Les fonctions paires et les fonctions impaires se caractérisent par des propriétés de symétrie précises. Une fonction paire prend la même valeur en deux points opposés \(x\) et \(-x\), tandis qu'une fonction impaire prend des valeurs opposées en ces deux points.
D'un point de vue géométrique, le graphe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, tandis que le graphe d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine. Ces symétries permettent de simplifier l'étude du graphe et s'avèrent particulièrement utiles dans le calcul des intégrales sur des intervalles symétriques.
Avant de définir formellement les fonctions paires et impaires, il faut toutefois préciser une condition fondamentale : le domaine de la fonction doit être symétrique par rapport à l'origine. En effet, pour comparer \(f(x)\) et \(f(-x)\), ces deux valeurs doivent être définies.
Sommaire
- Domaine symétrique par rapport à l'origine
- Fonctions paires
- Interprétation géométrique des fonctions paires
- Fonctions impaires
- Interprétation géométrique des fonctions impaires
- Fonctions ni paires ni impaires
- Fonctions à la fois paires et impaires
- Somme de fonctions paires et impaires
- Produit de fonctions paires et impaires
- Intégrales de fonctions paires et impaires sur des intervalles symétriques
- Décomposition en partie paire et partie impaire
- Unicité de la décomposition
Domaine symétrique par rapport à l'origine
Pour parler correctement de fonction paire ou de fonction impaire, le domaine doit posséder une propriété préliminaire : il doit être symétrique par rapport à l'origine.
Un ensemble \(X\subseteq\mathbb R\) est dit symétrique par rapport à l'origine si, pour tout élément \(x\in X\), son opposé \(-x\) appartient lui aussi à \(X\). En symboles :
\[ x\in X \implies -x\in X. \]
Cette condition signifie que le domaine contient toujours les couples de points opposés \(x\) et \(-x\).
Par exemple, les ensembles
\[ \mathbb R, \qquad [-a,a], \qquad (-a,a), \qquad \mathbb R\setminus\{0\} \]
sont symétriques par rapport à l'origine.
En revanche, les ensembles
\[ [0,+\infty), \qquad (0,+\infty), \qquad [1,3] \]
ne sont pas symétriques par rapport à l'origine. Par exemple, \(1\in[0,+\infty)\), mais \(-1\notin[0,+\infty)\).
La symétrie du domaine est essentielle car, pour déterminer si une fonction est paire ou impaire, on doit comparer les valeurs \(f(x)\) et \(f(-x)\). Si \(x\) appartient au domaine mais que \(-x\) n'y appartient pas, alors \(f(-x)\) n'est pas défini et la comparaison n'a pas de sens.
Par conséquent, une fonction ne peut être paire ou impaire que si son domaine est symétrique par rapport à l'origine.
Fonctions paires
Soit \(f:X\to\mathbb R\) une fonction définie sur un domaine \(X\subseteq\mathbb R\) symétrique par rapport à l'origine. La fonction \(f\) est dite paire si, pour tout \(x\in X\), on a
\[ f(-x)=f(x). \]
Autrement dit, une fonction est paire si elle prend la même valeur en deux points opposés du domaine. Cette condition doit être satisfaite pour tout élément du domaine.
La définition comporte donc deux aspects distincts :
- le domaine doit être symétrique par rapport à l'origine ;
- la fonction doit prendre la même valeur en \(x\) et en \(-x\).
Si l'une de ces deux conditions n'est pas remplie, la fonction n'est pas paire.
Considérons la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2. \]
Le domaine est \(\mathbb R\), il est donc symétrique par rapport à l'origine. De plus, pour tout \(x\in\mathbb R\), on a
\[ f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x). \]
La fonction \(f(x)=x^2\) est donc paire.
La fonction cosinus est elle aussi paire. En effet, pour tout \(x\in\mathbb R\), l'identité trigonométrique
\[ \cos(-x)=\cos x \]
est vérifiée. Donc la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=\cos x \]
est une fonction paire.
Un autre exemple est la fonction cosinus hyperbolique. En rappelant que
\[ \operatorname{ch} x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}, \]
on obtient
\[ \operatorname{ch}(-x)=\frac{e^{-x}+e^x}{2}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\operatorname{ch} x. \]
Par conséquent, \(f(x)=\operatorname{ch} x\) est paire.
Considérons enfin la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^{-x^2}. \]
Pour tout \(x\in\mathbb R\), on a
\[ f(-x)=e^{-(-x)^2}=e^{-x^2}=f(x). \]
La fonction \(f(x)=e^{-x^2}\) est donc, elle aussi, paire.
Interprétation géométrique des fonctions paires
Le graphe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
En effet, si \(f\) est paire, alors pour tout \(x\) du domaine
\[ f(-x)=f(x). \]
Cela signifie que les points du graphe correspondant à \(x\) et à \(-x\) ont la même ordonnée :
\[ (x,f(x)) \qquad \text{et} \qquad (-x,f(-x))=(-x,f(x)). \]
Les deux points sont symétriques par rapport à l'axe \(y\). Par conséquent, l'ensemble du graphe de la fonction est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Cette propriété est utile dans l'étude du graphe : si une fonction est paire, il suffit de l'étudier pour \(x\ge 0\). La partie du graphe correspondant à \(x<0\) s'obtient ensuite par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
Fonctions impaires
Soit \(f:X\to\mathbb R\) une fonction définie sur un domaine \(X\subseteq\mathbb R\) symétrique par rapport à l'origine. La fonction \(f\) est dite impaire si, pour tout \(x\in X\), on a
\[ f(-x)=-f(x). \]
Autrement dit, une fonction est impaire si elle prend des valeurs opposées en deux points opposés du domaine. Là encore, la condition doit être satisfaite pour tout élément du domaine.
La définition exige donc deux aspects distincts :
- le domaine doit être symétrique par rapport à l'origine ;
- la fonction doit prendre des valeurs opposées en \(x\) et en \(-x\).
Si l'une de ces deux conditions n'est pas remplie, la fonction n'est pas impaire.
Considérons la fonction sinus :
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=\sin x. \]
Le domaine est \(\mathbb R\), il est donc symétrique par rapport à l'origine. De plus, pour tout \(x\in\mathbb R\), l'identité trigonométrique
\[ \sin(-x)=-\sin x \]
est vérifiée. La fonction \(f(x)=\sin x\) est donc impaire.
Un autre exemple fondamental est la fonction cubique :
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^3. \]
Pour tout \(x\in\mathbb R\), on a
\[ f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x). \]
La fonction \(f(x)=x^3\) est donc impaire.
De nombreuses autres fonctions élémentaires sont également impaires, par exemple
\[ f(x)=x,\qquad f(x)=x^5,\qquad f(x)=\tan x \]
sur leurs domaines respectifs. Dans tous les cas, la vérification consiste toujours à calculer \(f(-x)\) et à vérifier que l'on obtient bien \(-f(x)\).
Interprétation géométrique des fonctions impaires
Le graphe d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine.
En effet, si \(f\) est impaire, alors pour tout \(x\) du domaine
\[ f(-x)=-f(x). \]
Donc, si le point
\[ (x,f(x)) \]
appartient au graphe de la fonction, alors le graphe contient aussi le point
\[ (-x,f(-x))=(-x,-f(x)). \]
Les points \((x,f(x))\) et \((-x,-f(x))\) sont symétriques par rapport à l'origine. Par conséquent, l'ensemble du graphe de la fonction est symétrique par rapport à l'origine.
De manière équivalente, en faisant tourner le graphe d'une fonction impaire de \(180^\circ\) autour de l'origine, on retrouve le même graphe.
Cette propriété est utile dans l'étude du graphe : si une fonction est impaire, il suffit de l'étudier pour \(x\ge 0\). La partie du graphe correspondant à \(x<0\) s'obtient ensuite par symétrie par rapport à l'origine.
Fonctions ni paires ni impaires
Une fonction peut n'être ni paire ni impaire. Cela peut se produire pour deux raisons différentes.
La première raison concerne le domaine : si le domaine n'est pas symétrique par rapport à l'origine, la fonction ne peut pas être classée comme paire ou impaire selon les définitions données. En effet, il se peut que \(x\) appartienne au domaine sans que \(-x\) y appartienne, de sorte que la valeur \(f(-x)\) ne soit pas définie.
Par exemple, la fonction
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
n'est pas considérée comme paire en tant que fonction définie sur \([0,+\infty)\), car son domaine n'est pas symétrique par rapport à l'origine.
La seconde raison concerne, quant à elle, l'expression de la fonction. Même lorsque le domaine est symétrique par rapport à l'origine, il peut arriver qu'aucune des deux égalités
\[ f(-x)=f(x) \]
et
\[ f(-x)=-f(x) \]
ne soit vérifiée. Dans ce cas, la fonction n'est ni paire ni impaire.
Considérons, par exemple, la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^x. \]
Le domaine est \(\mathbb R\), il est donc symétrique par rapport à l'origine. Cependant, pour tout \(x\in\mathbb R\), on a
\[ f(-x)=e^{-x}. \]
En général, \(e^{-x}\ne e^x\), donc la fonction n'est pas paire. De plus, en général, \(e^{-x}\ne -e^x\), donc la fonction n'est pas impaire.
Par conséquent, \(f(x)=e^x\) n'est ni paire ni impaire.
La fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x+1 \]
n'est, elle non plus, ni paire ni impaire. En effet,
\[ f(-x)=-x+1. \]
En général, \(-x+1\ne x+1\), donc la fonction n'est pas paire ; de plus, \(-x+1\ne -(x+1)\), donc la fonction n'est pas impaire.
Fonctions à la fois paires et impaires
Une fonction réelle définie sur un domaine symétrique par rapport à l'origine ne peut être à la fois paire et impaire que dans un seul cas particulier : lorsqu'elle est identiquement nulle sur son domaine.
Soit \(f:X\to\mathbb R\) une fonction définie sur un domaine \(X\subseteq\mathbb R\) symétrique par rapport à l'origine. Si \(f\) est à la fois paire et impaire, alors, pour tout \(x\in X\), les deux relations
\[ f(-x)=f(x) \]
et
\[ f(-x)=-f(x) \]
sont simultanément vérifiées. En comparant les deux égalités, on obtient
\[ f(x)=-f(x). \]
Donc
\[ 2f(x)=0, \]
et par conséquent
\[ f(x)=0. \]
Comme ceci est vrai pour tout \(x\in X\), la fonction est identiquement nulle :
\[ f\equiv 0. \]
Réciproquement, la fonction nulle est à la fois paire et impaire. En effet, si \(f(x)=0\) pour tout \(x\in X\), alors
\[ f(-x)=0=f(x) \]
et également
\[ f(-x)=0=-0=-f(x). \]
Ainsi, sur un domaine symétrique par rapport à l'origine, les seules fonctions réelles à la fois paires et impaires sont les fonctions identiquement nulles.
Somme de fonctions paires et impaires
Le caractère pair ou impair d'une fonction se comporte de façon simple vis-à-vis de la somme de fonctions.
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions réelles définies respectivement sur des domaines symétriques \(D_f\) et \(D_g\). La somme \(f+g\) est définie sur le domaine commun
\[ D=D_f\cap D_g. \]
Comme \(D_f\) et \(D_g\) sont symétriques par rapport à l'origine, \(D\) l'est également.
Si \(f\) et \(g\) sont toutes deux paires, alors, pour tout \(x\in D\),
\[ (f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x). \]
La somme de deux fonctions paires est donc encore une fonction paire.
Si, en revanche, \(f\) et \(g\) sont toutes deux impaires, alors, pour tout \(x\in D\),
\[ (f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f(x)+g(x)). \]
Comme
\[ -(f(x)+g(x))=-(f+g)(x), \]
on obtient
\[ (f+g)(-x)=-(f+g)(x). \]
La somme de deux fonctions impaires est donc encore une fonction impaire.
En revanche, la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire n'est, en général, ni paire ni impaire. Par exemple,
\[ f(x)=x^2+x \]
est la somme de la fonction paire \(x^2\) et de la fonction impaire \(x\), mais elle n'est ni paire ni impaire.
Produit de fonctions paires et impaires
Le produit de fonctions paires et impaires obéit lui aussi à des règles précises.
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions réelles définies sur des domaines symétriques \(D_f\) et \(D_g\). Le produit \(fg\) est défini sur le domaine commun
\[ D=D_f\cap D_g. \]
Si \(f\) et \(g\) sont toutes deux paires, alors, pour tout \(x\in D\),
\[ (fg)(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)g(x)=(fg)(x). \]
Le produit de deux fonctions paires est donc pair.
Si \(f\) et \(g\) sont toutes deux impaires, alors
\[ (fg)(-x)=f(-x)g(-x)=(-f(x))(-g(x))=f(x)g(x)=(fg)(x). \]
Le produit de deux fonctions impaires est donc pair.
Enfin, si \(f\) est paire et \(g\) impaire, alors
\[ (fg)(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)(-g(x))=-f(x)g(x)=-(fg)(x). \]
Le produit d'une fonction paire et d'une fonction impaire est donc impair.
En résumé :
\[ \text{paire}\cdot\text{paire}=\text{paire}, \qquad \text{impaire}\cdot\text{impaire}=\text{paire}, \qquad \text{paire}\cdot\text{impaire}=\text{impaire}. \]
Intégrales de fonctions paires et impaires sur des intervalles symétriques
Les fonctions paires et impaires sont particulièrement utiles dans le calcul des intégrales définies sur des intervalles symétriques par rapport à l'origine.
Soit \(a>0\) et soit \(f\) une fonction intégrable sur \([-a,a]\).
Si \(f\) est paire, alors
\[ \int_{-a}^{a} f(x)\,dx=2\int_0^a f(x)\,dx. \]
En effet, on peut écrire
\[ \int_{-a}^{a} f(x)\,dx=\int_{-a}^{0} f(x)\,dx+\int_0^a f(x)\,dx. \]
Dans la première intégrale, on pose \(x=-t\). Lorsque \(x=-a\), on a \(t=a\) ; lorsque \(x=0\), on a \(t=0\). De plus, \(dx=-dt\). Donc
\[ \int_{-a}^{0} f(x)\,dx = \int_a^0 f(-t)(-dt) = \int_0^a f(-t)\,dt. \]
Comme \(f\) est paire, \(f(-t)=f(t)\). Par conséquent,
\[ \int_{-a}^{0} f(x)\,dx=\int_0^a f(t)\,dt. \]
En additionnant les deux contributions, on obtient
\[ \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = \int_0^a f(x)\,dx+\int_0^a f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx. \]
Si, en revanche, \(f\) est impaire, alors
\[ \int_{-a}^{a} f(x)\,dx=0. \]
En effet, en procédant comme précédemment,
\[ \int_{-a}^{0} f(x)\,dx=\int_0^a f(-t)\,dt. \]
Comme \(f\) est impaire, \(f(-t)=-f(t)\). Donc
\[ \int_{-a}^{0} f(x)\,dx=-\int_0^a f(t)\,dt. \]
Par conséquent,
\[ \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = -\int_0^a f(x)\,dx+\int_0^a f(x)\,dx=0. \]
Géométriquement, dans le cas d'une fonction impaire, les aires algébriques sur les deux moitiés de l'intervalle se compensent. Dans le cas d'une fonction paire, en revanche, les deux contributions sont égales.
Décomposition en partie paire et partie impaire
Toute fonction réelle définie sur un domaine symétrique par rapport à l'origine peut s'écrire comme la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.
Soit donc
\[ f:X\to\mathbb R \]
une fonction définie sur un ensemble \(X\subseteq\mathbb R\) symétrique par rapport à l'origine.
Définissons la fonction
\[ f_p:X\to\mathbb R,\qquad f_p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}. \]
Cette fonction est appelée partie paire de \(f\).
Définissons de même
\[ f_i:X\to\mathbb R,\qquad f_i(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}. \]
Cette fonction est appelée partie impaire de \(f\).
Vérifions que \(f_p\) est paire. Pour tout \(x\in X\), en utilisant la définition de \(f_p\), on obtient
\[ f_p(-x)=\frac{f(-x)+f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x)+f(x)}{2} = f_p(x). \]
Donc \(f_p\) est paire.
Vérifions maintenant que \(f_i\) est impaire. Pour tout \(x\in X\), on a
\[ f_i(-x)=\frac{f(-x)-f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x)-f(x)}{2} = -\frac{f(x)-f(-x)}{2} = -f_i(x). \]
Donc \(f_i\) est impaire.
Enfin, en additionnant \(f_p(x)\) et \(f_i(x)\), on obtient
\[ f_p(x)+f_i(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2} + \frac{f(x)-f(-x)}{2} = f(x). \]
Par conséquent,
\[ f=f_p+f_i. \]
Toute fonction réelle définie sur un domaine symétrique peut donc être décomposée comme la somme de sa partie paire et de sa partie impaire :
\[ f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}. \]
Exemple. Considérons la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^x. \]
La partie paire de \(f\) est
\[ f_p(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\operatorname{ch} x. \]
La partie impaire de \(f\) est
\[ f_i(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\operatorname{sh} x. \]
Par conséquent,
\[ e^x=\operatorname{ch} x+\operatorname{sh} x. \]
Unicité de la décomposition
La décomposition d'une fonction comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire est unique.
Soit \(f:X\to\mathbb R\) une fonction définie sur un domaine \(X\subseteq\mathbb R\) symétrique par rapport à l'origine. Supposons que \(f\) puisse s'écrire de deux façons comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire :
\[ f=u+v=\tilde u+\tilde v, \]
où \(u\) et \(\tilde u\) sont des fonctions paires, tandis que \(v\) et \(\tilde v\) sont des fonctions impaires.
De l'égalité
\[ u+v=\tilde u+\tilde v \]
on déduit
\[ u-\tilde u=\tilde v-v. \]
Notons
\[ h=u-\tilde u=\tilde v-v. \]
Comme \(u\) et \(\tilde u\) sont paires, la différence \(u-\tilde u\) est paire. Donc \(h\) est paire.
Comme \(\tilde v\) et \(v\) sont impaires, la différence \(\tilde v-v\) est impaire. Donc \(h\) est impaire.
La fonction \(h\) est donc à la fois paire et impaire. Pour tout \(x\in X\), on a donc
\[ h(-x)=h(x) \]
et
\[ h(-x)=-h(x). \]
En comparant les deux égalités, on obtient
\[ h(x)=-h(x). \]
Donc
\[ 2h(x)=0, \]
et par conséquent
\[ h(x)=0 \]
pour tout \(x\in X\). Ainsi, \(h\) est la fonction identiquement nulle.
De
\[ h=u-\tilde u \]
il résulte que
\[ u=\tilde u. \]
De
\[ h=\tilde v-v \]
il résulte que
\[ v=\tilde v. \]
Les deux décompositions coïncident. Par conséquent, la décomposition de \(f\) comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire est unique.