Les infiniment grands et les infiniment petits sont des notions fondamentales dans l'étude des limites et dans la comparaison des comportements asymptotiques des fonctions.
Dans cet article, nous donnerons des définitions précises de ces notions, nous étudierons la comparaison entre fonctions infiniment grandes et infiniment petites, et nous introduirons les notions d'ordre et d'équivalence asymptotique, ainsi que la notation \(o\), dite « petit o ».
Sommaire
- Signification d'infiniment grand et d'infiniment petit
- Fonctions infiniment grandes
- Fonctions infiniment petites
- Comparaison des infiniment grands
- Comparaison des infiniment petits
- Ordre d'un infiniment grand et ordre d'un infiniment petit
- Infiniment grands et infiniment petits équivalents
- Utilisation des équivalents dans le calcul des limites
- Relation entre infiniment grands et infiniment petits
- Principales équivalences asymptotiques
- Hiérarchies fondamentales entre infiniment grands et infiniment petits
- Conclusion
Signification d'infiniment grand et d'infiniment petit
Les notions d'infiniment grand et d'infiniment petit décrivent le comportement d'une fonction relativement à un processus de passage à la limite donné, par exemple lorsque \(x\to x_0\) ou lorsque \(x\to \pm\infty\).
Dire qu'une fonction est infiniment grande signifie que ses valeurs tendent vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\). Le symbole \(\infty\) ne représente donc pas un nombre réel, mais exprime un comportement non borné.
Dire au contraire qu'une fonction est infiniment petite signifie que ses valeurs tendent vers zéro. Là encore, ce n'est pas la valeur prise par la fonction en un point donné qui est décrite, mais son comportement tout au long du processus de passage à la limite considéré.
Une même fonction peut être infiniment grande relativement à un processus de passage à la limite et infiniment petite relativement à un autre. C'est pourquoi tout énoncé doit préciser le processus de passage à la limite auquel il se rapporte.
Fonctions infiniment grandes
Soit \(f\) une fonction définie au voisinage de \(x_0\), le point \(x_0\) lui-même pouvant être exclu. On dit que \(f\) est infiniment grande lorsque \(x\to x_0\) si
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \]
ou
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty. \]
Dans le premier cas, les valeurs de \(f(x)\) deviennent supérieures à tout nombre réel fixé à l'avance ; dans le second, elles deviennent inférieures à tout nombre réel fixé à l'avance.
Par exemple, la fonction
\[ f(x)=\frac{1}{x^2} \]
est infiniment grande lorsque \(x\to 0\), puisque
\[ \lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=+\infty. \]
De même, une fonction peut être infiniment grande lorsque \(x\to+\infty\) ou lorsque \(x\to-\infty\). Par exemple,
\[ \lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty. \]
L'expression « fonction infiniment grande » n'a donc de sens que relativement à un processus de passage à la limite précis.
Fonctions infiniment petites
Soit \(f\) une fonction définie au voisinage de \(x_0\), le point \(x_0\) lui-même pouvant être exclu. On dit que \(f\) est infiniment petite lorsque \(x\to x_0\) si
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=0. \]
Cela signifie que les valeurs de \(f(x)\) peuvent être rendues arbitrairement petites en valeur absolue, pourvu que \(x\) soit suffisamment proche de \(x_0\).
Par exemple, la fonction
\[ f(x)=x^2 \]
est infiniment petite lorsque \(x\to 0\), puisque
\[ \lim_{x\to 0}x^2=0. \]
Une fonction peut également être infiniment petite lorsque \(x\to+\infty\) ou lorsque \(x\to-\infty\). Par exemple,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0, \]
donc la fonction \(\displaystyle\frac{1}{x}\) est infiniment petite lorsque \(x\to+\infty\).
Là encore, l'expression « fonction infiniment petite » doit toujours être rapportée à un processus de passage à la limite précis.
Comparaison des infiniment grands
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions infiniment grandes relativement au même processus de passage à la limite. Pour comparer la rapidité avec laquelle elles croissent en valeur absolue, on considère la limite de leur rapport :
\[ \lim\frac{f(x)}{g(x)}. \]
Si
\[ \lim\frac{f(x)}{g(x)}=0, \]
alors \(f\) est un infiniment grand d'ordre inférieur à \(g\) : la valeur absolue de \(g(x)\) croît plus rapidement que celle de \(f(x)\).
Si au contraire
\[ \lim\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|=+\infty, \]
alors \(f\) est un infiniment grand d'ordre supérieur à \(g\).
Enfin, si
\[ \lim\frac{f(x)}{g(x)}=L, \qquad 0<|L|<+\infty, \]
les deux fonctions sont des infiniment grands de même ordre.
Par exemple, lorsque \(x\to+\infty\),
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x^2} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x} =0. \]
Par conséquent, \(x\) est un infiniment grand d'ordre inférieur à \(x^2\).
Si aucun des trois cas précédents ne se présente, les deux fonctions ne sont pas comparables au moyen de cette classification.
Comparaison des infiniment petits
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions infiniment petites relativement au même processus de passage à la limite, avec \(g(x)\neq 0\) au voisinage considéré. Là encore, la comparaison s'effectue en étudiant la limite du rapport
\[ \lim\frac{f(x)}{g(x)}. \]
Si
\[ \lim\frac{f(x)}{g(x)}=0, \]
alors \(f\) est un infiniment petit d'ordre supérieur à \(g\) : la fonction \(f\) tend vers zéro plus rapidement que \(g\).
Si au contraire
\[ \lim\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|=+\infty, \]
alors \(f\) est un infiniment petit d'ordre inférieur à \(g\).
Enfin, si
\[ \lim\frac{f(x)}{g(x)}=L, \qquad 0<|L|<+\infty, \]
les deux fonctions sont des infiniment petits de même ordre.
Par exemple, lorsque \(x\to 0\),
\[ \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x} = \lim_{x\to 0}x =0. \]
Par conséquent, \(x^2\) est un infiniment petit d'ordre supérieur à \(x\).
Si aucun des trois cas précédents ne se présente, les deux fonctions ne sont pas comparables au moyen de cette classification.
Ordre d'un infiniment grand et ordre d'un infiniment petit
La comparaison au moyen du rapport permet de préciser davantage la rapidité avec laquelle une fonction tend vers zéro, ou vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\).
Soient \(f\) et \(g\) deux infiniment petits relativement au même processus de passage à la limite, avec \(g(x)>0\) au voisinage considéré. On dit que \(f\) est un infiniment petit d'ordre \(\alpha>0\) par rapport à \(g\) si
\[ \lim\frac{f(x)}{[g(x)]^\alpha}=L, \qquad 0<|L|<+\infty. \]
Par exemple, lorsque \(x\to 0^+\), la fonction \(x^3\) est un infiniment petit d'ordre \(3\) par rapport à \(x\), puisque
\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{x^3}{x^3}=1. \]
De même, soient \(f\) et \(g\) deux infiniment grands relativement au même processus de passage à la limite, avec \(g(x)>0\) au voisinage considéré. On dit que \(f\) est un infiniment grand d'ordre \(\alpha>0\) par rapport à \(g\) si
\[ \lim\frac{f(x)}{[g(x)]^\alpha}=L, \qquad 0<|L|<+\infty. \]
Par exemple, lorsque \(x\to+\infty\), la fonction \(x^4\) est un infiniment grand d'ordre \(4\) par rapport à \(x\), car
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^4}{x^4}=1. \]
L'ordre n'est donc pas une propriété absolue de la fonction, mais dépend de la fonction choisie comme terme de comparaison.
Infiniment grands et infiniment petits équivalents
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions, toutes deux infiniment grandes ou toutes deux infiniment petites, relativement au même processus de passage à la limite, avec \(g(x)\neq 0\) au voisinage considéré. Les deux fonctions sont dites asymptotiquement équivalentes si
\[ \lim\frac{f(x)}{g(x)}=1. \]
Dans ce cas, on écrit
\[ f(x)\sim g(x). \]
L'équivalence asymptotique exprime le fait que, dans le processus de passage à la limite considéré, le rapport des deux fonctions tend vers \(1\) : elles présentent donc le même comportement principal.
Par exemple, lorsque \(x\to 0\),
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1, \]
d'où
\[ \sin x\sim x. \]
De même, lorsque \(x\to+\infty\),
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+x}{x^2} = \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right) =1, \]
d'où
\[ x^2+x\sim x^2. \]
Deux infiniment grands ou infiniment petits équivalents sont de même ordre. La réciproque, en revanche, n'est pas nécessairement vraie : si le rapport tend vers une constante finie non nulle différente de \(1\), les fonctions ont le même ordre mais ne sont pas équivalentes.
Utilisation des équivalents dans le calcul des limites
Les équivalences asymptotiques permettent de remplacer une fonction par une autre, plus simple, présentant le même comportement principal dans le processus de passage à la limite considéré.
Si
\[ f(x)\sim g(x), \]
alors \(f(x)\) peut être remplacée par \(g(x)\) lorsqu'elle apparaît comme facteur dans un produit ou dans un quotient, à condition que toutes les expressions en jeu restent bien définies tout au long du processus de passage à la limite considéré.
Par exemple, puisque
\[ \sin x\sim x \qquad\text{lorsque }x\to 0, \]
on a
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1. \]
De même, en utilisant
\[ 1-\cos x\sim\frac{x^2}{2} \qquad\text{lorsque }x\to 0, \]
on obtient
\[ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}. \]
La substitution au moyen d'équivalents ne peut cependant pas être appliquée automatiquement dans les sommes et les différences, car une compensation des termes principaux peut se produire.
Par exemple, lorsque \(x\to+\infty\),
\[ x+1\sim x, \]
mais remplacer \(x+1\) par \(x\) dans la différence
\[ (x+1)-x \]
conduirait à tort à \(0\), alors que l'expression est identiquement égale à \(1\).
Les équivalents doivent donc être utilisés en tenant compte de la structure de l'expression : ils sont particulièrement efficaces dans les produits et les quotients, tandis que dans les sommes et les différences, il convient d'abord d'identifier le terme dominant, ou de transformer l'expression de façon appropriée.
Relation entre infiniment grands et infiniment petits
Les infiniment grands et les infiniment petits sont liés par l'opération de passage à l'inverse. Si \(f\) est infiniment grande, alors \(f(x)\neq 0\) au voisinage considéré, et
\[ \lim\frac{1}{f(x)}=0. \]
Réciproquement, si \(f\) est infiniment petite et si \(f(x)\neq 0\) au voisinage considéré, alors
\[ \lim\left|\frac{1}{f(x)}\right|=+\infty. \]
Si \(f(x)>0\) au voisinage considéré, son inverse tend vers \(+\infty\) ; si au contraire \(f(x)<0\) au voisinage considéré, l'inverse tend vers \(-\infty\). Si \(f(x)\) n'a pas de signe constant au voisinage considéré, l'inverse n'admet pas de limite infinie de signe déterminé, bien que sa valeur absolue tende vers \(+\infty\).
Par exemple, lorsque \(x\to 0\),
\[ x^2\to 0 \qquad\text{et}\qquad \frac{1}{x^2}\to+\infty. \]
En revanche, lorsque \(x\to 0^+\),
\[ x\to 0^+ \qquad\text{et}\qquad \frac{1}{x}\to+\infty, \]
tandis que lorsque \(x\to 0^-\),
\[ x\to 0^- \qquad\text{et}\qquad \frac{1}{x}\to-\infty. \]
Principales équivalences asymptotiques
Dans le calcul des limites, on utilise fréquemment certaines équivalences asymptotiques fondamentales. Les angles étant exprimés en radians, les équivalences suivantes sont valables lorsque \(x\to 0\) :
\[ \sin x\sim x, \qquad \tan x\sim x, \qquad \arcsin x\sim x, \qquad \arctan x\sim x; \]
\[ 1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}; \]
\[ e^x-1\sim x, \qquad \ln(1+x)\sim x; \]
\[ (1+x)^\alpha-1\sim\alpha x, \qquad \alpha\in\mathbb{R},\ \alpha\neq 0. \]
Ces équivalences découlent des limites usuelles et permettent de remplacer, lorsqu'ils apparaissent comme facteurs dans des produits ou des quotients, des infiniment petits plus complexes par des expressions plus simples.
Par exemple, puisque
\[ e^x-1\sim x \qquad\text{et}\qquad \sin x\sim x \qquad\text{lorsque }x\to 0, \]
on obtient
\[ \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{\sin x} = \lim_{x\to 0}\frac{x}{x} =1. \]
Hiérarchies fondamentales entre infiniment grands et infiniment petits
Lorsque \(x\to+\infty\), les principales familles de fonctions présentent des vitesses de croissance différentes. En particulier, pour tout \(\alpha>0\) et pour tout \(a>1\), on a
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^\alpha}=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{x^\alpha}{a^x}=0. \]
Cela signifie que toute puissance positive de \(x\) croît plus rapidement que le logarithme, tandis que toute fonction exponentielle de base supérieure à \(1\) croît plus rapidement que toute puissance positive de \(x\).
Pour exprimer cette hiérarchie de façon rigoureuse, une fois le processus de passage à la limite fixé et sous l'hypothèse que \(g(x)\neq 0\) au voisinage considéré, la notation
\[ f(x)=o(g(x)) \]
signifie que
\[ \lim\frac{f(x)}{g(x)}=0. \]
Par conséquent, lorsque \(x\to+\infty\),
\[ \ln(x)=o(x^\alpha) \qquad\text{et}\qquad x^\alpha=o(a^x). \]
Par exemple,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{x^{10}}{2^x}=0. \]
En passant aux inverses, on obtient la hiérarchie correspondante entre infiniment petits :
\[ \frac{1}{a^x}=o\left(\frac{1}{x^\alpha}\right) \qquad\text{et}\qquad \frac{1}{x^\alpha}=o\left(\frac{1}{\ln(x)}\right) \qquad\text{lorsque }x\to+\infty. \]
Dans chaque relation, la fonction figurant à gauche tend vers zéro plus rapidement, et constitue donc un infiniment petit d'ordre supérieur par rapport à celle figurant à droite.
Conclusion
Les notions d'infiniment grand et d'infiniment petit permettent de décrire et de comparer les principaux comportements asymptotiques des fonctions. Une fonction infiniment grande tend vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\), tandis qu'une fonction infiniment petite tend vers zéro ; dans les deux cas, le comportement doit toujours être rapporté à un processus de passage à la limite précis.
L'étude du rapport entre deux fonctions permet de comparer leur comportement : selon la limite obtenue, on peut établir laquelle des deux l'emporte, si elles sont de même ordre, ou si elles sont asymptotiquement équivalentes. Les équivalences se révèlent particulièrement utiles dans le calcul des limites, à condition d'être appliquées correctement et sans substitutions arbitraires dans les sommes et les différences.
Les infiniment grands et les infiniment petits constituent donc un langage essentiel pour reconnaître les termes dominants d'une expression et pour simplifier de façon rigoureuse l'étude des limites.