Cette page propose 20 exercices résolus sur le théorème de la limite d'une suite monotone. Ces exercices montrent comment étudier la monotonie d'une suite, comment déterminer si elle est bornée et comment déduire l'existence de sa limite à l'aide du théorème de la limite d'une suite monotone.
En particulier, on utilisera le fait qu'une suite croissante converge vers sa borne supérieure lorsqu'elle est majorée, et diverge vers \(+\infty\) lorsqu'elle n'est pas majorée. De même, une suite décroissante converge vers sa borne inférieure lorsqu'elle est minorée, et diverge vers \(-\infty\) lorsqu'elle n'est pas minorée.
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Étudier la monotonie de la suite
\[ a_n=\frac{1}{n} \]
et en déduire sa limite à l'aide du théorème de la limite d'une suite monotone.
Résultat
La suite est décroissante, minorée et
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
Résolution
On considère la suite
\[ a_n=\frac{1}{n}. \]
Pour étudier la monotonie, on compare deux termes consécutifs :
\[ a_{n+1}=\frac{1}{n+1}. \]
Comme \(n+1>n\) et que les dénominateurs sont positifs, on a
\[ \frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}. \]
Donc
\[ a_{n+1}<a_n. \]
La suite est donc strictement décroissante, et par conséquent décroissante.
De plus, pour tout \(n\geq1\), on a
\[ \frac1n>0. \]
Donc \(0\) est un minorant de la suite. La suite est décroissante et minorée.
D'après le théorème de la limite d'une suite monotone, elle converge vers sa borne inférieure :
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\inf\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
La borne inférieure vaut \(0\). En effet, les termes sont tous strictement positifs, mais deviennent arbitrairement petits.
Par conséquent
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac1n=0. \]
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Étudier la monotonie de la suite
\[ a_n=1-\frac{1}{n} \]
et en déduire sa limite.
Résultat
La suite est croissante, majorée et
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac1n\right)=1. \]
Résolution
La suite est
\[ a_n=1-\frac1n. \]
On calcule le terme suivant :
\[ a_{n+1}=1-\frac{1}{n+1}. \]
Comme
\[ \frac{1}{n+1}<\frac1n, \]
en changeant de signe on obtient
\[ -\frac{1}{n+1}>-\frac1n. \]
En ajoutant \(1\) aux deux membres :
\[ 1-\frac{1}{n+1}>1-\frac1n. \]
Donc
\[ a_{n+1}>a_n. \]
La suite est strictement croissante.
De plus, pour tout \(n\geq1\),
\[ 1-\frac1n<1. \]
Donc \(1\) est un majorant de la suite.
D'après le théorème de la limite d'une suite monotone, une suite croissante et majorée converge vers sa borne supérieure.
Dans ce cas
\[ \sup\left\{1-\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}=1. \]
En effet, les termes sont toujours inférieurs à \(1\), mais s'approchent de \(1\) autant que l'on veut.
Par conséquent
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac1n\right)=1. \]
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
Étudier la suite
\[ a_n=n. \]
Déterminer si elle est monotone, si elle est bornée et calculer la limite.
Résultat
La suite est croissante, non majorée et
\[ \lim_{n\to+\infty}n=+\infty. \]
Résolution
La suite est
\[ a_n=n. \]
Le terme suivant est
\[ a_{n+1}=n+1. \]
Pour tout \(n\geq1\), on a
\[ n+1>n. \]
Donc
\[ a_{n+1}>a_n. \]
La suite est strictement croissante.
Elle n'est pas majorée. En effet, étant donné un nombre \(M>0\) quelconque, on peut choisir un entier \(n\) tel que
\[ n>M. \]
Alors
\[ a_n=n>M. \]
Ainsi, la suite croît sans borne.
D'après le théorème de la limite d'une suite monotone, une suite croissante et non majorée diverge vers \(+\infty\).
Donc
\[ \lim_{n\to+\infty}n=+\infty. \]
Exercice 4 — niveau ★☆☆☆☆
Étudier la suite
\[ a_n=-n. \]
Déterminer si elle est monotone, si elle est bornée et calculer la limite.
Résultat
La suite est décroissante, non minorée et
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n)=-\infty. \]
Résolution
La suite est
\[ a_n=-n. \]
Le terme suivant est
\[ a_{n+1}=-(n+1)=-n-1. \]
Comme
\[ -n-1<-n, \]
on a
\[ a_{n+1}<a_n. \]
La suite est strictement décroissante.
Elle n'est pas minorée. En effet, étant donné \(M>0\), on peut choisir \(n\) tel que
\[ n>M. \]
En multipliant par \(-1\), on obtient
\[ -n<-M. \]
Ainsi, les termes de la suite deviennent inférieurs à tout seuil négatif.
D'après le théorème de la limite d'une suite monotone, une suite décroissante et non minorée diverge vers \(-\infty\).
Par conséquent
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n)=-\infty. \]
Exercice 5 — niveau ★★☆☆☆
Étudier la suite
\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]
Déterminer si elle est monotone, si elle est bornée et calculer la limite.
Résultat
La suite est croissante, majorée et
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1. \]
Résolution
On réécrit le terme général :
\[ a_n=\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}. \]
Comme la suite
\[ \frac{1}{n+1} \]
est décroissante, la suite
\[ 1-\frac{1}{n+1} \]
est croissante.
Vérifions-le directement. On a
\[ a_{n+1}=\frac{n+1}{n+2}. \]
On calcule la différence :
\[ a_{n+1}-a_n=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}. \]
En réduisant au même dénominateur :
\[ a_{n+1}-a_n= \frac{(n+1)^2-n(n+2)}{(n+2)(n+1)}. \]
On développe le numérateur :
\[ (n+1)^2-n(n+2)=n^2+2n+1-(n^2+2n)=1. \]
Donc
\[ a_{n+1}-a_n=\frac{1}{(n+1)(n+2)}>0. \]
Donc \(a_{n+1}>a_n\), c'est-à-dire que la suite est strictement croissante.
De plus
\[ \frac{n}{n+1}<1 \]
pour tout \(n\geq1\), donc \(1\) est un majorant.
D'après le théorème de la limite d'une suite monotone, la suite converge vers sa borne supérieure.
Comme les termes s'approchent de \(1\) par la gauche, on a
\[ \sup\left\{\frac{n}{n+1}:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}=1. \]
Par conséquent
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1. \]
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
Étudier la suite
\[ a_n=\frac{n+1}{n}. \]
Déterminer si elle est monotone, si elle est bornée et calculer la limite.
Résultat
La suite est décroissante, minorée et
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n+1}{n}=1. \]
Résolution
On réécrit la suite :
\[ a_n=\frac{n+1}{n}=1+\frac1n. \]
Comme \(\frac1n\) est décroissante, la suite
\[ 1+\frac1n \]
est elle aussi décroissante.
Vérifions-le à l'aide des termes consécutifs :
\[ a_{n+1}=1+\frac{1}{n+1}. \]
Comme
\[ \frac{1}{n+1}<\frac1n, \]
en ajoutant \(1\) aux deux membres, on obtient
\[ 1+\frac{1}{n+1}<1+\frac1n. \]
Donc
\[ a_{n+1}<a_n. \]
La suite est strictement décroissante.
De plus, pour tout \(n\geq1\),
\[ 1+\frac1n>1. \]
Donc \(1\) est un minorant.
Une suite décroissante et minorée converge vers sa borne inférieure.
Dans ce cas
\[ \inf\left\{1+\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}=1. \]
Par conséquent
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n+1}{n}=1. \]
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
Étudier la suite
\[ a_n=2-\frac{3}{n}. \]
Déterminer si elle est monotone, si elle est bornée et calculer la limite.
Résultat
La suite est croissante, majorée et
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2-\frac3n\right)=2. \]
Résolution
On considère
\[ a_n=2-\frac3n. \]
Le terme suivant est
\[ a_{n+1}=2-\frac{3}{n+1}. \]
Comme
\[ \frac{3}{n+1}<\frac3n, \]
en changeant de signe on obtient
\[ -\frac{3}{n+1}>-\frac3n. \]
En ajoutant \(2\) :
\[ 2-\frac{3}{n+1}>2-\frac3n. \]
Donc
\[ a_{n+1}>a_n. \]
La suite est strictement croissante.
De plus, pour tout \(n\geq1\),
\[ 2-\frac3n<2. \]
Donc \(2\) est un majorant.
D'après le théorème de convergence monotone, la suite converge vers sa borne supérieure.
Comme \(\frac3n\to0\), les termes s'approchent de \(2\) par la gauche. Par conséquent
\[ \sup\left\{2-\frac3n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}=2. \]
On en conclut que
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2-\frac3n\right)=2. \]
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
Étudier la suite
\[ a_n=5+\frac{2}{n}. \]
Déterminer si elle est monotone, si elle est bornée et calculer la limite.
Résultat
La suite est décroissante, minorée et
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(5+\frac2n\right)=5. \]
Résolution
On considère
\[ a_n=5+\frac2n. \]
Le terme suivant est
\[ a_{n+1}=5+\frac{2}{n+1}. \]
Comme
\[ \frac{2}{n+1}<\frac2n, \]
en ajoutant \(5\) aux deux membres, on obtient
\[ 5+\frac{2}{n+1}<5+\frac2n. \]
Donc
\[ a_{n+1}<a_n. \]
La suite est strictement décroissante.
De plus, pour tout \(n\geq1\),
\[ 5+\frac2n>5. \]
Donc \(5\) est un minorant.
Une suite décroissante et minorée converge vers sa borne inférieure.
Comme \(\frac2n\to0\), les termes s'approchent de \(5\) par la droite. Donc
\[ \inf\left\{5+\frac2n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}=5. \]
Donc
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(5+\frac2n\right)=5. \]
Exercice 9 — niveau ★★★☆☆
Étudier la suite
\[ a_n=\frac{2n+1}{n+1}. \]
Déterminer si elle est monotone, si elle est bornée et calculer la limite.
Résultat
La suite est croissante, majorée et
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2n+1}{n+1}=2. \]
Résolution
On réécrit le terme général :
\[ \frac{2n+1}{n+1} = \frac{2(n+1)-1}{n+1} = 2-\frac{1}{n+1}. \]
Donc
\[ a_n=2-\frac{1}{n+1}. \]
Comme \(\displaystyle \frac{1}{n+1}\) est décroissante, le terme
\[ -\frac{1}{n+1} \]
est croissant. Donc \(a_n\) est croissante.
Vérifions également à l'aide du terme suivant :
\[ a_{n+1}=2-\frac{1}{n+2}. \]
Comme
\[ \frac{1}{n+2}<\frac{1}{n+1}, \]
on a
\[ -\frac{1}{n+2}>-\frac{1}{n+1}. \]
En ajoutant \(2\) :
\[ 2-\frac{1}{n+2}>2-\frac{1}{n+1}. \]
Par conséquent
\[ a_{n+1}>a_n. \]
La suite est strictement croissante.
De plus
\[ a_n=2-\frac{1}{n+1}<2, \]
donc \(2\) est un majorant.
La suite est croissante et majorée ; elle converge donc vers sa borne supérieure.
Comme \(\displaystyle \frac1{n+1}\to0\), la borne supérieure vaut \(2\). Donc
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2n+1}{n+1}=2. \]
Exercice 10 — niveau ★★★☆☆
Étudier la suite
\[ a_n=\frac{3n+4}{n}. \]
Déterminer si elle est monotone, si elle est bornée et calculer la limite.
Résultat
La suite est décroissante, minorée et
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n+4}{n}=3. \]
Résolution
On réécrit la suite :
\[ a_n=\frac{3n+4}{n}=3+\frac4n. \]
Comme \(\frac4n\) est décroissante, la suite
\[ 3+\frac4n \]
est elle aussi décroissante.
En effet
\[ a_{n+1}=3+\frac{4}{n+1}. \]
Puisque
\[ \frac{4}{n+1}<\frac4n, \]
on a
\[ 3+\frac{4}{n+1}<3+\frac4n. \]
Donc
\[ a_{n+1}<a_n. \]
La suite est strictement décroissante.
De plus
\[ 3+\frac4n>3 \]
pour tout \(n\geq1\), donc \(3\) est un minorant.
D'après le théorème de la limite d'une suite monotone, la suite converge vers sa borne inférieure.
Comme \(\frac4n\to0\), les termes s'approchent de \(3\) par la droite. Par conséquent
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n+4}{n}=3. \]
Exercice 11 — niveau ★★★☆☆
Étudier la suite
\[ a_n=\frac{n^2}{n^2+1}. \]
Déterminer si elle est monotone, si elle est bornée et calculer la limite.
Résultat
La suite est croissante, majorée et
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2}{n^2+1}=1. \]
Résolution
On réécrit la suite :
\[ a_n=\frac{n^2}{n^2+1}=1-\frac{1}{n^2+1}. \]
Comme \(n^2+1\) croît lorsque \(n\) croît, la quantité
\[ \frac{1}{n^2+1} \]
diminue.
Par conséquent
\[ 1-\frac{1}{n^2+1} \]
croît.
La suite est donc croissante.
De plus, pour tout \(n\geq1\),
\[ \frac{n^2}{n^2+1}<1. \]
Donc \(1\) est un majorant.
La suite est croissante et majorée, donc elle converge.
D'après le théorème de la limite d'une suite monotone, sa limite est la borne supérieure de l'ensemble de ses valeurs.
Comme
\[ \frac{1}{n^2+1}\to0, \]
on obtient
\[ a_n=1-\frac{1}{n^2+1}\to1. \]
Donc
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2}{n^2+1}=1. \]
Exercice 12 — niveau ★★★☆☆
Étudier la suite
\[ a_n=\frac{n^2+1}{n^2}. \]
Déterminer si elle est monotone, si elle est bornée et calculer la limite.
Résultat
La suite est décroissante, minorée et
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+1}{n^2}=1. \]
Résolution
On réécrit la suite :
\[ a_n=\frac{n^2+1}{n^2}=1+\frac1{n^2}. \]
La suite \(\frac1{n^2}\) est décroissante, car \(n^2\) croît lorsque \(n\) croît.
Donc la suite
\[ 1+\frac1{n^2} \]
est elle aussi décroissante.
De plus, pour tout \(n\geq1\),
\[ 1+\frac1{n^2}>1. \]
Donc \(1\) est un minorant.
La suite est décroissante et minorée, donc elle converge vers sa borne inférieure.
Comme
\[ \frac1{n^2}\to0, \]
on a
\[ 1+\frac1{n^2}\to1. \]
Par conséquent
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+1}{n^2}=1. \]
Exercice 13 — niveau ★★★☆☆
Étudier la suite
\[ a_n=\frac{2^n}{2^n+1}. \]
Déterminer si elle est monotone, si elle est bornée et calculer la limite.
Résultat
La suite est croissante, majorée et
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2^n}{2^n+1}=1. \]
Résolution
On réécrit la suite :
\[ a_n=\frac{2^n}{2^n+1}=1-\frac{1}{2^n+1}. \]
Comme \(2^n\) croît lorsque \(n\) croît, \(2^n+1\) croît aussi. Donc
\[ \frac{1}{2^n+1} \]
décroît.
Par conséquent
\[ 1-\frac{1}{2^n+1} \]
croît.
La suite est donc croissante.
De plus, pour tout \(n\geq1\),
\[ \frac{2^n}{2^n+1}<1. \]
Donc \(1\) est un majorant.
La suite est croissante et majorée ; elle converge donc vers sa borne supérieure.
Comme
\[ \frac{1}{2^n+1}\to0, \]
il s'ensuit que
\[ a_n=1-\frac{1}{2^n+1}\to1. \]
Par conséquent
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2^n}{2^n+1}=1. \]
Exercice 14 — niveau ★★★☆☆
Étudier la suite
\[ a_n=\frac{3^n+1}{3^n}. \]
Déterminer si elle est monotone, si elle est bornée et calculer la limite.
Résultat
La suite est décroissante, minorée et
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3^n+1}{3^n}=1. \]
Résolution
On réécrit le terme général :
\[ a_n=\frac{3^n+1}{3^n}=1+\frac{1}{3^n}. \]
Comme \(3^n\) croît lorsque \(n\) croît, la suite
\[ \frac{1}{3^n} \]
est décroissante.
Donc
\[ a_n=1+\frac{1}{3^n} \]
est décroissante.
De plus, pour tout \(n\geq1\),
\[ 1+\frac{1}{3^n}>1. \]
Donc \(1\) est un minorant.
La suite est décroissante et minorée, donc elle converge vers sa borne inférieure.
Comme
\[ \frac1{3^n}\to0, \]
il s'ensuit que
\[ 1+\frac1{3^n}\to1. \]
Donc
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3^n+1}{3^n}=1. \]
Exercice 15 — niveau ★★★★☆
Étudier la suite
\[ a_n=\frac{n^2+n}{n^2+n+1}. \]
Déterminer si elle est monotone, si elle est bornée et calculer la limite.
Résultat
La suite est croissante, majorée et
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+n}{n^2+n+1}=1. \]
Résolution
On réécrit la suite :
\[ a_n=\frac{n^2+n}{n^2+n+1}=1-\frac{1}{n^2+n+1}. \]
Le dénominateur
\[ n^2+n+1 \]
croît lorsque \(n\) croît. En effet, en passant de \(n\) à \(n+1\), on obtient
\[ (n+1)^2+(n+1)+1=n^2+3n+3, \]
qui est supérieur à
\[ n^2+n+1. \]
Donc
\[ \frac{1}{n^2+n+1} \]
est décroissante.
Par conséquent
\[ 1-\frac{1}{n^2+n+1} \]
est croissante.
De plus, pour tout \(n\geq1\),
\[ a_n=\frac{n^2+n}{n^2+n+1}<1. \]
Donc \(1\) est un majorant.
La suite est croissante et majorée, donc elle converge.
Comme
\[ \frac{1}{n^2+n+1}\to0, \]
on a
\[ a_n=1-\frac{1}{n^2+n+1}\to1. \]
Par conséquent
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+n}{n^2+n+1}=1. \]
Exercice 16 — niveau ★★★★☆
Étudier la suite
\[ a_n=\frac{n^2+2}{n^2+1}. \]
Déterminer si elle est monotone, si elle est bornée et calculer la limite.
Résultat
La suite est décroissante, minorée et
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+2}{n^2+1}=1. \]
Résolution
On réécrit :
\[ a_n=\frac{n^2+2}{n^2+1} = \frac{n^2+1+1}{n^2+1} = 1+\frac{1}{n^2+1}. \]
Comme \(n^2+1\) croît lorsque \(n\) croît, la quantité
\[ \frac{1}{n^2+1} \]
décroît.
Donc
\[ a_n=1+\frac{1}{n^2+1} \]
est décroissante.
De plus, pour tout \(n\geq1\),
\[ a_n>1. \]
Donc \(1\) est un minorant.
D'après le théorème de la limite d'une suite monotone, la suite converge vers sa borne inférieure.
Comme
\[ \frac{1}{n^2+1}\to0, \]
on obtient
\[ a_n\to1. \]
Donc
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+2}{n^2+1}=1. \]
Exercice 17 — niveau ★★★★☆
Étudier la suite
\[ a_n=\sqrt{n}. \]
Déterminer si elle est monotone, si elle est bornée et calculer la limite.
Résultat
La suite est croissante, non majorée et
\[ \lim_{n\to+\infty}\sqrt n=+\infty. \]
Résolution
La suite est
\[ a_n=\sqrt n. \]
Comme \(n+1>n\) et que la racine carrée conserve l'ordre sur les nombres positifs, on a
\[ \sqrt{n+1}>\sqrt n. \]
Donc
\[ a_{n+1}>a_n. \]
La suite est strictement croissante.
Montrons à présent qu'elle n'est pas majorée. Étant donné \(M>0\), on cherche \(n\) tel que
\[ \sqrt n>M. \]
Cette inégalité équivaut à
\[ n>M^2. \]
Il est toujours possible de choisir un entier naturel \(n\) supérieur à \(M^2\). Donc la suite n'est pas majorée.
Étant croissante et non majorée, elle diverge vers \(+\infty\) d'après le théorème de la limite d'une suite monotone.
Par conséquent
\[ \lim_{n\to+\infty}\sqrt n=+\infty. \]
Exercice 18 — niveau ★★★★☆
Étudier la suite
\[ a_n=-\sqrt n. \]
Déterminer si elle est monotone, si elle est bornée et calculer la limite.
Résultat
La suite est décroissante, non minorée et
\[ \lim_{n\to+\infty}(-\sqrt n)=-\infty. \]
Résolution
La suite est
\[ a_n=-\sqrt n. \]
Comme
\[ \sqrt{n+1}>\sqrt n, \]
en multipliant par \(-1\) le sens de l'inégalité est inversé :
\[ -\sqrt{n+1}<-\sqrt n. \]
Donc
\[ a_{n+1}<a_n. \]
La suite est strictement décroissante.
Elle n'est pas minorée. En effet, étant donné \(M>0\), on cherche \(n\) tel que
\[ -\sqrt n<-M. \]
En multipliant par \(-1\), le sens change :
\[ \sqrt n>M. \]
Cette inégalité est vérifiée lorsque
\[ n>M^2. \]
Ainsi, les termes deviennent inférieurs à tout seuil négatif.
Étant décroissante et non minorée, la suite diverge vers \(-\infty\).
Par conséquent
\[ \lim_{n\to+\infty}(-\sqrt n)=-\infty. \]
Exercice 19 — niveau ★★★★★
Soit \((a_n)\) une suite croissante telle que
\[ a_n<4 \]
pour tout \(n\geq1\). Déterminer si la suite admet une limite et préciser ce que l'on peut dire de sa valeur.
Résultat
La suite est convergente. Sa limite \(L\) existe et vaut
\[ L=\sup\{a_n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\}. \]
De plus, \(L\leq4\).
Résolution
La suite \((a_n)\) est croissante par hypothèse. De plus, pour tout \(n\geq1\), on a
\[ a_n<4. \]
Donc \(4\) est un majorant de l'ensemble des valeurs de la suite :
\[ \{a_n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\}. \]
La suite est donc croissante et majorée.
D'après le théorème de la limite d'une suite monotone, une suite croissante et majorée converge vers sa borne supérieure.
Par conséquent, la limite finie existe :
\[ L=\lim_{n\to+\infty}a_n. \]
De plus
\[ L=\sup\{a_n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\}. \]
Comme \(4\) est un majorant, la borne supérieure ne peut pas être supérieure à \(4\). Donc
\[ L\leq4. \]
On ne peut toutefois pas conclure nécessairement que \(L=4\). Par exemple, une suite croissante et toujours inférieure à \(4\) pourrait converger vers \(4\), mais elle pourrait tout aussi bien converger vers un nombre plus petit.
L'information certaine est donc :
\[ \text{la suite converge et sa limite vérifie } L\leq4. \]
Exercice 20 — niveau ★★★★★
Soit \((a_n)\) une suite décroissante telle que
\[ a_n>-2 \]
pour tout \(n\geq1\). Déterminer si la suite admet une limite et préciser ce que l'on peut dire de sa valeur.
Résultat
La suite est convergente. Sa limite \(L\) existe et vaut
\[ L=\inf\{a_n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\}. \]
De plus, \(L\geq -2\).
Résolution
La suite \((a_n)\) est décroissante par hypothèse. De plus, pour tout \(n\geq1\), on a
\[ a_n>-2. \]
Donc \(-2\) est un minorant de l'ensemble des valeurs de la suite :
\[ \{a_n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\}. \]
La suite est donc décroissante et minorée.
D'après le théorème de la limite d'une suite monotone, une suite décroissante et minorée converge vers sa borne inférieure.
Par conséquent, la limite finie existe :
\[ L=\lim_{n\to+\infty}a_n. \]
De plus
\[ L=\inf\{a_n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\}. \]
Comme \(-2\) est un minorant, la borne inférieure ne peut pas être inférieure à \(-2\). Donc
\[ L\geq -2. \]
On ne peut toutefois pas conclure nécessairement que \(L=-2\). La suite pourrait tendre vers \(-2\), mais elle pourrait aussi tendre vers un nombre plus grand.
L'information certaine est donc :
\[ \text{la suite converge et sa limite vérifie } L\geq -2. \]