fonction plus simple.
Si, à partir d'un certain point,
\[ f(x)\geq g(x) \]
et
\[ g(x)\to+\infty, \]
alors
\[ f(x)\to+\infty. \]
De même, si, à partir d'un certain point,
\[ f(x)\leq g(x) \]
et
\[ g(x)\to-\infty, \]
alors
\[ f(x)\to-\infty. \]
La comparaison et l'identification du terme dominant permettent ainsi de résoudre de nombreuses limites à l'infini sans appliquer mécaniquement des règles symboliques aux formes indéterminées.
Exemples de limites infinies et de limites à l'infini
Nous concluons par quelques exemples représentatifs qui rassemblent les principales situations étudiées. L'objectif est de reconnaître le type de limite, d'identifier le comportement déterminant de l'expression et d'interpréter géométriquement le résultat lorsque cela est possible.
Exemple 1 : limite infinie en un point
Considérons
\[ \lim_{x\to2}\frac{1}{(x-2)^2}. \]
Lorsque \(x\to2\), on a
\[ (x-2)^2\to0^+. \]
Le dénominateur tend donc vers zéro tout en restant positif. Son inverse prend des valeurs positives arbitrairement grandes, et par conséquent
\[ \lim_{x\to2}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
Le même comportement se produit des deux côtés :
\[ \lim_{x\to2^-}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty, \qquad \lim_{x\to2^+}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
La droite
\[ x=2 \]
est donc une asymptote verticale.
Exemple 2 : limites latérales infinies de signes opposés
Considérons
\[ \lim_{x\to1}\frac{1}{x-1}. \]
Lorsque \(x\to1^+\), le dénominateur tend vers zéro par valeurs positives :
\[ x-1\to0^+. \]
Par conséquent,
\[ \lim_{x\to1^+}\frac{1}{x-1}=+\infty. \]
Lorsque \(x\to1^-\), en revanche,
\[ x-1\to0^-, \]
et donc
\[ \lim_{x\to1^-}\frac{1}{x-1}=-\infty. \]
Puisque les deux limites latérales ne coïncident pas,
\[ \lim_{x\to1}\frac{1}{x-1} \]
n'existe pas. La droite \(x=1\) est néanmoins une asymptote verticale, car les deux limites latérales sont infinies.
Exemple 3 : limite finie à l'infini et asymptote horizontale
Calculons
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x+1}{x+2}. \]
Le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers \(+\infty\), de sorte que l'expression présente initialement la forme indéterminée
\[ \frac{\infty}{\infty}. \]
Divisons le numérateur et le dénominateur par \(x\) :
\[ \frac{3x+1}{x+2} = \frac{3+\displaystyle\frac{1}{x}} {1+\displaystyle\frac{2}{x}}. \]
Puisque
\[ \frac{1}{x}\to0 \qquad\text{lorsque}\qquad x\to+\infty, \]
on obtient
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x+1}{x+2}=3. \]
La limite est finie, donc la droite
\[ y=3 \]
est une asymptote horizontale en \(+\infty\).
Exemple 4 : limite infinie d'un polynôme
Considérons
\[ \lim_{x\to-\infty}\left(2x^4-3x^2+x-1\right). \]
Le terme dominant du polynôme est
\[ 2x^4. \]
Puisque l'exposant \(4\) est pair,
\[ x^4\to+\infty \qquad\text{lorsque}\qquad x\to-\infty. \]
De plus, le coefficient dominant est positif. Les termes de degré inférieur ne modifient pas le comportement dominant, et donc
\[ \lim_{x\to-\infty}\left(2x^4-3x^2+x-1\right)=+\infty. \]
Cet exemple montre comment, pour les polynômes, il suffit généralement d'identifier le terme de plus haut degré pour déterminer le comportement à l'infini.
Exemple 5 : forme indéterminée \(\infty-\infty\)
Calculons
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right). \]
On a
\[ \sqrt{x^2+x}\to+\infty \qquad\text{et}\qquad x\to+\infty, \]
de sorte qu'apparaît la forme indéterminée
\[ \infty-\infty. \]
Pour la lever, multiplions par la quantité conjuguée :
\[ \sqrt{x^2+x}-x = \frac{\left(\sqrt{x^2+x}-x\right) \left(\sqrt{x^2+x}+x\right)} {\sqrt{x^2+x}+x}. \]
Au numérateur, on obtient
\[ x^2+x-x^2=x, \]
et donc
\[ \sqrt{x^2+x}-x = \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}. \]
Puisque, lorsque \(x\to+\infty\), on a, à partir d'un certain point, \(x>0\), on peut diviser le numérateur et le dénominateur par \(x\) :
\[ \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{1} {\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x}}+1}. \]
En passant à la limite,
\[ \lim_{x\to+\infty} \left(\sqrt{x^2+x}-x\right) = \frac{1}{2}. \]
La forme \(\infty-\infty\) ne représentait donc pas le résultat de la limite : après une transformation algébrique appropriée, on obtient une valeur finie.
Exemple 6 : limite infinie avec un terme oscillant
Considérons
\[ f(x)=x+2\sin(x). \]
Le terme \(2\sin(x)\) oscille continuellement, mais reste borné. En effet,
\[ -1\leq\sin(x)\leq1, \]
et donc
\[ -2\leq2\sin(x)\leq2. \]
En ajoutant \(x\),
\[ x-2\leq x+2\sin(x)\leq x+2. \]
En particulier,
\[ x+2\sin(x)\geq x-2. \]
Puisque
\[ \lim_{x\to+\infty}(x-2)=+\infty, \]
du théorème de comparaison, il résulte que
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(x+2\sin(x)\right)=+\infty. \]
Cet exemple est important, car il montre qu'une fonction n'a pas besoin d'être monotone pour tendre vers \(+\infty\). Les oscillations sont compatibles avec une limite infinie, pourvu que la fonction dépasse, à partir d'un certain point, tout seuil positif fixé à l'avance.
Schéma récapitulatif
Dans l'étude d'une limite infinie ou d'une limite à l'infini, il est utile de procéder de manière ordonnée :
- déterminer vers quel point, ou vers quel infini, tend la variable ;
- si \(x\) tend vers un point réel, vérifier s'il est nécessaire de distinguer le comportement à droite et à gauche ;
- vérifier attentivement le signe des quantités qui tendent vers zéro ;
- reconnaître les éventuelles formes indéterminées ;
- identifier, lorsque cela est possible, le terme dominant, ou appliquer une comparaison appropriée ;
- interpréter géométriquement le résultat, en vérifiant l'éventuelle présence d'asymptotes verticales ou horizontales.
Les définitions formelles demeurent le fondement de la théorie. Les propriétés des limites, les transformations algébriques et les comparaisons permettent de reconnaître plus rapidement lequel des comportements décrits par les définitions se vérifie dans le cas considéré.