Une suite numérique réelle est une liste ordonnée de nombres réels, habituellement notés
\[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \ldots,\ a_n,\ \ldots \]
où \(a_n\) représente le terme général de la suite, c'est-à-dire le terme qui occupe la position \(n\). Étudier une suite, c'est comprendre comment se comportent ses termes lorsque l'indice \(n\) croît.
La notion centrale est celle de limite d'une suite. Lorsque \(n\to+\infty\), les termes \(a_n\) peuvent se rapprocher d'un nombre réel, croître indéfiniment, décroître indéfiniment, ou bien ne présenter aucun comportement limite. C'est pourquoi l'on distingue les suites convergentes, divergentes et oscillantes.
Nous introduisons les définitions fondamentales relatives aux limites de suites, en explicitant de manière rigoureuse ce que signifient la convergence, la divergence et l'oscillation.
Sommaire
- Ce qu'est une suite numérique
- Limite d'une suite
- Suites convergentes
- Suites divergentes
- Suites oscillantes
- Exemples de suites convergentes, divergentes et oscillantes
Ce qu'est une suite numérique
Une suite numérique est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels non nuls et à valeurs dans un ensemble de nombres. Dans le cas des suites réelles, il s'agit d'une fonction
\[ a:\mathbb{N}_{\ge 1}\to\mathbb{R}. \]
À chaque entier naturel non nul \(n\) on associe un unique nombre réel \(a(n)\). Plutôt que d'écrire \(a(n)\), on utilise presque toujours, pour les suites, la notation
\[ a_n. \]
Le nombre \(a_n\) est appelé terme de rang \(n\) ou terme général de la suite. La suite se note alors par l'une des notations suivantes :
\[ (a_n)_{n\in\mathbb{N}_{\ge 1}},\qquad (a_n),\qquad a_n. \]
Par exemple, la formule
\[ a_n=\frac{1}{n} \]
définit la suite
\[ 1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{4},\ \ldots \]
Dans ce cas, le premier terme est \(a_1=1\), le deuxième terme est \(a_2=\displaystyle \frac{1}{2}\), le troisième terme est \(a_3=\displaystyle \frac{1}{3}\), et ainsi de suite.
Le point essentiel est qu'une suite n'est pas seulement un ensemble de nombres, mais un ensemble de valeurs rangées dans un ordre précis. Par exemple, les suites
\[ 1,\ 2,\ 1,\ 2,\ 1,\ 2,\ \ldots \]
et
\[ 2,\ 1,\ 2,\ 1,\ 2,\ 1,\ \ldots \]
prennent les mêmes valeurs, mais dans un ordre différent. Elles doivent pour cette raison être considérées comme des suites distinctes.
Limite d'une suite
La limite d'une suite décrit le comportement des termes \(a_n\) lorsque l'indice \(n\) devient arbitrairement grand, c'est-à-dire lorsque
\[ n\to+\infty. \]
Ce point est important : dans une suite, l'indice \(n\) parcourt les entiers naturels, de sorte que l'on n'étudie pas le comportement lorsque \(n\to-\infty\), mais uniquement lorsque \(n\to+\infty\).
Une suite peut avoir des comportements variés. Elle peut se rapprocher d'un nombre réel, croître indéfiniment, décroître indéfiniment, ou bien ne présenter aucun comportement limite. C'est pourquoi l'on distingue trois cas fondamentaux :
- les suites convergentes, lorsque les termes se rapprochent d'un nombre réel ;
- les suites divergentes, lorsque les termes tendent vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\) ;
- les suites oscillantes, lorsqu'il n'existe ni limite finie ni limite infinie.
Écrire
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L \]
signifie que, lorsque \(n\) croît, les termes \(a_n\) se rapprochent indéfiniment du nombre réel \(L\). Le nombre \(L\), s'il existe, est appelé limite de la suite.
Par exemple, en considérant la suite
\[ a_n=\frac{1}{n}, \]
les termes sont
\[ 1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{4},\ \ldots \]
et se rapprochent de plus en plus de \(0\). On écrit dans ce cas
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
La limite ne doit cependant pas être comprise comme une valeur nécessairement atteinte par la suite. Dans l'exemple précédent, aucun terme de la suite n'est égal à \(0\), car
\[ \frac{1}{n}\neq 0 \]
pour tout \(n\in\mathbb{N}\). Les termes se rapprochent néanmoins de \(0\) aussi près que l'on veut, pourvu que \(n\) soit suffisamment grand.
Suites convergentes
Une suite réelle \((a_n)\) est dite convergente s'il existe un nombre réel \(L\) tel que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L. \]
On dit dans ce cas que la suite converge vers \(L\), ou encore que \(L\) est la limite finie de la suite.
La définition rigoureuse est la suivante :
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L \iff \forall \varepsilon>0\ \exists n_\varepsilon\in\mathbb{N}\ :\ \forall n\geq n_\varepsilon \,\, , \,\ |a_n-L|<\varepsilon. \]
Cette définition doit être lue avec attention. Le nombre \(\varepsilon>0\) représente une distance arbitrairement petite par rapport à la limite \(L\). Dire que
\[ |a_n-L|<\varepsilon \]
signifie en effet que le terme \(a_n\) se trouve à une distance de \(L\) inférieure à \(\varepsilon\).
La définition affirme donc que, quelle que soit la distance positive \(\varepsilon\) choisie, aussi petite soit-elle, il existe un rang \(n_\varepsilon\) tel que tous les termes de la suite de rang \(n\geq n_\varepsilon\) se trouvent à une distance de \(L\) inférieure à \(\varepsilon\).
Géométriquement, une fois fixé un intervalle ouvert centré en \(L\),
\[ (L-\varepsilon,L+\varepsilon), \]
il existe un rang \(n_\varepsilon\) tel que tous les termes suivants de la suite appartiennent à cet intervalle.
En symboles :
\[ n\geq n_\varepsilon \quad\Longrightarrow\quad a_n\in(L-\varepsilon,L+\varepsilon). \]
Il importe de remarquer que la définition n'exige pas que tous les termes de la suite soient proches de \(L\). Les premiers termes peuvent même être très éloignés de la limite. Ce qui compte, c'est qu'à partir d'un certain rang, tous les termes restent arbitrairement proches de \(L\).
Par exemple, la suite
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
converge vers \(1\), car ses termes
\[ \frac{1}{2},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{4},\ \frac{4}{5},\ \ldots \]
se rapprochent de plus en plus de \(1\).
En effet :
\[ \frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}. \]
La quantité soustraite à \(1\), à savoir \(\displaystyle \frac{1}{n+1}\), devient de plus en plus petite lorsque \(n\) croît. C'est pourquoi
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1. \]
Les suites convergentes possèdent toujours une limite réelle finie. C'est pourquoi l'on dit aussi qu'une suite convergente est une suite qui admet une limite finie.
Suites divergentes
Une suite réelle \((a_n)\) est dite divergente si ses termes ne se rapprochent d'aucun nombre réel fini, mais deviennent arbitrairement grands ou arbitrairement petits.
Plus précisément, une suite peut diverger de deux manières :
- elle peut diverger vers \(+\infty\), si ses termes deviennent plus grands que tout seuil positif fixé à l'avance ;
- elle peut diverger vers \(-\infty\), si ses termes deviennent plus petits que tout seuil négatif fixé à l'avance.
Dans les deux cas, le symbole \(+\infty\) ou \(-\infty\) ne représente pas un nombre réel. Dire qu'une suite tend vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\), c'est décrire un comportement de ses termes, et non désigner une valeur atteinte par la suite.
Suites divergentes vers \(+\infty\)
Une suite réelle \((a_n)\) est dite divergente vers \(+\infty\) si, pour tout nombre positif \(M\) fixé, il existe un rang \(n_M\) tel que tous les termes suivants de la suite sont supérieurs à \(M\).
Formellement :
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=+\infty \iff \forall M>0\ \exists n_M\in\mathbb{N}\ :\ \forall n\geq n_M \,\, , \,\ a_n>M. \]
La définition exprime que, quel que soit le seuil positif \(M\), aussi grand soit-il, à partir d'un certain rang tous les termes de la suite dépassent ce seuil.
Par exemple, la suite
\[ a_n=n^2 \]
diverge vers \(+\infty\), car ses termes
\[ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ \ldots \]
deviennent arbitrairement grands.
En effet, \(M>0\) étant fixé, on veut que
\[ n^2>M. \]
Comme \(n\) est positif, cette inégalité est satisfaite lorsque
\[ n>\sqrt{M}. \]
En choisissant \(n_M\in\mathbb{N}\) tel que
\[ n_M>\sqrt{M}, \]
pour tout \(n\geq n_M\), on a
\[ n^2>M. \]
Donc
\[ \lim_{n\to+\infty}n^2=+\infty. \]
Suites divergentes vers \(-\infty\)
Une suite réelle \((a_n)\) est dite divergente vers \(-\infty\) si, pour tout nombre positif \(M\) fixé, il existe un rang \(n_M\) tel que tous les termes suivants de la suite sont inférieurs à \(-M\).
Formellement :
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=-\infty \iff \forall M>0\ \exists n_M\in\mathbb{N}\ :\ \forall n\geq n_M \,\, , \,\ a_n<-M. \]
La définition exprime que les termes de la suite descendent en dessous de tout seuil négatif. Là encore, \(-\infty\) n'est pas une valeur atteinte par la suite, mais traduit le fait que les termes deviennent arbitrairement petits.
Par exemple, la suite
\[ a_n=-n \]
diverge vers \(-\infty\), car ses termes
\[ -1,\ -2,\ -3,\ -4,\ \ldots \]
deviennent de plus en plus petits.
En effet, \(M>0\) étant fixé, on veut que
\[ -n<-M. \]
En multipliant les deux membres par \(-1\), l'inégalité change de sens :
\[ n>M. \]
En choisissant \(n_M\in\mathbb{N}\) tel que
\[ n_M>M, \]
pour tout \(n\geq n_M\), on a
\[ n>M \]
et donc
\[ -n<-M. \]
Par conséquent
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n)=-\infty. \]
Les suites divergentes ne sont pas convergentes, car elles n'admettent pas de limite réelle finie. Elles possèdent néanmoins un comportement limite bien déterminé : elles tendent vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\).
Suites oscillantes
Une suite réelle \((a_n)\) est dite oscillante si elle n'admet pas de limite, ni finie ni infinie.
Autrement dit, une suite est oscillante si elle n'est pas convergente et ne diverge ni vers \(+\infty\) ni vers \(-\infty\). Ainsi, une suite oscillante ne se rapproche d'aucun nombre réel, ne croît pas indéfiniment et ne décroît pas indéfiniment.
Le cas le plus simple est celui d'une suite qui oscille indéfiniment entre des valeurs différentes. Par exemple, la suite
\[ a_n=(-1)^n \]
prend alternativement les valeurs
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ \ldots \]
et ne se rapproche donc d'aucune valeur limite unique.
En effet, en ne considérant que les indices pairs, on obtient
\[ a_{2k}=(-1)^{2k}=1. \]
On a donc
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k}=1. \]
En considérant au contraire les indices impairs, on obtient
\[ a_{2k-1}=(-1)^{2k-1}=-1. \]
On a donc
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k-1}=-1. \]
La même suite possède ainsi deux suites extraites qui convergent vers des limites différentes. C'est pourquoi la suite \(((-1)^n)\) ne peut pas être convergente.
De plus, elle est bornée, car pour tout \(n\in\mathbb{N}\) on a
\[ -1\leq (-1)^n\leq 1. \]
Étant bornée, elle ne peut diverger ni vers \(+\infty\) ni vers \(-\infty\). C'est par conséquent une suite oscillante.
Cet exemple montre qu'une suite bornée n'est pas nécessairement convergente. Le fait d'être bornée interdit la divergence vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\), mais ne garantit pas l'existence d'une limite finie.
Plus généralement, une suite peut être oscillante parce qu'elle oscille entre des valeurs différentes, parce qu'elle présente des comportements différents le long de suites extraites distinctes, ou encore parce qu'elle ne tend de façon stable vers aucune valeur, finie ou infinie.
Exemples de suites convergentes, divergentes et oscillantes
Examinons à présent quelques exemples fondamentaux, utiles pour reconnaître les principaux comportements limites d'une suite.
Exemple 1. (Suite convergente vers \(0\)). Considérons la suite
\[ a_n=\frac{1}{n}. \]
Ses termes sont
\[ 1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{4},\ \ldots \]
Lorsque \(n\) croît, le dénominateur devient de plus en plus grand, tandis que le numérateur reste égal à \(1\). Les termes de la suite deviennent par conséquent de plus en plus petits et se rapprochent de \(0\).
Donc
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
La suite est donc convergente.
Exemple 2. (Suite convergente vers \(1\)). Considérons la suite
\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]
On peut réécrire le terme général de la manière suivante :
\[ \frac{n}{n+1} = \frac{n+1-1}{n+1} = 1-\frac{1}{n+1}. \]
Puisque
\[ \frac{1}{n+1}\to0 \]
lorsque \(n\to+\infty\), on obtient
\[ 1-\frac{1}{n+1}\to1. \]
Par conséquent
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1. \]
Cette suite est elle aussi convergente.
Exemple 3. (Suite divergente vers \(+\infty\)).
Considérons la suite
\[ a_n=2n. \]
Ses termes sont
\[ 2,\ 4,\ 6,\ 8,\ \ldots \]
et croissent indéfiniment. En effet, un nombre \(M>0\) quelconque étant fixé, nous cherchons un rang \(n_M\) tel que, pour tout \(n\geq n_M\), on ait
\[ 2n>M. \]
Cette inégalité équivaut à
\[ n>\frac{M}{2}. \]
En choisissant \(n_M\in\mathbb{N}\) tel que
\[ n_M>\frac{M}{2}, \]
pour tout \(n\geq n_M\), on a \(2n>M\). Donc
\[ \lim_{n\to+\infty}2n=+\infty. \]
La suite est donc divergente vers \(+\infty\).
Exemple 4. (Suite divergente vers \(-\infty\)). Considérons la suite
\[ a_n=-3n. \]
Ses termes sont
\[ -3,\ -6,\ -9,\ -12,\ \ldots \]
et deviennent de plus en plus petits. \(M>0\) étant fixé, on veut que
\[ -3n<-M. \]
En multipliant les deux membres par \(-1\), l'inégalité change de sens :
\[ 3n>M. \]
Donc
\[ n>\frac{M}{3}. \]
En choisissant \(n_M\in\mathbb{N}\) tel que
\[ n_M>\frac{M}{3}, \]
pour tout \(n\geq n_M\), on a
\[ -3n<-M. \]
Par conséquent
\[ \lim_{n\to+\infty}(-3n)=-\infty. \]
La suite est donc divergente vers \(-\infty\).
Exemple 5. (Suite oscillante). Considérons la suite
\[ a_n=(-1)^n. \]
Ses termes sont
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ \ldots \]
La suite ne se rapproche d'aucune valeur unique. En effet, le long des indices pairs on a
\[ a_{2k}=1, \]
tandis que le long des indices impairs on a
\[ a_{2k-1}=-1. \]
Deux suites extraites de la même suite ont donc des limites différentes :
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k}=1, \qquad \lim_{k\to+\infty}a_{2k-1}=-1. \]
Par conséquent, la suite n'est pas convergente.
De plus, elle est bornée, car pour tout \(n\in\mathbb{N}\) on a
\[ -1\leq a_n\leq 1. \]
Elle ne diverge donc ni vers \(+\infty\) ni vers \(-\infty\). La suite est donc oscillante.
Exemple 6. (Suite bornée mais non convergente)
Considérons la suite
\[ a_n=\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right). \]
Ses premiers termes sont
\[ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ \ldots \]
Ici encore, la suite est bornée, car ses termes appartiennent à l'intervalle \([-1,1]\). Elle ne converge pourtant pas, car elle prend périodiquement des valeurs différentes et ne se stabilise pas autour d'une limite unique.
Par exemple, pour les indices de la forme \(4k+1\) on a
\[ a_{4k+1}=1, \]
tandis que pour les indices de la forme \(4k+2\) on a
\[ a_{4k+2}=0. \]
On a donc
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{4k+1}=1, \qquad \lim_{k\to+\infty}a_{4k+2}=0. \]
La suite possède deux suites extraites de limites différentes, elle n'est donc pas convergente. Étant bornée, elle ne peut diverger ni vers \(+\infty\) ni vers \(-\infty\). C'est pourquoi elle est oscillante.
En résumé, une suite peut présenter trois comportements principaux : elle peut converger vers un nombre réel, diverger vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\), ou bien être oscillante. Cette classification est à la base de l'étude des limites de suites.