Dans l'étude des limites d'une fonction, il ne suffit pas toujours d'observer ce qui se passe lorsque \(x\) s'approche d'un point \(x_0\) sans distinguer le sens de cette approche. En effet, dans bien des cas, le comportement de la fonction peut différer selon que \(x\) tend vers \(x_0\) par valeurs supérieures ou par valeurs inférieures.
C'est pourquoi l'on introduit la limite à droite et la limite à gauche. La limite à droite décrit le comportement d'une fonction lorsque \(x\) s'approche de \(x_0\) en restant supérieur à \(x_0\) ; la limite à gauche décrit, quant à elle, le comportement de la fonction lorsque \(x\) s'approche de \(x_0\) en restant inférieur à \(x_0\).
Ces deux notions sont fondamentales dans l'étude des fonctions définies par morceaux, des points de discontinuité et des limites aux bornes d'un intervalle. Elles permettent en outre d'établir précisément quand existe la limite lorsque \(x\to x_0\), considérée sans restriction latérale : cela se produit exactement lorsque la limite à droite et la limite à gauche existent toutes deux et coïncident.
Sommaire
- Idée intuitive de la limite à droite et de la limite à gauche
- S'approcher d'un point par la droite et par la gauche
- Définition de la limite à droite
- Définition de la limite à gauche
- Relation avec la limite sans restriction latérale
- Limite à droite et limite à gauche distinctes
- Limites à droite et à gauche infinies
- Exemples avec des fonctions définies par morceaux
- Continuité à droite et continuité à gauche
- Erreurs courantes à éviter
Idée intuitive de la limite à droite et de la limite à gauche
Lorsque nous étudions la limite d'une fonction quand \(x\to x_0\), nous observons le comportement des valeurs \(f(x)\) à mesure que \(x\) s'approche du point \(x_0\). Or, cette approche de \(x_0\) peut se faire de deux manières distinctes : par valeurs supérieures à \(x_0\), ou par valeurs inférieures à \(x_0\).
Si \(x\) s'approche de \(x_0\) en restant supérieur à \(x_0\), on dit que \(x\) tend vers \(x_0\) par la droite, et l'on écrit
\[ x\to x_0^+. \]
Si, au contraire, \(x\) s'approche de \(x_0\) en restant inférieur à \(x_0\), on dit que \(x\) tend vers \(x_0\) par la gauche, et l'on écrit
\[ x\to x_0^-. \]
La limite à droite décrit donc le comportement de la fonction lorsque \(x\) s'approche de \(x_0\) par valeurs \(x>x_0\). La limite à gauche décrit, quant à elle, le comportement de la fonction lorsque \(x\) s'approche de \(x_0\) par valeurs \(x<x_0\).
Cette distinction importe car une fonction peut se comporter différemment à droite et à gauche d'un même point. Il peut notamment arriver que les valeurs de \(f(x)\) s'approchent d'un certain nombre d'un côté, et d'un nombre différent de l'autre côté.
La valeur que prend la fonction au point \(x_0\), lorsqu'elle existe, n'est pas ce qui détermine la limite. Même dans le cas des limites à droite et à gauche, ce qui compte est le comportement de \(f(x)\) pour des valeurs de \(x\) proches de \(x_0\), mais distinctes de \(x_0\).
S'approcher d'un point par la droite et par la gauche
Soit \(f:D\to\mathbb{R}\) une fonction réelle d'une variable réelle, de domaine \(D\subseteq\mathbb{R}\). Pour parler du comportement de \(f(x)\) lorsque \(x\) s'approche d'un point \(x_0\), il n'est pas nécessaire que \(x_0\) appartienne au domaine de la fonction.
Ce qui importe, c'est qu'il existe des valeurs du domaine arbitrairement proches de \(x_0\). Dans le cas de la limite à droite, ces valeurs doivent se situer à droite de \(x_0\) ; dans le cas de la limite à gauche, elles doivent se situer à gauche de \(x_0\).
Dire que \(x\) s'approche de \(x_0\) par la droite revient à considérer des valeurs de \(x\) appartenant au domaine de la fonction et telles que
\[ x_0<x<x_0+\delta \]
pour des valeurs positives de \(\delta\) de plus en plus petites. En symboles, on écrit
\[ x\to x_0^+. \]
Dire que \(x\) s'approche de \(x_0\) par la gauche revient, quant à elle, à considérer des valeurs de \(x\) appartenant au domaine de la fonction et telles que
\[ x_0-\delta<x<x_0. \]
Dans ce cas, on écrit
\[ x\to x_0^-. \]
Ainsi, lorsqu'on étudie une limite à droite ou à gauche, on n'observe pas nécessairement toutes les valeurs de \(x\) proches de \(x_0\), mais seulement celles qui appartiennent au domaine de la fonction et qui se trouvent du côté considéré.
Par exemple, si une fonction est définie sur un intervalle du type \([a,b]\), on peut étudier au point \(a\) la limite à droite, car il existe des points du domaine à droite de \(a\), mais on ne peut pas étudier de limite à gauche à l'intérieur de ce domaine. De même, au point \(b\), on peut étudier la limite à gauche, mais non la limite à droite.
Plus précisément, la limite à droite en \(x_0\) a un sens lorsqu'il existe des points du domaine arbitrairement proches de \(x_0\) et supérieurs à \(x_0\). La limite à gauche en \(x_0\) a un sens lorsqu'il existe des points du domaine arbitrairement proches de \(x_0\) et inférieurs à \(x_0\).
Définition de la limite à droite
Soit \(f:D\to\mathbb{R}\) une fonction réelle d'une variable réelle, avec \(D\subseteq\mathbb{R}\), et soit \(x_0\) un point tel qu'il existe des points du domaine arbitrairement proches de \(x_0\) et supérieurs à \(x_0\).
Dire que \(x_0\) possède des points du domaine arbitrairement proches à droite signifie que, pour tout \(\delta>0\), il existe au moins un point \(x\in D\) tel que
\[ x_0<x<x_0+\delta. \]
Dans ces conditions, on dit que la fonction \(f\) admet une limite à droite égale à \(L\) lorsque \(x\to x_0\), et l'on écrit
\[ \lim_{x\to x_0^+} f(x)=L, \]
si, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe un \(\delta>0\) tel que, pour tout \(x\in D\),
\[ x_0<x<x_0+\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]
Autrement dit, les valeurs \(f(x)\) peuvent être rendues arbitrairement proches de \(L\), pourvu que \(x\) soit suffisamment proche de \(x_0\), appartienne au domaine de la fonction et se trouve à droite de \(x_0\).
La condition \(x_0<x\) est essentielle : dans la limite à droite, on n'observe pas le comportement de la fonction pour des valeurs de \(x\) inférieures à \(x_0\). En outre, comme c'est le cas pour la limite lorsque \(x\to x_0\), la valeur de la fonction en \(x_0\) importe peu, même lorsque \(x_0\in D\).
La limite à droite ne dépend que du comportement de la fonction en des points du domaine situés à droite de \(x_0\) et qui s'en approchent indéfiniment.
Définition de la limite à gauche
Soit \(f:D\to\mathbb{R}\) une fonction réelle d'une variable réelle, avec \(D\subseteq\mathbb{R}\), et soit \(x_0\) un point tel qu'il existe des points du domaine arbitrairement proches de \(x_0\) et inférieurs à \(x_0\).
Dire que \(x_0\) possède des points du domaine arbitrairement proches à gauche signifie que, pour tout \(\delta>0\), il existe au moins un point \(x\in D\) tel que
\[ x_0-\delta<x<x_0. \]
Dans ces conditions, on dit que la fonction \(f\) admet une limite à gauche égale à \(L\) lorsque \(x\to x_0\), et l'on écrit
\[ \lim_{x\to x_0^-} f(x)=L, \]
si, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe un \(\delta>0\) tel que, pour tout \(x\in D\),
\[ x_0-\delta<x<x_0 \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]
Autrement dit, les valeurs \(f(x)\) peuvent être rendues arbitrairement proches de \(L\), pourvu que \(x\) soit suffisamment proche de \(x_0\), appartienne au domaine de la fonction et se trouve à gauche de \(x_0\).
La condition \(x<x_0\) est essentielle : dans la limite à gauche, on ne considère pas le comportement de la fonction pour des valeurs de \(x\) supérieures à \(x_0\). Là encore, la valeur que prend éventuellement la fonction au point \(x_0\) n'a aucune incidence sur la limite.
La limite à gauche ne dépend que du comportement de la fonction en des points du domaine situés à gauche de \(x_0\) et qui s'en approchent indéfiniment.
Relation avec la limite sans restriction latérale
La limite lorsque \(x\to x_0\), considérée sans restriction latérale, exige que la fonction s'approche de la même valeur quelle que soit la manière dont \(x\) tend vers \(x_0\) à l'intérieur du domaine.
En particulier, si le domaine de la fonction possède des points arbitrairement proches de \(x_0\) aussi bien à gauche qu'à droite, alors la limite
\[ \lim_{x\to x_0}f(x) \]
existe et est égale à \(L\) si, et seulement si, les deux limites
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x) \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x) \]
existent et sont toutes deux égales à \(L\). En symboles :
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \iff \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L \ \text{et}\ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L. \]
Cette équivalence montre que la limite lorsque \(x\to x_0\), sans restriction latérale, est plus exigeante que les deux limites à droite et à gauche prises séparément. Il ne suffit pas, en effet, que la fonction ait un comportement régulier d'un seul côté : il faut que ce comportement soit le même des deux côtés.
Si, en revanche, les deux limites existent mais sont distinctes, alors la limite lorsque \(x\to x_0\), sans restriction latérale, n'existe pas. La fonction s'approche en effet de deux valeurs différentes selon la direction depuis laquelle \(x\) tend vers \(x_0\).
Aux bornes d'un intervalle, la situation est différente. Par exemple, si une fonction est définie sur \([a,b]\), on étudie naturellement au point \(a\) la limite à droite, tandis qu'au point \(b\) on étudie naturellement la limite à gauche. Dans ces cas, aucune vérification des deux côtés n'est requise, car le domaine lui-même n'est présent que d'un seul côté.
Limite à droite et limite à gauche distinctes
Il peut arriver qu'une fonction ait un comportement bien déterminé à la fois à gauche et à droite d'un point \(x_0\), mais que ces deux comportements conduisent à des valeurs différentes.
Supposons, par exemple, que
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L_1 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L_2, \]
avec \(L_1\neq L_2\). Dans ce cas, la limite lorsque \(x\to x_0\), considérée sans restriction latérale, n'existe pas.
En effet, lorsqu'on s'approche de \(x_0\) par la gauche, les valeurs de la fonction s'approchent de \(L_1\) ; lorsqu'on s'en approche par la droite, elles s'approchent de \(L_2\). Si \(L_1\) et \(L_2\) sont distinctes, il n'existe pas de valeur unique vers laquelle la fonction tend lorsque \(x\) s'approche de \(x_0\).
Ce phénomène se présente souvent dans le cas des fonctions définies par morceaux. Considérons, par exemple, la fonction
\[ f(x)= \begin{cases} 1, & x<0,\\ 2, & x>0. \end{cases} \]
Lorsque \(x\to 0^-\), les valeurs de la fonction sont égales à \(1\), donc
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x)=1. \]
Lorsque, au contraire, \(x\to 0^+\), les valeurs de la fonction sont égales à \(2\), donc
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x)=2. \]
Les deux limites étant distinctes, la limite lorsque \(x\to 0\), sans restriction latérale, n'existe pas :
\[ \lim_{x\to 0}f(x) \quad\text{n'existe pas.} \]
Le point essentiel est que l'existence séparée de la limite à gauche et de la limite à droite ne suffit pas. Pour que la limite lorsque \(x\to x_0\) existe, il faut que ces deux valeurs coïncident.
Limites à droite et à gauche infinies
La limite à droite et la limite à gauche ne sont pas nécessairement des nombres réels finis. Il peut arriver que, lorsqu'on s'approche d'un point \(x_0\) d'un seul côté, les valeurs de la fonction croissent indéfiniment ou décroissent indéfiniment.
Soit \(f:D\to\mathbb{R}\) une fonction réelle d'une variable réelle, avec \(D\subseteq\mathbb{R}\), et supposons que la limite à droite en \(x_0\) ait un sens. Écrire
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty \]
signifie que, pour tout \(M>0\), il existe un \(\delta>0\) tel que, pour tout \(x\in D\),
\[ x_0<x<x_0+\delta \implies f(x)>M. \]
Autrement dit, les valeurs de \(f(x)\) deviennent supérieures à tout nombre réel positif fixé à l'avance, pourvu que \(x\) soit suffisamment proche de \(x_0\) par la droite.
De même, écrire
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=-\infty \]
signifie que, pour tout \(M>0\), il existe un \(\delta>0\) tel que, pour tout \(x\in D\),
\[ x_0<x<x_0+\delta \implies f(x)<-M. \]
Dans ce cas, lorsqu'on s'approche de \(x_0\) par la droite, les valeurs de la fonction deviennent inférieures à tout nombre réel négatif fixé à l'avance, aussi grand soit-il en valeur absolue.
Les définitions à gauche sont tout à fait analogues. Si la limite à gauche en \(x_0\) a un sens, écrire
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=+\infty \]
signifie que, pour tout \(M>0\), il existe un \(\delta>0\) tel que, pour tout \(x\in D\),
\[ x_0-\delta<x<x_0 \implies f(x)>M. \]
Écrire, en revanche,
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty \]
signifie que, pour tout \(M>0\), il existe un \(\delta>0\) tel que, pour tout \(x\in D\),
\[ x_0-\delta<x<x_0 \implies f(x)<-M. \]
Considérons, par exemple, la fonction
\[ f(x)=\frac{1}{x}. \]
Lorsque \(x\to 0^+\), le dénominateur est positif et de plus en plus proche de zéro ; par conséquent, les valeurs de la fonction sont positives et croissent indéfiniment :
\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty. \]
Lorsque, au contraire, \(x\to 0^-\), le dénominateur est négatif et de plus en plus proche de zéro ; les valeurs de la fonction sont négatives et décroissent indéfiniment :
\[ \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty. \]
Là encore, les deux comportements ne coïncident pas. Aussi la limite lorsque \(x\to 0\), considérée sans restriction latérale, n'est-elle ni \(+\infty\) ni \(-\infty\).
Plus généralement, si d'un côté la fonction tend vers \(+\infty\) et de l'autre vers \(-\infty\), la limite lorsque \(x\to x_0\) n'existe pas en tant que limite unique. Les deux limites à droite et à gauche existent, mais elles décrivent des comportements incompatibles entre eux.
Exemples avec des fonctions définies par morceaux
Les fonctions définies par morceaux constituent l'un des contextes où la limite à droite et la limite à gauche se révèlent les plus utiles. Dans ces cas, en effet, l'expression de la fonction peut changer selon l'intervalle dans lequel se trouve \(x\).
Lorsqu'on calcule la limite en un point où la définition de la fonction change, il faut utiliser l'expression valable à gauche du point pour la limite à gauche, et l'expression valable à droite du point pour la limite à droite.
Considérons la fonction
\[ f(x)= \begin{cases} x+1, & x<1,\\ 5, & x=1,\\ 3-x, & x>1. \end{cases} \]
Pour calculer la limite à gauche en \(x_0=1\), nous devons utiliser la branche valable pour \(x<1\), c'est-à-dire \(f(x)=x+1\). Donc
\[ \lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^-}(x+1)=2. \]
Pour la limite à droite, en revanche, nous devons utiliser la branche valable pour \(x>1\), c'est-à-dire \(f(x)=3-x\). Par conséquent,
\[ \lim_{x\to 1^+}f(x)=\lim_{x\to 1^+}(3-x)=2. \]
Les deux limites coïncident. Il en résulte que la limite lorsque \(x\to 1\), considérée sans restriction latérale, existe et vaut
\[ \lim_{x\to 1}f(x)=2. \]
Or \(f(1)=5\). Ceci montre une fois de plus que la valeur de la fonction au point ne détermine pas la limite : la limite dépend des valeurs prises par la fonction au voisinage du point, non nécessairement de la valeur prise au point lui-même.
Considérons à présent un second exemple :
\[ g(x)= \begin{cases} x^2, & x<2,\\ x+1, & x\ge 2. \end{cases} \]
À gauche de \(2\), la fonction est donnée par \(g(x)=x^2\). Donc
\[ \lim_{x\to 2^-}g(x)=\lim_{x\to 2^-}x^2=4. \]
À droite de \(2\), y compris au point \(2\) lui-même, la fonction est donnée par \(g(x)=x+1\). Pour la limite à droite, nous considérons toutefois des valeurs \(x>2\), d'où
\[ \lim_{x\to 2^+}g(x)=\lim_{x\to 2^+}(x+1)=3. \]
Les deux limites étant distinctes, la limite lorsque \(x\to 2\), sans restriction latérale, n'existe pas.
En résumé, pour les fonctions définies par morceaux, la démarche correcte consiste à lire attentivement le domaine de chaque branche et à calculer séparément le comportement de la fonction à gauche et à droite.
Continuité à droite et continuité à gauche
Les limites à droite et à gauche permettent également de définir la continuité d'une fonction d'un seul côté. Cela s'avère particulièrement utile aux bornes d'un intervalle et aux points où une fonction est définie par morceaux.
Soit \(f:D\to\mathbb{R}\) une fonction réelle d'une variable réelle et soit \(x_0\in D\). Supposons que la limite à droite de \(f\) en \(x_0\) ait un sens. On dit que \(f\) est continue à droite en \(x_0\) si
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0). \]
De manière équivalente, \(f\) est continue à droite en \(x_0\) si, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe un \(\delta>0\) tel que, pour tout \(x\in D\),
\[ x_0\le x<x_0+\delta \implies |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon. \]
De même, supposons que la limite à gauche de \(f\) en \(x_0\) ait un sens. On dit que \(f\) est continue à gauche en \(x_0\) si
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0). \]
Sous forme \(\varepsilon\)-\(\delta\), cela signifie que, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe un \(\delta>0\) tel que, pour tout \(x\in D\),
\[ x_0-\delta<x\le x_0 \implies |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon. \]
La différence avec la simple limite à droite ou à gauche est importante. Dans la limite, on n'observe que le comportement de la fonction au voisinage de \(x_0\), sans que la valeur \(f(x_0)\) joue un rôle déterminant. Dans la continuité, en revanche, la valeur de la fonction au point doit coïncider avec la valeur vers laquelle tend la fonction.
Par exemple, si une fonction est définie sur un intervalle \([a,b]\), la continuité en \(a\), relativement au domaine, se vérifie par la continuité à droite, car le domaine ne contient aucun point à gauche de \(a\). Dans ce cas, la condition naturelle est
\[ \lim_{x\to a^+}f(x)=f(a). \]
De même, au point \(b\), on considère la continuité à gauche :
\[ \lim_{x\to b^-}f(x)=f(b). \]
Si, en revanche, \(x_0\) est un point intérieur au domaine, et si la fonction est définie des deux côtés de \(x_0\), alors la continuité en \(x_0\) exige la continuité à la fois à gauche et à droite. En symboles :
\[ f \text{ est continue en } x_0 \iff \lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0) \ \text{et}\ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0). \]
Erreurs courantes à éviter
La première erreur à éviter consiste à confondre la limite à droite ou à gauche avec la valeur de la fonction au point. La limite décrit le comportement de \(f(x)\) lorsque \(x\) s'approche de \(x_0\) d'un côté donné ; la valeur \(f(x_0)\), lorsqu'elle existe, concerne quant à elle la fonction précisément au point \(x_0\).
Par exemple, si
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L, \]
il ne s'ensuit pas nécessairement que \(f(x_0)=L\). La limite à droite dépend des valeurs de la fonction pour \(x>x_0\) proche de \(x_0\), et non de la valeur prise au point.
Une deuxième erreur consiste à négliger le domaine de la fonction. Lorsqu'on calcule une limite à droite, il faut considérer uniquement les valeurs \(x\in D\) telles que
\[ x_0<x<x_0+\delta. \]
Lorsqu'on calcule une limite à gauche, il faut au contraire considérer uniquement les valeurs \(x\in D\) telles que
\[ x_0-\delta<x<x_0. \]
Il ne suffit donc pas de considérer la position de \(x\) par rapport à \(x_0\) : il faut également vérifier que ces valeurs appartiennent effectivement au domaine de la fonction.
Une troisième erreur fréquente concerne les fonctions définies par morceaux. En un point où la définition de la fonction change, la limite à gauche doit être calculée à l'aide de la branche valable à gauche du point, tandis que la limite à droite doit être calculée à l'aide de la branche valable à droite. La valeur éventuellement attribuée à la fonction en ce point ne doit pas être utilisée pour calculer les limites à droite et à gauche.
Une quatrième erreur consiste à conclure que la limite lorsque \(x\to x_0\), sans restriction latérale, existe simplement parce que l'une des deux limites latérales existe. Cela ne suffit pas. Lorsque le domaine possède des points arbitrairement proches de \(x_0\) aussi bien à gauche qu'à droite, la limite lorsque \(x\to x_0\) n'existe que si la limite à gauche et la limite à droite existent toutes deux et coïncident.
En symboles, lorsque les deux côtés sont présents dans le domaine, la condition correcte est
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L. \]
Ce n'est que dans ce cas que l'on peut écrire
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L. \]
Enfin, il convient de distinguer avec précision la limite de la continuité. L'existence de la limite à droite ou à gauche n'implique pas, à elle seule, la continuité de ce côté. Pour qu'il y ait continuité à droite en \(x_0\), par exemple, il ne suffit pas que la limite à droite existe : il faut encore qu'elle soit égale à la valeur de la fonction au point, c'est-à-dire
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0). \]
De même, la continuité à gauche exige que
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0). \]
Maintenir séparés ces différents aspects — le côté d'approche, le domaine, la valeur de la fonction au point et la coïncidence des deux limites — permet de traiter les limites à droite et à gauche de manière correcte et sans ambiguïté.