Ce recueil propose 20 exercices résolus sur les limites à droite et à gauche, classés par difficulté croissante. Les premiers portent sur le calcul des limites latérales les plus immédiates ; viennent ensuite les définitions formelles, les fonctions définies par morceaux, les limites latérales infinies, le rôle de l'ensemble de définition et la continuité à droite et à gauche.
Chaque résolution précise explicitement de quel côté \(x\) s'approche du point, quelle expression de la fonction doit être utilisée et pourquoi les limites latérales obtenues entraînent, ou n'entraînent pas, l'existence de la limite en ce point.
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Calculer la limite à droite suivante :
\[ \lim_{x\to 2^+}(3x-1). \]
Résultat
\[ \lim_{x\to 2^+}(3x-1)=5. \]
Résolution
L'écriture \(x\to 2^+\) indique que \(x\) tend vers \(2\) en ne prenant que des valeurs supérieures à \(2\).
La fonction
\[ f(x)=3x-1 \]
est une fonction affine et ne présente aucune irrégularité au point \(x=2\). Nous pouvons donc calculer la limite par substitution directe de \(x=2\) :
\[ 3\cdot 2-1=6-1=5. \]
Par conséquent,
\[ \lim_{x\to 2^+}(3x-1)=5. \]
Le fait que l'on s'approche par la droite ne modifie pas le résultat, car la même expression \(3x-1\) est définie et se comporte régulièrement aussi bien à droite qu'à gauche de \(2\).
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Calculer la limite à gauche suivante :
\[ \lim_{x\to -1^-}(x^2+2x). \]
Résultat
\[ \lim_{x\to -1^-}(x^2+2x)=-1. \]
Résolution
La notation \(x\to -1^-\) signifie que \(x\) tend vers \(-1\) en prenant des valeurs inférieures à \(-1\).
La fonction
\[ f(x)=x^2+2x \]
est un polynôme et peut être évaluée directement au point \(x=-1\). Nous obtenons :
\[ (-1)^2+2(-1)=1-2=-1. \]
Il s'ensuit que
\[ \lim_{x\to -1^-}(x^2+2x)=-1. \]
Ici encore, le côté par lequel on s'approche ne change pas la valeur de la limite, puisque le polynôme est donné par la même expression sur tout un voisinage de \(-1\).
Exercice 3 — niveau ★★☆☆☆
Démontrer, au moyen de la définition \(\varepsilon\)-\(\delta\), que
\[ \lim_{x\to 2^+}(3x-1)=5. \]
Résultat
La définition est vérifiée en choisissant
\[ \delta=\frac{\varepsilon}{3}. \]
Résolution
Nous devons montrer que, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe un \(\delta>0\) tel que
\[ 2<x<2+\delta \implies |(3x-1)-5|<\varepsilon. \]
Partons de l'expression qui doit être rendue inférieure à \(\varepsilon\) :
\[ |(3x-1)-5|. \]
En simplifiant à l'intérieur de la valeur absolue, nous obtenons
\[ |3x-6|=|3(x-2)|=3|x-2|. \]
Nous voulons donc que
\[ 3|x-2|<\varepsilon. \]
Il suffit d'imposer
\[ |x-2|<\frac{\varepsilon}{3}. \]
Choisissons par conséquent
\[ \delta=\frac{\varepsilon}{3}. \]
Si \(2<x<2+\delta\), alors
\[ 0<x-2<\delta, \]
et donc
\[ |x-2|<\delta. \]
Il en résulte que
\[ |(3x-1)-5| =3|x-2| <3\delta =3\cdot\frac{\varepsilon}{3} =\varepsilon. \]
La définition de la limite à droite est donc satisfaite et nous pouvons conclure que
\[ \lim_{x\to 2^+}(3x-1)=5. \]
Exercice 4 — niveau ★★☆☆☆
Démontrer, au moyen de la définition \(\varepsilon\)-\(\delta\), que
\[ \lim_{x\to 1^-}x^2=1. \]
Résultat
La définition est vérifiée en choisissant
\[ \delta=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{2}\right\}. \]
Résolution
Nous devons montrer que, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe un \(\delta>0\) tel que
\[ 1-\delta<x<1 \implies |x^2-1|<\varepsilon. \]
Factorisons la différence de deux carrés :
\[ |x^2-1|=|(x-1)(x+1)|=|x-1||x+1|. \]
Le facteur \(|x-1|\) se contrôle directement au moyen de \(\delta\). Il reste en revanche à trouver une majoration simple de \(|x+1|\).
Imposons tout d'abord \(\delta\le 1\). De la condition
\[ 1-\delta<x<1 \]
découle alors
\[ 0<x<1. \]
Par conséquent,
\[ 1<x+1<2, \]
et en particulier
\[ |x+1|<2. \]
Il en résulte que
\[ |x^2-1|=|x-1||x+1|<2|x-1|. \]
Pour rendre cette dernière quantité inférieure à \(\varepsilon\), il suffit d'exiger
\[ |x-1|<\frac{\varepsilon}{2}. \]
Nous pouvons donc choisir
\[ \delta=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{2}\right\}. \]
Si \(1-\delta<x<1\), alors \(|x-1|<\delta\), d'où
\[ |x^2-1| <2|x-1| <2\delta \le\varepsilon. \]
La définition de la limite à gauche est donc vérifiée :
\[ \lim_{x\to 1^-}x^2=1. \]
Exercice 5 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer la limite à droite de la fonction
\[ f(x)=\sqrt{x} \]
au point \(x_0=0\). Déterminer en outre si la limite à gauche a un sens.
Résultat
\[ \lim_{x\to 0^+}\sqrt{x}=0. \]
La limite à gauche en \(0\) n'a pas de sens sur l'ensemble de définition réel de la fonction.
Résolution
La fonction
\[ f(x)=\sqrt{x} \]
n'est définie, dans l'ensemble des nombres réels, que lorsque
\[ x\ge 0. \]
Son ensemble de définition est donc
\[ D=[0,+\infty). \]
Il existe des points de l'ensemble de définition arbitrairement proches de \(0\) et supérieurs à \(0\). La limite à droite a donc un sens.
Lorsque \(x\) tend vers \(0\) par la droite, \(\sqrt{x}\) tend lui aussi vers \(0\). Par conséquent,
\[ \lim_{x\to 0^+}\sqrt{x}=0. \]
En revanche, il n'existe aucun point de l'ensemble de définition inférieur à \(0\) et arbitrairement proche de \(0\). Pour cette raison, la limite à gauche
\[ \lim_{x\to 0^-}\sqrt{x} \]
n'a pas de sens en tant que limite réelle de la fonction considérée.
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
Déterminer la limite à gauche de la fonction
\[ f(x)=\sqrt{4-x} \]
au point \(x_0=4\). Déterminer en outre si la limite à droite a un sens.
Résultat
\[ \lim_{x\to 4^-}\sqrt{4-x}=0. \]
La limite à droite en \(4\) n'a pas de sens sur l'ensemble de définition réel de la fonction.
Résolution
Pour que la racine carrée soit définie, son radicande doit être positif ou nul :
\[ 4-x\ge 0. \]
En résolvant cette inéquation, nous obtenons
\[ x\le 4. \]
L'ensemble de définition de la fonction est donc
\[ D=(-\infty,4]. \]
Il existe des points de l'ensemble de définition arbitrairement proches de \(4\) et inférieurs à \(4\). Nous pouvons donc calculer la limite à gauche.
Lorsque \(x\to 4^-\), la quantité \(4-x\) est positive et tend vers \(0\). Il en résulte que
\[ \sqrt{4-x}\to 0. \]
Par conséquent,
\[ \lim_{x\to 4^-}\sqrt{4-x}=0. \]
En revanche, il n'existe aucun point de l'ensemble de définition supérieur à \(4\). La limite à droite en \(4\) n'a donc pas de sens relativement à l'ensemble de définition de la fonction.
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
Calculer les deux limites latérales et déterminer si la limite existe :
\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}. \]
Résultat
\[ \lim_{x\to 1^-}\frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x\to 1^+}\frac{x^2-1}{x-1} =2. \]
Par conséquent,
\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2. \]
Résolution
En substituant directement \(x=1\), on obtient
\[ \frac{1^2-1}{1-1}=\frac{0}{0}, \]
c'est-à-dire une forme indéterminée. Il faut donc transformer l'expression.
Le numérateur est une différence de deux carrés :
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
Pour tout \(x\neq 1\), nous pouvons simplifier par le facteur \(x-1\) :
\[ \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1. \]
Dans le calcul d'une limite lorsque \(x\to 1\), on considère des valeurs de \(x\) proches de \(1\), mais distinctes de \(1\). La simplification est donc licite aussi bien à gauche qu'à droite du point.
Pour la limite à gauche :
\[ \lim_{x\to 1^-}\frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x\to 1^-}(x+1) =2. \]
Pour la limite à droite :
\[ \lim_{x\to 1^+}\frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x\to 1^+}(x+1) =2. \]
Les deux limites latérales existent et coïncident. Par conséquent,
\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2. \]
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
On considère la fonction
\[ f(x)= \begin{cases} x+2, & x<1,\\ 5, & x=1,\\ 3x, & x>1. \end{cases} \]
Calculer les limites latérales en \(x_0=1\), déterminer si la limite lorsque \(x\to 1\) existe et vérifier si la fonction est continue en \(1\).
Résultat
\[ \lim_{x\to 1^-}f(x)=3, \qquad \lim_{x\to 1^+}f(x)=3. \]
Par conséquent,
\[ \lim_{x\to 1}f(x)=3. \]
La fonction n'est pas continue en \(1\), car \(f(1)=5\neq 3\).
Résolution
La fonction est définie par des expressions différentes à gauche de \(1\), au point \(1\) et à droite de \(1\).
Pour calculer la limite à gauche, nous devons utiliser l'expression valable pour \(x<1\) :
\[ f(x)=x+2. \]
Par conséquent,
\[ \lim_{x\to 1^-}f(x) = \lim_{x\to 1^-}(x+2) = 1+2 = 3. \]
Pour calculer la limite à droite, c'est en revanche l'expression valable pour \(x>1\) qu'il faut utiliser :
\[ f(x)=3x. \]
Nous obtenons donc
\[ \lim_{x\to 1^+}f(x) = \lim_{x\to 1^+}3x = 3. \]
Les deux limites latérales existent et coïncident. La limite existe donc :
\[ \lim_{x\to 1}f(x)=3. \]
Pour étudier la continuité, nous devons comparer cette limite à la valeur de la fonction au point. La définition par morceaux donne
\[ f(1)=5. \]
Puisque
\[ \lim_{x\to 1}f(x)=3\neq 5=f(1), \]
la fonction n'est pas continue en \(1\).
Cet exemple montre que la limite peut exister même lorsque la valeur attribuée à la fonction au point diffère de cette limite.
Exercice 9 — niveau ★★☆☆☆
On considère la fonction
\[ f(x)= \begin{cases} 2x+1, & x<0,\\ x^2+2, & x\ge 0. \end{cases} \]
Calculer les limites latérales en \(0\), déterminer si la limite lorsque \(x\to 0\) existe et préciser si la fonction est continue à droite ou à gauche.
Résultat
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x)=1, \qquad \lim_{x\to 0^+}f(x)=2. \]
La limite lorsque \(x\to 0\) n'existe pas. La fonction est continue à droite, mais non à gauche.
Résolution
Pour la limite à gauche, nous devons utiliser l'expression valable lorsque \(x<0\) :
\[ f(x)=2x+1. \]
Par conséquent,
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x) = \lim_{x\to 0^-}(2x+1) = 1. \]
Pour la limite à droite, nous devons recourir à l'expression valable lorsque \(x\ge 0\). Dans le calcul de la limite à droite, on considère des valeurs \(x>0\) ; l'expression à utiliser est donc
\[ f(x)=x^2+2. \]
Il s'ensuit que
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x) = \lim_{x\to 0^+}(x^2+2) = 2. \]
Les deux limites latérales sont différentes :
\[ 1\neq 2. \]
Par conséquent, la limite lorsque \(x\to 0\) n'existe pas.
Calculons maintenant la valeur de la fonction au point. Comme la seconde branche contient \(x=0\),
\[ f(0)=0^2+2=2. \]
La limite à droite coïncide avec la valeur de la fonction :
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x)=2=f(0). \]
La fonction est donc continue à droite en \(0\).
La limite à gauche vaut en revanche \(1\), de sorte que
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x)\neq f(0). \]
La fonction n'est pas continue à gauche.
Exercice 10 — niveau ★★★☆☆
Calculer les limites latérales de la fonction
\[ f(x)=\frac{x}{|x|} \]
au point \(x_0=0\) et déterminer si la limite lorsque \(x\to 0\) existe.
Résultat
\[ \lim_{x\to 0^-}\frac{x}{|x|}=-1, \qquad \lim_{x\to 0^+}\frac{x}{|x|}=1. \]
La limite lorsque \(x\to 0\) n'existe pas.
Résolution
Le comportement de la valeur absolue dépend du signe de \(x\).
Lorsque \(x<0\), on a
\[ |x|=-x. \]
Par conséquent, pour \(x<0\),
\[ \frac{x}{|x|} = \frac{x}{-x} = -1. \]
Il s'ensuit que
\[ \lim_{x\to 0^-}\frac{x}{|x|}=-1. \]
Lorsque \(x>0\), en revanche, on a
\[ |x|=x. \]
Par conséquent,
\[ \frac{x}{|x|} = \frac{x}{x} = 1. \]
Il en résulte que
\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{x}{|x|}=1. \]
Puisque
\[ -1\neq 1, \]
les deux limites latérales ne coïncident pas. La limite lorsque \(x\to 0\) n'existe pas.
Exercice 11 — niveau ★★★☆☆
Calculer les limites latérales de la fonction
\[ f(x)=\frac{1}{x-3} \]
au point \(x_0=3\).
Résultat
\[ \lim_{x\to 3^-}\frac{1}{x-3}=-\infty, \qquad \lim_{x\to 3^+}\frac{1}{x-3}=+\infty. \]
La limite lorsque \(x\to 3\) n'existe pas.
Résolution
Lorsque \(x\to 3\), le dénominateur \(x-3\) tend vers \(0\). Pour déterminer le comportement du quotient, il est indispensable d'étudier le signe du dénominateur de chaque côté.
Si \(x\to 3^-\), alors \(x<3\). Il en résulte que
\[ x-3<0. \]
Le dénominateur est négatif et sa valeur absolue devient de plus en plus petite. L'inverse prend donc des valeurs négatives dont la valeur absolue croît indéfiniment :
\[ \lim_{x\to 3^-}\frac{1}{x-3}=-\infty. \]
Si, au contraire, \(x\to 3^+\), alors \(x>3\), de sorte que
\[ x-3>0. \]
Le dénominateur est positif et tend vers \(0\). L'inverse prend donc des valeurs positives arbitrairement grandes :
\[ \lim_{x\to 3^+}\frac{1}{x-3}=+\infty. \]
Les deux limites latérales décrivent des comportements opposés. La limite lorsque \(x\to 3\) n'existe donc pas.
Exercice 12 — niveau ★★★☆☆
Calculer les limites latérales de la fonction
\[ f(x)=-\frac{2}{x+1} \]
au point \(x_0=-1\).
Résultat
\[ \lim_{x\to -1^-}\left(-\frac{2}{x+1}\right)=+\infty, \qquad \lim_{x\to -1^+}\left(-\frac{2}{x+1}\right)=-\infty. \]
Résolution
Le numérateur est constant et égal à \(-2\). Le signe de la fonction dépend donc du signe du dénominateur \(x+1\).
Lorsque \(x\to -1^-\), on a \(x<-1\), donc
\[ x+1<0. \]
Le numérateur et le dénominateur sont tous deux négatifs : le quotient est donc positif. De plus, le dénominateur tend vers \(0\) par valeurs négatives, si bien que la valeur du quotient croît indéfiniment :
\[ \lim_{x\to -1^-}\left(-\frac{2}{x+1}\right)=+\infty. \]
Lorsque \(x\to -1^+\), on a en revanche \(x>-1\), donc
\[ x+1>0. \]
Le numérateur est négatif et le dénominateur positif : le quotient est donc négatif. Comme le dénominateur tend vers \(0\), la valeur absolue du quotient croît indéfiniment :
\[ \lim_{x\to -1^+}\left(-\frac{2}{x+1}\right)=-\infty. \]
Ici encore, les deux comportements latéraux sont incompatibles, de sorte que la limite n'existe pas.
Exercice 13 — niveau ★★★☆☆
Calculer les limites latérales, puis la limite :
\[ \lim_{x\to 2}\frac{1}{(x-2)^2}. \]
Résultat
\[ \lim_{x\to 2^-}\frac{1}{(x-2)^2} = \lim_{x\to 2^+}\frac{1}{(x-2)^2} =+\infty. \]
Par conséquent,
\[ \lim_{x\to 2}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
Résolution
Lorsque \(x\to 2\), la différence \(x-2\) tend vers \(0\).
Toutefois, le dénominateur est le carré de cette différence :
\[ (x-2)^2. \]
Pour tout \(x\neq 2\), ce carré est strictement positif :
\[ (x-2)^2>0. \]
Si \(x\to 2^-\), la quantité \(x-2\) est négative, mais son carré est positif et tend vers \(0\). Il en résulte que
\[ \lim_{x\to 2^-}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
Si \(x\to 2^+\), la quantité \(x-2\) est positive et son carré tend encore vers \(0\) par valeurs positives. Par conséquent,
\[ \lim_{x\to 2^+}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
Les deux limites latérales coïncident et valent toutes deux \(+\infty\). Nous pouvons donc écrire
\[ \lim_{x\to 2}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
Exercice 14 — niveau ★★★★☆
Démontrer, au moyen de la définition \(M\)-\(\delta\), que
\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty. \]
Résultat
La définition est vérifiée en choisissant
\[ \delta=\frac{1}{M}. \]
Résolution
Pour démontrer que
\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty, \]
nous devons vérifier que, pour tout \(M>0\), il existe un \(\delta>0\) tel que
\[ 0<x<\delta \implies \frac{1}{x}>M. \]
Partons de l'inégalité que nous voulons obtenir :
\[ \frac{1}{x}>M. \]
Puisque nous considérons \(x>0\) et \(M>0\), nous pouvons multiplier les deux membres par \(x\) sans changer le sens de l'inégalité :
\[ 1>Mx. \]
En divisant par \(M>0\), nous obtenons
\[ x<\frac{1}{M}. \]
Il est donc naturel de choisir
\[ \delta=\frac{1}{M}. \]
Si
\[ 0<x<\delta=\frac{1}{M}, \]
alors, en passant aux inverses de quantités positives, le sens de l'inégalité change :
\[ \frac{1}{x}>M. \]
La définition de la limite infinie à droite est donc vérifiée. Par conséquent,
\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty. \]
Exercice 15 — niveau ★★★☆☆
Étant donné la fonction
\[ f(x)=\sqrt{2-x}, \]
déterminer quelles limites latérales ont un sens au point \(x_0=2\) et calculer celles qui existent.
Résultat
\[ \lim_{x\to 2^-}\sqrt{2-x}=0. \]
La limite à droite en \(2\) n'a pas de sens sur l'ensemble de définition réel de la fonction.
Résolution
Pour déterminer l'ensemble de définition, imposons que le radicande soit positif ou nul :
\[ 2-x\ge 0. \]
En résolvant, nous obtenons
\[ x\le 2. \]
L'ensemble de définition est donc
\[ D=(-\infty,2]. \]
Il existe des points de l'ensemble de définition arbitrairement proches de \(2\) et inférieurs à \(2\). La limite à gauche a donc un sens.
Lorsque \(x\to 2^-\), la différence \(2-x\) est positive et tend vers \(0\). Par conséquent,
\[ \lim_{x\to 2^-}\sqrt{2-x}=0. \]
En revanche, il n'existe aucun point de l'ensemble de définition supérieur à \(2\). En particulier, il est impossible de trouver des valeurs \(x\in D\) telles que
\[ 2<x<2+\delta. \]
La limite à droite en \(2\) n'a donc pas de sens relativement à l'ensemble de définition de la fonction.
Exercice 16 — niveau ★★★☆☆
Soit
\[ f:[0,4]\to\mathbb{R},\qquad f(x)=x^2. \]
Vérifier que \(f\) est continue à droite en \(0\) et continue à gauche en \(4\).
Résultat
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x)=f(0)=0, \qquad \lim_{x\to 4^-}f(x)=f(4)=16. \]
Résolution
L'ensemble de définition de la fonction est l'intervalle fermé \([0,4]\).
Au point \(0\), il n'existe de points de l'ensemble de définition arbitrairement proches que du côté droit. La condition de continuité naturelle relativement à l'ensemble de définition est donc la continuité à droite.
Calculons :
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x) = \lim_{x\to 0^+}x^2 = 0. \]
La valeur de la fonction au point est
\[ f(0)=0^2=0. \]
Puisque
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x)=f(0), \]
la fonction est continue à droite en \(0\).
Au point \(4\), en revanche, il n'existe de points de l'ensemble de définition arbitrairement proches que du côté gauche. Calculons :
\[ \lim_{x\to 4^-}f(x) = \lim_{x\to 4^-}x^2 = 16. \]
De plus,
\[ f(4)=4^2=16. \]
Par conséquent,
\[ \lim_{x\to 4^-}f(x)=f(4), \]
et la fonction est continue à gauche en \(4\).
Exercice 17 — niveau ★★★☆☆
On considère la fonction
\[ f(x)= \begin{cases} 1, & x<0,\\ 2, & x=0,\\ x+2, & x>0. \end{cases} \]
Déterminer si la fonction est continue à droite ou à gauche au point \(x_0=0\).
Résultat
La fonction est continue à droite en \(0\), mais elle n'est pas continue à gauche.
Résolution
La valeur de la fonction au point est donnée directement :
\[ f(0)=2. \]
Pour calculer la limite à gauche, nous devons utiliser l'expression valable pour \(x<0\) :
\[ f(x)=1. \]
Par conséquent,
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x)=1. \]
Puisque
\[ 1\neq 2=f(0), \]
la fonction n'est pas continue à gauche en \(0\).
Pour la limite à droite, c'est en revanche l'expression valable pour \(x>0\) qu'il faut utiliser :
\[ f(x)=x+2. \]
Calculons :
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x) = \lim_{x\to 0^+}(x+2) = 2. \]
La limite à droite coïncide avec la valeur de la fonction :
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x)=2=f(0). \]
La fonction est donc continue à droite en \(0\).
Comme la limite à gauche et la limite à droite sont différentes, la fonction n'est pas continue en \(0\).
Exercice 18 — niveau ★★★★☆
Déterminer la valeur du paramètre réel \(a\) pour laquelle la limite lorsque \(x\to 2\) de la fonction
\[ f_a(x)= \begin{cases} ax+1, & x<2,\\ x^2-a, & x>2 \end{cases} \]
existe. Calculer également la valeur de cette limite.
Résultat
La limite existe si et seulement si
\[ a=1. \]
Pour \(a=1\),
\[ \lim_{x\to 2}f_a(x)=3. \]
Résolution
Pour que la limite lorsque \(x\to 2\) existe, la limite à gauche et la limite à droite doivent exister et coïncider.
Pour \(x<2\), la fonction est définie par
\[ f_a(x)=ax+1. \]
La limite à gauche vaut donc
\[ \lim_{x\to 2^-}f_a(x) = \lim_{x\to 2^-}(ax+1) = 2a+1. \]
Pour \(x>2\), la fonction est définie par
\[ f_a(x)=x^2-a. \]
La limite à droite vaut
\[ \lim_{x\to 2^+}f_a(x) = \lim_{x\to 2^+}(x^2-a) = 4-a. \]
Pour que les deux limites coïncident, il faut que
\[ 2a+1=4-a. \]
Résolvons cette équation :
\[ 2a+a=4-1, \]
donc
\[ 3a=3 \]
et enfin
\[ a=1. \]
En reportant \(a=1\) dans l'une des deux limites latérales, nous obtenons
\[ 2a+1=2\cdot 1+1=3. \]
La limite à droite vaut elle aussi
\[ 4-a=4-1=3. \]
Par conséquent, pour \(a=1\),
\[ \lim_{x\to 2}f_a(x)=3. \]
La fonction n'est pas définie au point \(x=2\), mais cela n'empêche pas l'existence de la limite : celle-ci dépend du comportement de la fonction aux points voisins de \(2\), et non de la valeur prise en ce point.
Exercice 19 — niveau ★★★★☆
Déterminer toutes les valeurs des paramètres réels \(a\) et \(b\) pour lesquelles la fonction
\[ f_{a,b}(x)= \begin{cases} ax+b, & x<1,\\ 5, & x=1,\\ 2x+3, & x>1 \end{cases} \]
est continue au point \(x_0=1\).
Résultat
La fonction est continue en \(1\) si et seulement si
\[ a+b=5. \]
De façon équivalente,
\[ b=5-a. \]
Résolution
Pour que la fonction soit continue en \(1\), les deux conditions
\[ \lim_{x\to 1^-}f_{a,b}(x)=f_{a,b}(1) \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to 1^+}f_{a,b}(x)=f_{a,b}(1) \]
doivent être satisfaites.
La valeur de la fonction au point est
\[ f_{a,b}(1)=5. \]
À gauche de \(1\), la fonction est définie par
\[ f_{a,b}(x)=ax+b. \]
Par conséquent,
\[ \lim_{x\to 1^-}f_{a,b}(x) = a\cdot 1+b = a+b. \]
Pour la continuité à gauche, il faut donc que
\[ a+b=5. \]
À droite de \(1\), la fonction est définie par
\[ f_{a,b}(x)=2x+3. \]
La limite à droite vaut
\[ \lim_{x\to 1^+}f_{a,b}(x) = 2\cdot 1+3 = 5. \]
Elle coïncide automatiquement avec la valeur de la fonction au point :
\[ \lim_{x\to 1^+}f_{a,b}(x)=5=f_{a,b}(1). \]
La seule condition à imposer aux paramètres est donc
\[ a+b=5. \]
Il n'existe pas un unique couple de paramètres, mais une infinité de couples. Une fois \(a\in\mathbb{R}\) choisi arbitrairement, on doit avoir
\[ b=5-a. \]
Exercice 20 — niveau ★★★★★
On considère la fonction
\[ f(x)= \begin{cases} x+1, & x<0,\\ 2, & x=0,\\ x^2+2, & 0<x<2,\\ 7, & x=2,\\ 5-x, & x>2. \end{cases} \]
Étudier de façon complète les limites latérales ainsi que la continuité à droite et à gauche aux points \(x_0=0\) et \(x_0=2\).
Résultat
Au point \(x_0=0\) :
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x)=1, \qquad \lim_{x\to 0^+}f(x)=2. \]
La limite lorsque \(x\to 0\) n'existe pas. La fonction est continue à droite, mais non à gauche.
Au point \(x_0=2\) :
\[ \lim_{x\to 2^-}f(x)=6, \qquad \lim_{x\to 2^+}f(x)=3. \]
La limite lorsque \(x\to 2\) n'existe pas. La fonction n'est continue ni à gauche ni à droite.
Résolution
Commençons par l'étude du point \(x_0=0\).
Pour \(x<0\), la fonction est définie par
\[ f(x)=x+1. \]
La limite à gauche vaut par conséquent
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x) = \lim_{x\to 0^-}(x+1) = 1. \]
Pour \(0<x<2\), la fonction est en revanche définie par
\[ f(x)=x^2+2. \]
C'est cette expression qu'il faut utiliser pour la limite à droite en \(0\) :
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x) = \lim_{x\to 0^+}(x^2+2) = 2. \]
Les deux limites latérales sont différentes :
\[ 1\neq 2. \]
Par conséquent, la limite lorsque \(x\to 0\) n'existe pas.
La valeur de la fonction au point est
\[ f(0)=2. \]
En comparant cette valeur aux limites latérales, nous observons que
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x)=2=f(0). \]
La fonction est donc continue à droite en \(0\).
Au contraire,
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x)=1\neq 2=f(0), \]
de sorte que la fonction n'est pas continue à gauche en \(0\).
Passons maintenant à l'étude du point \(x_0=2\).
Pour les valeurs \(x<2\) suffisamment proches de \(2\), on a \(0<x<2\) : la fonction est donc définie par
\[ f(x)=x^2+2. \]
La limite à gauche vaut par conséquent
\[ \lim_{x\to 2^-}f(x) = \lim_{x\to 2^-}(x^2+2) = 4+2 = 6. \]
Pour \(x>2\), la fonction est définie par
\[ f(x)=5-x. \]
La limite à droite vaut donc
\[ \lim_{x\to 2^+}f(x) = \lim_{x\to 2^+}(5-x) = 5-2 = 3. \]
En ce point également, les deux limites latérales sont différentes :
\[ 6\neq 3. \]
La limite lorsque \(x\to 2\) n'existe pas.
La valeur de la fonction au point est
\[ f(2)=7. \]
Pour la continuité à gauche, il faudrait que
\[ \lim_{x\to 2^-}f(x)=f(2). \]
Or
\[ 6\neq 7. \]
La fonction n'est donc pas continue à gauche en \(2\).
Pour la continuité à droite, il faudrait en revanche que
\[ \lim_{x\to 2^+}f(x)=f(2). \]
Mais
\[ 3\neq 7. \]
La fonction n'est pas non plus continue à droite en \(2\).
L'étude complète montre donc que la fonction n'est continue qu'à droite au point \(0\), tandis qu'elle n'est continue d'aucun des deux côtés au point \(2\).