Inéquations du Premier Degré : Exercices Résolus et Règles Fondamentales. Guide pratique pour résoudre les inéquations du premier degré pas à pas. Découvrez comment gérer l’inversion du sens, appliquer les principes d’équivalence et écrire correctement les solutions sous forme d’intervalle.
Exercice 1 — niveau ★★☆☆☆
\[ 2x + 3 > 7 \]
Résultat
\[ x > 2 \]
Résolution
Idée directrice
On isole \(x\) au premier membre en appliquant les mêmes opérations que dans une équation. Comme on divise par un nombre positif, le sens de l’inéquation ne change pas.
Isolation de l’inconnue
On soustrait \(3\) aux deux membres :
\[ 2x > 7-3 \implies 2x > 4 \]
On divise par \(2\) (positif, le sens reste inchangé) :
\[ x > 2 \]
Ensemble solution
\[ S = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 2\} = (2,\,+\infty) \]
Résultat
\[ \boxed{x > 2} \]
Exercice 2 — niveau ★★☆☆☆
\[ 3x - 5 \leq 4 \]
Résultat
\[ x \leq 3 \]
Résolution
Isolation de l’inconnue
On ajoute \(5\) aux deux membres :
\[ 3x \leq 9 \]
On divise par \(3\) (positif, sens inchangé) :
\[ x \leq 3 \]
Ensemble solution
\[ S = (-\infty,\,3] \]
Résultat
\[ \boxed{x \leq 3} \]
Exercice 3 — niveau ★★☆☆☆
\[ -2x + 1 < 5 \]
Résultat
\[ x > -2 \]
Résolution
Attention au signe
Lorsqu’on divise ou multiplie par un nombre négatif, le sens de l’inéquation s’inverse.
Isolation de l’inconnue
On soustrait \(1\) aux deux membres :
\[ -2x < 4 \]
On divise par \(-2\) (négatif) : le sens s’inverse de \(<\) à \(>\) :
\[ x > -2 \]
Ensemble solution
\[ S = (-2,\,+\infty) \]
Résultat
\[ \boxed{x > -2} \]
Exercice 4 — niveau ★★☆☆☆
\[ 4x - 8 \geq 0 \]
Résultat
\[ x \geq 2 \]
Résolution
Isolation de l’inconnue
On ajoute \(8\) aux deux membres :
\[ 4x \geq 8 \]
On divise par \(4\) (positif, sens inchangé) :
\[ x \geq 2 \]
Ensemble solution
\[ S = [2,\,+\infty) \]
Résultat
\[ \boxed{x \geq 2} \]
Exercice 5 — niveau ★★★☆☆
\[ 3x + 2 > x + 8 \]
Résultat
\[ x > 3 \]
Résolution
Regroupement des termes en \(x\)
On regroupe les termes en \(x\) au premier membre et les constantes au second :
\[ 3x-x > 8-2 \implies 2x > 6 \implies x > 3 \]
Ensemble solution
\[ S = (3,\,+\infty) \]
Résultat
\[ \boxed{x > 3} \]
Exercice 6 — niveau ★★★☆☆
\[ 5x - 3 \leq 2x + 9 \]
Résultat
\[ x \leq 4 \]
Résolution
Regroupement des termes
\[ 5x-2x \leq 9+3 \implies 3x \leq 12 \implies x \leq 4 \]
Ensemble solution
\[ S = (-\infty,\,4] \]
Résultat
\[ \boxed{x \leq 4} \]
Exercice 7 — niveau ★★★☆☆
\[ 2(x + 1) < 3(x - 1) \]
Résultat
\[ x > 5 \]
Résolution
Développement des facteurs
\[ 2x+2 < 3x-3 \]
Regroupement des termes
\[ 2x-3x < -3-2 \implies -x < -5 \implies x > 5 \]
En divisant par \(-1\), le sens de l’inéquation s’inverse.
Ensemble solution
\[ S = (5,\,+\infty) \]
Résultat
\[ \boxed{x > 5} \]
Exercice 8 — niveau ★★★☆☆
\[ \frac{x}{2} + 1 > \frac{x}{3} \]
Résultat
\[ x > -6 \]
Résolution
Élimination des fractions
Le ppcm de \(2\) et \(3\) est \(6\). On multiplie tout par \(6\) (positif, sens inchangé) :
\[ 3x + 6 > 2x \]
Regroupement des termes
\[ 3x-2x > -6 \implies x > -6 \]
Ensemble solution
\[ S = (-6,\,+\infty) \]
Résultat
\[ \boxed{x > -6} \]
Exercice 9 — niveau ★★★☆☆
\[ \frac{x - 1}{2} \leq \frac{x + 3}{4} \]
Résultat
\[ x \leq 5 \]
Résolution
Élimination des fractions
Le ppcm de \(2\) et \(4\) est \(4\). On multiplie tout par \(4\) :
\[ 2(x-1) \leq x+3 \implies 2x-2 \leq x+3 \]
Regroupement des termes
\[ 2x-x \leq 3+2 \implies x \leq 5 \]
Ensemble solution
\[ S = (-\infty,\,5] \]
Résultat
\[ \boxed{x \leq 5} \]
Exercice 10 — niveau ★★★☆☆
\[ 3(2x - 1) \geq 2(x + 5) \]
Résultat
\[ x \geq \dfrac{13}{4} \]
Résolution
Développement des facteurs
\[ 6x-3 \geq 2x+10 \]
Regroupement des termes
\[ 6x-2x \geq 10+3 \implies 4x \geq 13 \implies x \geq \frac{13}{4} \]
Ensemble solution
\[ S = \left[\frac{13}{4},\,+\infty\right) \]
Résultat
\[ \boxed{x \geq \dfrac{13}{4}} \]
Exercice 11 — niveau ★★★★☆
\[ \begin{cases} x + 1 > 0 \\ 2x - 3 < 5 \end{cases} \]
Résultat
\[ -1 < x < 4 \]
Résolution
Idée directrice
On résout chaque inéquation séparément, puis on prend l’intersection des ensembles solution.
Première inéquation
\[ x+1>0 \implies x>-1 \]
Deuxième inéquation
\[ 2x-3<5 \implies 2x<8 \implies x<4 \]
Intersection
\[ x>-1 \;\text{ et }\; x<4 \implies -1<x<4 \]
Ensemble solution
\[ S = (-1,\,4) \]
Résultat
\[ \boxed{-1 < x < 4} \]
Exercice 12 — niveau ★★★★☆
\[ \begin{cases} 3x - 2 \geq 1 \\ x + 5 > 2x \end{cases} \]
Résultat
\[ 1 \leq x < 5 \]
Résolution
Première inéquation
\[ 3x-2\geq1 \implies 3x\geq3 \implies x\geq1 \]
Deuxième inéquation
\[ x+5>2x \implies 5>x \implies x<5 \]
Intersection
\[ x\geq1 \;\text{ et }\; x<5 \implies 1\leq x<5 \]
Ensemble solution
\[ S = [1,\,5) \]
Résultat
\[ \boxed{1 \leq x < 5} \]
Exercice 13 — niveau ★★★★☆
\[ -1 < 2x + 3 < 7 \]
Résultat
\[ -2 < x < 2 \]
Résolution
Idée directrice
Il s’agit d’une double inéquation. On applique les mêmes opérations aux trois membres simultanément.
Soustraction de \(3\) dans tous les membres
\[ -1-3 < 2x+3-3 < 7-3 \implies -4 < 2x < 4 \]
Division par \(2\) dans tous les membres
Le diviseur est positif, les sens restent inchangés :
\[ -2 < x < 2 \]
Ensemble solution
\[ S = (-2,\,2) \]
Résultat
\[ \boxed{-2 < x < 2} \]
Exercice 14 — niveau ★★★★☆
\[ \begin{cases} 2x - 1 > 3 \\ 3x + 2 < 14 \end{cases} \]
Résultat
\[ 2 < x < 4 \]
Résolution
Première inéquation
\[ 2x-1>3 \implies 2x>4 \implies x>2 \]
Deuxième inéquation
\[ 3x+2<14 \implies 3x<12 \implies x<4 \]
Intersection
\[ x>2 \;\text{ et }\; x<4 \implies 2<x<4 \]
Ensemble solution
\[ S = (2,\,4) \]
Résultat
\[ \boxed{2 < x < 4} \]
Exercice 15 — niveau ★★★★☆
\[ \begin{cases} \dfrac{x}{2} - 1 \geq 0 \\[6pt] \dfrac{x + 3}{3} < 2 \end{cases} \]
Résultat
\[ 2 \leq x < 3 \]
Résolution
Première inéquation
\[ \frac{x}{2}\geq1 \implies x\geq2 \]
Deuxième inéquation
On multiplie par \(3\) (positif) :
\[ x+3<6 \implies x<3 \]
Intersection
\[ x\geq2 \;\text{ et }\; x<3 \implies 2\leq x<3 \]
Ensemble solution
\[ S = [2,\,3) \]
Résultat
\[ \boxed{2 \leq x < 3} \]
Exercice 16 — niveau ★★★★☆
\[ \begin{cases} x > 5 \\ x < 3 \end{cases} \]
Résultat
Aucune solution
Résolution
Première inéquation
\[ x>5 \implies S_1=(5,\,+\infty) \]
Deuxième inéquation
\[ x<3 \implies S_2=(-\infty,\,3) \]
Intersection
\[ S_1 \cap S_2 = (5,\,+\infty) \cap (-\infty,\,3) = \emptyset \]
Il n’existe aucun nombre réel qui soit à la fois supérieur à \(5\) et inférieur à \(3\).
Résultat
\[ \boxed{\text{Aucune solution} \quad S = \emptyset} \]
Exercice 17 — niveau ★★★★★
\[ \frac{2x - 3}{4} - \frac{x + 1}{3} > \frac{1}{6} \]
Résultat
\[ x > \dfrac{15}{2} \]
Résolution
Élimination des fractions
Le ppcm de \(4\), \(3\) et \(6\) est \(12\). On multiplie tout par \(12\) (positif) :
\[ 3(2x-3) - 4(x+1) > 2 \]
Développement
\[ 6x-9-4x-4 > 2 \implies 2x-13 > 2 \implies 2x > 15 \implies x > \frac{15}{2} \]
Vérification avec \(x=8\)
\[ \frac{13}{4}-\frac{9}{3}=\frac{13}{4}-3=\frac{1}{4}>\frac{1}{6} \]
Ensemble solution
\[ S = \left(\frac{15}{2},\,+\infty\right) \]
Résultat
\[ \boxed{x > \dfrac{15}{2}} \]
Exercice 18 — niveau ★★★★★
\[ 3(x - 2) - 2(2x + 1) \geq x - 5 \]
Résultat
\[ x \leq -\dfrac{3}{2} \]
Résolution
Développement des facteurs
\[ 3x-6-4x-2 \geq x-5 \implies -x-8 \geq x-5 \]
Regroupement des termes
\[ -x-x \geq -5+8 \implies -2x \geq 3 \]
On divise par \(-2\) (négatif) : le sens s’inverse de \(\geq\) à \(\leq\) :
\[ x \leq -\frac{3}{2} \]
Vérification avec \(x=-2\)
\[ 3(-4)-2(-3)=-12+6=-6 \] et \[ -2-5=-7 \]. Comme \(-6\geq-7\)
Ensemble solution
\[ S = \left(-\infty,\,-\frac{3}{2}\right] \]
Résultat
\[ \boxed{x \leq -\dfrac{3}{2}} \]
Exercice 19 — niveau ★★★★★
\[ \begin{cases} \dfrac{x-1}{2} < \dfrac{x}{3} + 1 \\[8pt] 2x - 3 > x - 7 \end{cases} \]
Résultat
\[ -4 < x < 9 \]
Résolution
Première inéquation
On multiplie par le ppcm \(6\) :
\[ 3(x-1)<2x+6 \implies 3x-3<2x+6 \implies x<9 \]
Deuxième inéquation
\[ 2x-x>-7+3 \implies x>-4 \]
Intersection
\[ x>-4 \;\text{ et }\; x<9 \implies -4<x<9 \]
Ensemble solution
\[ S = (-4,\,9) \]
Résultat
\[ \boxed{-4 < x < 9} \]
Exercice 20 — niveau ★★★★★
\[ \begin{cases} \dfrac{x}{3} - 1 \leq \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{6} \\[8pt] 2x + 3 \geq \dfrac{x}{2} - 3 \end{cases} \]
Résultat
\[ x \geq -4 \]
Résolution
Première inéquation
On multiplie par le ppcm \(6\) :
\[ 2x-6 \leq 3x+1 \implies -x\leq7 \implies x\geq-7 \]
Deuxième inéquation
On multiplie par \(2\) :
\[ 4x+6 \geq x-6 \implies 3x\geq-12 \implies x\geq-4 \]
Intersection
\[ x\geq-7 \;\text{ et }\; x\geq-4 \]
La condition la plus restrictive est \(x\geq-4\).
Ensemble solution
\[ S = [-4,\,+\infty) \]
Résultat
\[ \boxed{x \geq -4} \]