Exercices résolus sur les inéquations du second degré : apprenez à trouver les racines de l'équation associée, à étudier le signe de la parabole et à écrire correctement l'ensemble solution. Un recueil progressif avec étapes détaillées, cas particuliers et systèmes d'inéquations du second degré.
Exercice 1 — niveau ★★☆☆☆
\[ x^2 - 4 > 0 \]
Résultat
\[ x < -2 \quad \text{ou} \quad x > 2 \]
Résolution
Équation associée et racines
\[ x^2-4=(x-2)(x+2)=0 \implies x_1=-2,\quad x_2=2 \]
Étude du signe
Le coefficient de \(x^2\) est positif : la parabole est orientée vers le haut et le polynôme est positif à l'extérieur des racines.
\[ x^2-4 > 0 \iff x < -2 \;\text{ ou }\; x > 2 \]
Ensemble solution
\[ S = (-\infty,\,-2)\cup(2,\,+\infty) \]
Résultat
\[ \boxed{x < -2 \quad \text{ou} \quad x > 2} \]
Exercice 2 — niveau ★★☆☆☆
\[ x^2 - 9 \leq 0 \]
Résultat
\[ -3 \leq x \leq 3 \]
Résolution
Équation associée et racines
\[ x^2-9=(x-3)(x+3)=0 \implies x_1=-3,\quad x_2=3 \]
Étude du signe
Parabole orientée vers le haut : le polynôme est négatif ou nul entre les racines.
\[ x^2-9 \leq 0 \iff -3 \leq x \leq 3 \]
Ensemble solution
\[ S = [-3,\,3] \]
Résultat
\[ \boxed{-3 \leq x \leq 3} \]
Exercice 3 — niveau ★★☆☆☆
\[ x^2 - 5x + 6 > 0 \]
Résultat
\[ x < 2 \quad \text{ou} \quad x > 3 \]
Résolution
Équation associée et racines
Produit \(6\), somme \(-5\) : on trouve \(x_1=2\) et \(x_2=3\).
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0 \]
Étude du signe
Parabole orientée vers le haut : positif à l'extérieur des racines.
\[ x^2-5x+6 > 0 \iff x < 2 \;\text{ ou }\; x > 3 \]
Ensemble solution
\[ S = (-\infty,\,2)\cup(3,\,+\infty) \]
Résultat
\[ \boxed{x < 2 \quad \text{ou} \quad x > 3} \]
Exercice 4 — niveau ★★☆☆☆
\[ x^2 - 5x + 6 \leq 0 \]
Résultat
\[ 2 \leq x \leq 3 \]
Résolution
Équation associée et racines
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0 \implies x_1=2,\quad x_2=3 \]
Étude du signe
Parabole orientée vers le haut : le polynôme est négatif ou nul entre les racines. Par rapport à l'exercice précédent, seul le sens de l'inéquation change.
\[ x^2-5x+6 \leq 0 \iff 2 \leq x \leq 3 \]
Ensemble solution
\[ S = [2,\,3] \]
Résultat
\[ \boxed{2 \leq x \leq 3} \]
Exercice 5 — niveau ★★★☆☆
\[ x^2 - 7x + 12 > 0 \]
Résultat
\[ x < 3 \quad \text{ou} \quad x > 4 \]
Résolution
Équation associée et racines
Produit \(12\), somme \(-7\) : on trouve \(x_1=3\) et \(x_2=4\).
\[ x^2-7x+12=(x-3)(x-4)=0 \]
Étude du signe
\[ x^2-7x+12 > 0 \iff x < 3 \;\text{ ou }\; x > 4 \]
Ensemble solution
\[ S = (-\infty,\,3)\cup(4,\,+\infty) \]
Résultat
\[ \boxed{x < 3 \quad \text{ou} \quad x > 4} \]
Exercice 6 — niveau ★★★☆☆
\[ x^2 + x - 6 \leq 0 \]
Résultat
\[ -3 \leq x \leq 2 \]
Résolution
Équation associée et racines
Produit \(-6\), somme \(1\) : on trouve \(x_1=-3\) et \(x_2=2\).
\[ x^2+x-6=(x+3)(x-2)=0 \]
Étude du signe
Parabole orientée vers le haut : négatif ou nul entre les racines.
\[ x^2+x-6 \leq 0 \iff -3 \leq x \leq 2 \]
Ensemble solution
\[ S = [-3,\,2] \]
Résultat
\[ \boxed{-3 \leq x \leq 2} \]
Exercice 7 — niveau ★★★☆☆
\[ x^2 - 2x + 1 \geq 0 \]
Résultat
\[ x \in \mathbb{R} \quad \text{(toujours vraie)} \]
Résolution
Identification du carré parfait
\[ x^2-2x+1=(x-1)^2 \]
Analyse
Le carré d'un nombre réel est toujours positif ou nul : \((x-1)^2 \geq 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\). L'inéquation est vérifiée pour tout réel.
Ensemble solution
\[ S = \mathbb{R} \]
Résultat
\[ \boxed{x \in \mathbb{R}} \]
Exercice 8 — niveau ★★★☆☆
\[ x^2 - 2x + 1 < 0 \]
Résultat
Aucune solution
Résolution
Identification du carré parfait
\[ x^2-2x+1=(x-1)^2 \]
Analyse
Le carré d'un nombre réel est toujours \(\geq 0\) : il ne peut jamais être strictement négatif. L'inéquation est impossible.
Ensemble solution
\[ S = \emptyset \]
Résultat
\[ \boxed{\text{Aucune solution}} \]
Exercice 9 — niveau ★★★☆☆
\[ x^2 - 2x + 5 > 0 \]
Résultat
\[ x \in \mathbb{R} \quad \text{(toujours vraie)} \]
Résolution
Calcul du discriminant
\[ \Delta = 4 - 20 = -16 \]
Analyse
Comme \(\Delta < 0\), le polynôme n'a pas de racines réelles. Le coefficient de \(x^2\) étant positif, la parabole est entièrement au-dessus de l'axe des abscisses : le polynôme est donc toujours positif.
Ensemble solution
\[ S = \mathbb{R} \]
Résultat
\[ \boxed{x \in \mathbb{R}} \]
Exercice 10 — niveau ★★★☆☆
\[ x^2 - 4x + 5 \leq 0 \]
Résultat
Aucune solution
Résolution
Calcul du discriminant
\[ \Delta = 16 - 20 = -4 \]
Analyse
Comme \(\Delta < 0\) et le coefficient de \(x^2\) est positif, la parabole est entièrement au-dessus de l'axe des abscisses : le polynôme n'est donc jamais \(\leq 0\).
Ensemble solution
\[ S = \emptyset \]
Résultat
\[ \boxed{\text{Aucune solution}} \]
Exercice 11 — niveau ★★★★☆
\[ x^2 > 2x + 3 \]
Résultat
\[ x < -1 \quad \text{ou} \quad x > 3 \]
Résolution
Mise sous forme standard
\[ x^2-2x-3 > 0 \]
Équation associée et racines
\[ x^2-2x-3=(x-3)(x+1)=0 \implies x_1=-1,\quad x_2=3 \]
Étude du signe
Parabole orientée vers le haut : positif à l'extérieur des racines.
\[ x < -1 \;\text{ ou }\; x > 3 \]
Ensemble solution
\[ S = (-\infty,\,-1)\cup(3,\,+\infty) \]
Résultat
\[ \boxed{x < -1 \quad \text{ou} \quad x > 3} \]
Exercice 12 — niveau ★★★★☆
\[ 3x^2 - x - 2 \leq 0 \]
Résultat
\[ -\dfrac{2}{3} \leq x \leq 1 \]
Résolution
Équation associée et racines
\[ \Delta = 1+24=25 \implies x = \frac{1\pm5}{6} \implies x_1=-\frac{2}{3},\quad x_2=1 \]
Factorisation
\[ 3x^2-x-2=(3x+2)(x-1) \]
Vérification : \((3x+2)(x-1)=3x^2-3x+2x-2=3x^2-x-2\) ✓
Étude du signe
Coefficient de \(x^2\) positif : négatif ou nul entre les racines.
\[ -\frac{2}{3} \leq x \leq 1 \]
Ensemble solution
\[ S = \left[-\frac{2}{3},\,1\right] \]
Résultat
\[ \boxed{-\dfrac{2}{3} \leq x \leq 1} \]
Exercice 13 — niveau ★★★★☆
\[ -x^2 + 4x - 3 \geq 0 \]
Résultat
\[ 1 \leq x \leq 3 \]
Résolution
Changement de signe
On multiplie par \(-1\) : le coefficient de \(x^2\) devient positif et le sens de l'inéquation s'inverse.
\[ x^2 - 4x + 3 \leq 0 \]
Équation associée et racines
\[ x^2-4x+3=(x-1)(x-3)=0 \implies x_1=1,\quad x_2=3 \]
Étude du signe
Négatif ou nul entre les racines : \(1 \leq x \leq 3\).
Ensemble solution
\[ S = [1,\,3] \]
Résultat
\[ \boxed{1 \leq x \leq 3} \]
Exercice 14 — niveau ★★★★☆
\[ 2x^2 + 5x - 3 < 0 \]
Résultat
\[ -3 < x < \dfrac{1}{2} \]
Résolution
Équation associée et racines
\[ \Delta = 25+24=49 \implies x = \frac{-5\pm7}{4} \implies x_1=-3,\quad x_2=\frac{1}{2} \]
Factorisation
\[ 2x^2+5x-3=(2x-1)(x+3) \]
Étude du signe
Coefficient de \(x^2\) positif : strictement négatif entre les racines.
\[ -3 < x < \frac{1}{2} \]
Ensemble solution
\[ S = \left(-3,\,\frac{1}{2}\right) \]
Résultat
\[ \boxed{-3 < x < \dfrac{1}{2}} \]
Exercice 15 — niveau ★★★★☆
\[ x^2 - 6x + 9 > 0 \]
Résultat
\[ x \in \mathbb{R}\setminus\{3\} \]
Résolution
Identification du carré parfait
\[ x^2-6x+9=(x-3)^2 \]
Analyse
\(\Delta=0\) : racine double en \(x=3\). La parabole est toujours \(\geq 0\) et s'annule uniquement en \(x=3\). Pour l'inéquation stricte, on exclut le point de contact avec l'axe des abscisses.
\[ (x-3)^2 > 0 \iff x \neq 3 \]
Ensemble solution
\[ S = \mathbb{R}\setminus\{3\} = (-\infty,\,3)\cup(3,\,+\infty) \]
Résultat
\[ \boxed{x \in \mathbb{R}\setminus\{3\}} \]
Exercice 16 — niveau ★★★★☆
\[ x(x-4) \geq 5 \]
Résultat
\[ x \leq -1 \quad \text{ou} \quad x \geq 5 \]
Résolution
Mise sous forme standard
\[ x^2-4x-5 \geq 0 \]
Équation associée et racines
\[ \Delta = 16+20=36 \implies x = \frac{4\pm6}{2} \implies x_1=-1,\quad x_2=5 \]
Factorisation
\[ x^2-4x-5=(x+1)(x-5) \]
Étude du signe
Positif ou nul à l'extérieur des racines : \(x \leq -1\) ou \(x \geq 5\).
Vérification
\(x=5\) : \(5\cdot1=5\geq5\) \(x=-1\) : \((-1)(-5)=5\geq5\)
Résultat
\[ \boxed{x \leq -1 \quad \text{ou} \quad x \geq 5} \]
Exercice 17 — niveau ★★★★★
\[ \begin{cases} x^2-5x+4 < 0 \\ x^2-4 > 0 \end{cases} \]
Résultat
\[ 2 < x < 4 \]
Résolution
Première inéquation
\[ x^2-5x+4=(x-1)(x-4) < 0 \implies 1 < x < 4 \]
Deuxième inéquation
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) > 0 \implies x < -2 \;\text{ ou }\; x > 2 \]
Intersection
On calcule l'intersection de \((1,\,4)\) et de \((-\infty,-2)\cup(2,+\infty)\) :
\[ (1 < x < 4)\;\cap\;(x > 2) \;=\; 2 < x < 4 \]
Ensemble solution
\[ S = (2,\,4) \]
Résultat
\[ \boxed{2 < x < 4} \]
Exercice 18 — niveau ★★★★★
\[ (x^2-4x+3)(x^2-x-2) \leq 0 \]
Résultat
\[ -1 \leq x \leq 1 \quad \text{ou} \quad 2 \leq x \leq 3 \]
Résolution
Factorisation
\[ x^2-4x+3=(x-1)(x-3) \qquad x^2-x-2=(x-2)(x+1) \]
Les racines du produit sont \(x=-1,\,1,\,2,\,3\).
Tableau de signes de \((x-1)(x-3)(x-2)(x+1)\)
\(x < -1\) : quatre facteurs négatifs \(\to\) produit \(> 0\)
\(-1 < x < 1\) : trois facteurs négatifs \(\to\) produit \(< 0\)
\(1 < x < 2\) : deux facteurs négatifs \(\to\) produit \(> 0\)
\(2 < x < 3\) : un facteur négatif \(\to\) produit \(< 0\)
\(x > 3\) : aucun facteur négatif \(\to\) produit \(> 0\)
Solution \(\leq 0\)
Le produit est négatif ou nul dans les intervalles de signe \(-\) et aux points d'annulation.
Ensemble solution
\[ S = [-1,\,1]\cup[2,\,3] \]
Résultat
\[ \boxed{-1 \leq x \leq 1 \quad \text{ou} \quad 2 \leq x \leq 3} \]
Exercice 19 — niveau ★★★★★
\[ \begin{cases} 2x^2-5x+2 > 0 \\ x^2-x-2 < 0 \end{cases} \]
Résultat
\[ -1 < x < \dfrac{1}{2} \]
Résolution
Première inéquation
\[ \Delta=9 \implies x_1=\tfrac{1}{2},\; x_2=2 \qquad (2x-1)(x-2) > 0 \implies x < \frac{1}{2} \;\text{ ou }\; x > 2 \]
Deuxième inéquation
\[ (x-2)(x+1) < 0 \implies -1 < x < 2 \]
Intersection
\[ \left(x < \tfrac{1}{2} \;\text{ ou }\; x > 2\right)\cap\left(-1 < x < 2\right) = -1 < x < \frac{1}{2} \]
Ensemble solution
\[ S = \left(-1,\,\tfrac{1}{2}\right) \]
Résultat
\[ \boxed{-1 < x < \dfrac{1}{2}} \]
Exercice 20 — niveau ★★★★★
\[ x(x-2) > x-2 \]
Résultat
\[ x < 1 \quad \text{ou} \quad x > 2 \]
Résolution
Mise sous forme standard
\[ x(x-2)-(x-2) > 0 \]
Mise en facteur de \((x-2)\)
\[ (x-2)(x-1) > 0 \]
Racines et étude du signe
Racines : \(x=1\) et \(x=2\). Parabole orientée vers le haut : positif à l'extérieur des racines.
\[ x < 1 \;\text{ ou }\; x > 2 \]
Vérification
\(x=0\) : \(0 > -2\) \(x=3\) : \(3 > 1\) \(x=1{,}5\) : \(-0{,}75 > -0{,}5\) — faux, n'est pas solution
Ensemble solution
\[ S = (-\infty,\,1)\cup(2,\,+\infty) \]
Résultat
\[ \boxed{x < 1 \quad \text{ou} \quad x > 2} \]