Fonctions Injectives, Surjectives et Bijectives : Définition, Signification et Exemples

Les fonctions injectives, fonctions surjectives et fonctions bijectives occupent une place centrale dans l'étude des fonctions.

Ces trois notions décrivent la manière dont une fonction relie l'ensemble de départ à l'ensemble d'arrivée : certaines fonctions distinguent parfaitement les éléments de l'ensemble de départ, d'autres atteignent la totalité de l'ensemble d'arrivée, d'autres encore réalisent une correspondance biunivoque entre les deux ensembles.

La distinction entre injectivité, surjectivité et bijectivité est fondamentale pour comprendre l'image d'une fonction, la fonction réciproque ainsi que le rôle de l'ensemble de départ et de l'ensemble d'arrivée dans la définition même de la notion de fonction.

Une même loi peut en effet posséder des propriétés différentes selon les ensembles sur lesquels on la considère. C'est pourquoi, lorsqu'on étudie des fonctions injectives, surjectives et bijectives, il est toujours nécessaire de considérer la fonction sous sa forme complète :

\[ f:A\to B. \]

Sommaire

• Fonctions injectives, surjectives et bijectives : signification intuitive
• Définition d'une fonction injective
• Définition d'une fonction surjective
• Définition d'une fonction bijective
• Différence entre fonction injective, surjective et bijective
• Comment vérifier qu'une fonction est injective
• Comment vérifier qu'une fonction est surjective
• Fonctions bijectives et fonction réciproque
• Exemples de fonctions injectives, surjectives et bijectives
• Erreurs fréquentes à éviter

Fonctions injectives, surjectives et bijectives : signification intuitive

Pour comprendre la signification des notions de fonction injective, surjective et bijective, considérons une fonction

\[ f:A\to B. \]

L'ensemble de départ \(A\) est l'ensemble des éléments auxquels la fonction peut être appliquée ; l'ensemble d'arrivée \(B\) est l'ensemble vers lequel la fonction envoie ses valeurs, c'est-à-dire l'ensemble auquel celles-ci doivent appartenir. À chaque élément \(x\in A\) la fonction associe un et un seul élément \(f(x)\in B\).

Les propriétés d'injectivité, de surjectivité et de bijectivité décrivent la manière dont la fonction relie l'ensemble de départ à l'ensemble d'arrivée.

Une fonction est injective lorsqu'elle n'envoie jamais deux éléments distincts de l'ensemble de départ sur un même élément de l'ensemble d'arrivée. Autrement dit, des éléments différents de \(A\) doivent avoir des images différentes dans \(B\).

Une fonction est surjective lorsque tout élément de l'ensemble d'arrivée est effectivement atteint. Autrement dit, il n'existe aucun élément de \(B\) qui reste en dehors de l'image de la fonction.

Une fonction est bijective lorsqu'elle est à la fois injective et surjective. Dans ce cas, tout élément de l'ensemble d'arrivée est atteint par un et un seul élément de l'ensemble de départ : il s'établit donc une correspondance parfaite entre \(A\) et \(B\).

De façon intuitive, une fonction injective ne superpose jamais deux éléments distincts de l'ensemble de départ ; une fonction surjective recouvre la totalité de l'ensemble d'arrivée ; une fonction bijective réalise simultanément ces deux conditions.

Par exemple, considérons la fonction

\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2. \]

Cette fonction n'est pas injective, car deux nombres réels distincts peuvent avoir la même image. En effet

\[ -1\ne 1, \]

mais

\[ f(-1)=(-1)^2=1 \]

et

\[ f(1)=1^2=1. \]

Ainsi \(f(-1)=f(1)\), bien que \(-1\ne 1\). La fonction n'est donc pas injective.

Cette même fonction n'est pas non plus surjective de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\). En effet, l'image de \(f\) est

\[ f(\mathbb R)=[0,+\infty), \]

alors que l'ensemble d'arrivée annoncé est \(\mathbb R\). Les nombres réels strictement négatifs appartiennent donc à l'ensemble d'arrivée, mais ne sont jamais atteints par la fonction.

Considérons maintenant la fonction

\[ g:[0,+\infty)\to[0,+\infty),\qquad g(x)=x^2. \]

L'expression \( g(x) \) est la même, mais la fonction est différente, car l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée ont changé.

Sur l'ensemble de départ \([0,+\infty)\), la fonction \(g\) est injective : deux nombres réels positifs distincts ont des carrés distincts. De plus, \(g\) est surjective sur \([0,+\infty)\), car tout nombre \(y\ge 0\) peut s'écrire comme le carré d'un nombre réel positif.

En effet, si \(y\in[0,+\infty)\), en choisissant

\[ x=\sqrt y, \]

on a \(x\in[0,+\infty)\) et

\[ g(x)=g(\sqrt y)=(\sqrt y)^2=y. \]

Par conséquent, \(g\) est bijective.

Cet exemple met en évidence un point fondamental : l'injectivité, la surjectivité et la bijectivité ne dépendent pas seulement de la loi, mais aussi de l'ensemble de départ et de l'ensemble d'arrivée avec lesquels la fonction est définie.

Définition d'une fonction injective

Soient \(A\) et \(B\) deux ensembles non vides, et soit

\[ f:A\to B \]

une fonction. Dire que \(f\) est injective signifie que des éléments distincts de l'ensemble de départ ont des images distinctes.

En symboles, \(f\) est injective si

\[ x_1\ne x_2 \quad \Longrightarrow \quad f(x_1)\ne f(x_2) \]

pour tous \(x_1,x_2\in A\).

Cette formulation exprime directement l'idée intuitive : une fonction injective n'envoie jamais deux éléments différents de l'ensemble de départ sur un même élément de l'ensemble d'arrivée.

Il existe toutefois une forme équivalente, souvent plus commode dans les démonstrations. La fonction \(f\) est injective si et seulement si

\[ f(x_1)=f(x_2) \quad \Longrightarrow \quad x_1=x_2 \]

pour tous \(x_1,x_2\in A\).

Cette seconde forme affirme que, si deux éléments de l'ensemble de départ ont la même image, alors ces éléments coïncident nécessairement.

Les deux conditions sont équivalentes : la première affirme que des éléments différents ont des images différentes ; la seconde affirme que des images égales ne peuvent provenir que d'un même élément de l'ensemble de départ.

Par exemple, considérons la fonction

\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=2x+1. \]

Montrons que \(f\) est injective. Soient \(x_1,x_2\in\mathbb R\) et supposons que

\[ f(x_1)=f(x_2). \]

Alors

\[ 2x_1+1=2x_2+1. \]

En soustrayant \(1\) aux deux membres, on obtient

\[ 2x_1=2x_2. \]

En divisant par \(2\), il s'ensuit que

\[ x_1=x_2. \]

Nous avons donc démontré que

\[ f(x_1)=f(x_2) \quad \Longrightarrow \quad x_1=x_2. \]

Par conséquent, la fonction \(f\) est injective.

Considérons à présent la fonction

\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2. \]

Cette fonction n'est pas injective. En effet, il existe deux éléments distincts de l'ensemble de départ qui ont la même image :

\[ -1\ne 1, \]

mais

\[ g(-1)=(-1)^2=1 \]

et

\[ g(1)=1^2=1. \]

Ainsi

\[ g(-1)=g(1), \]

bien que \(-1\ne 1\). Par conséquent, \(g\) n'est pas injective.

Définition d'une fonction surjective

Soient \(A\) et \(B\) deux ensembles non vides, et soit

\[ f:A\to B \]

une fonction. Dire que \(f\) est surjective signifie que tout élément de l'ensemble d'arrivée est l'image d'au moins un élément de l'ensemble de départ.

En symboles, \(f\) est surjective si

\[ \forall y\in B,\quad \exists x\in A \quad : \quad f(x)=y. \]

Cette condition affirme qu'aucun élément de l'ensemble d'arrivée n'est exclu des valeurs prises par la fonction.

Rappelons en effet que l'image de \(f\) est l'ensemble

\[ f(A)=\{\,y\in B\mid \exists x\in A \text{ tel que } f(x)=y\,\}. \]

Par conséquent, une fonction est surjective si et seulement si son image coïncide avec l'ensemble d'arrivée :

\[ f(A)=B. \]

Autrement dit, une fonction surjective atteint tous les éléments de l'ensemble d'arrivée.

Par exemple, considérons la fonction

\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x+1. \]

Montrons que \(f\) est surjective. Soit \(y\in\mathbb R\). Cherchons au moins un \(x\in\mathbb R\) tel que

\[ f(x)=y. \]

Comme \(f(x)=x+1\), il faut résoudre l'équation

\[ x+1=y. \]

D'où

\[ x=y-1. \]

Comme \(y\in\mathbb R\), on a aussi \(y-1\in\mathbb R\). Ainsi, en choisissant \(x=y-1\), on obtient

\[ f(x)=f(y-1)=(y-1)+1=y. \]

Nous avons donc montré que pour tout \(y\in\mathbb R\) il existe au moins un \(x\in\mathbb R\) tel que \(f(x)=y\). Par conséquent, \(f\) est surjective.

Considérons à présent la fonction

\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2. \]

Cette fonction n'est pas surjective. En effet, l'ensemble d'arrivée est \(\mathbb R\), mais la fonction ne prend que des valeurs positives ou nulles :

\[ g(x)=x^2\ge 0 \]

pour tout \(x\in\mathbb R\).

Par conséquent, aucun nombre réel strictement négatif n'appartient à l'image de \(g\). Par exemple, il n'existe aucun \(x\in\mathbb R\) tel que

\[ x^2=-1. \]

Ainsi, \(-1\in\mathbb R\) appartient à l'ensemble d'arrivée, mais n'appartient pas à l'image de la fonction. Par conséquent, \(g\) n'est pas surjective.

Si l'on change toutefois l'ensemble d'arrivée et que l'on considère

\[ h:\mathbb R\to[0,+\infty),\qquad h(x)=x^2, \]

alors la fonction \(h\) est surjective. En effet, pour tout \(y\in[0,+\infty)\), en choisissant

\[ x=\sqrt y, \]

on a \(x\in\mathbb R\) et

\[ h(x)=h(\sqrt y)=(\sqrt y)^2=y. \]

Ainsi, tout élément de l'ensemble d'arrivée \([0,+\infty)\) est atteint par la fonction.

Cela montre que la surjectivité dépend de façon essentielle de l'ensemble d'arrivée choisi. Une même loi peut définir une fonction surjective ou non surjective selon l'ensemble d'arrivée annoncé.

Définition d'une fonction bijective

Soient \(A\) et \(B\) deux ensembles non vides, et soit

\[ f:A\to B \]

une fonction. Dire que \(f\) est bijective signifie que \(f\) est à la fois injective et surjective.

Autrement dit, une fonction est bijective lorsque tout élément de l'ensemble d'arrivée est l'image d'un et un seul élément de l'ensemble de départ.

En symboles, \(f\) est bijective si

\[ \forall y\in B,\quad \exists! x\in A \quad : \quad f(x)=y. \]

Le symbole \(\exists!\) signifie « il existe un et un seul ». La condition précédente affirme donc que, pour chaque élément \(y\) de l'ensemble d'arrivée, il existe exactement un élément \(x\) de l'ensemble de départ tel que \(f(x)=y\).

Cette définition réunit les deux propriétés fondamentales.

• La surjectivité garantit l'existence : tout \(y\in B\) est atteint par au moins un élément de l'ensemble de départ.
• L'injectivité garantit l'unicité : aucun \(y\in B\) ne peut être atteint par deux éléments distincts de l'ensemble de départ.

Une fonction bijective établit donc une correspondance parfaite entre l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée : à chaque élément de l'ensemble de départ correspond un élément de l'ensemble d'arrivée, et chaque élément de l'ensemble d'arrivée provient d'un et un seul élément de l'ensemble de départ.

Par exemple, considérons la fonction

\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=2x+1. \]

Montrons que \(f\) est bijective.

Pour vérifier l'injectivité, soient \(x_1,x_2\in\mathbb R\) et supposons que

\[ f(x_1)=f(x_2). \]

Alors

\[ 2x_1+1=2x_2+1. \]

En soustrayant \(1\) aux deux membres puis en divisant par \(2\), on obtient

\[ x_1=x_2. \]

Donc \(f\) est injective.

Pour vérifier la surjectivité, soit \(y\in\mathbb R\). Cherchons un \(x\in\mathbb R\) tel que

\[ f(x)=y. \]

Résolvons alors l'équation

\[ 2x+1=y. \]

On obtient

\[ x=\frac{y-1}{2}. \]

Comme \(y\in\mathbb R\), on a aussi \(\displaystyle \frac{y-1}{2}\in\mathbb R\). Ainsi, en choisissant

\[ x=\frac{y-1}{2}, \]

on a

\[ f(x)=2\cdot\frac{y-1}{2}+1=y. \]

Donc \(f\) est surjective.

Comme \(f\) est à la fois injective et surjective, nous concluons que \(f\) est bijective.

Considérons à présent la fonction

\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2. \]

Cette fonction n'est pas bijective. En effet, elle n'est pas injective, car \(g(-1)=g(1)\) bien que \(-1\ne 1\), et elle n'est pas surjective, car aucun nombre réel strictement négatif n'appartient à son image.

Si l'on considère en revanche

\[ h:[0,+\infty)\to[0,+\infty),\qquad h(x)=x^2, \]

alors \(h\) est bijective. En effet, sur \([0,+\infty)\), la fonction \(x^2\) est injective, et tout nombre réel \(y\ge 0\) est l'image de \(x=\sqrt y\).

Là encore, on voit que la bijectivité ne dépend pas seulement de la loi de la fonction, mais de la manière complète dont la fonction est définie, c'est-à-dire de l'ensemble de départ, de l'ensemble d'arrivée et de la loi de correspondance.

Différence entre fonction injective, surjective et bijective

Les notions de fonction injective, surjective et bijective décrivent des propriétés différentes de la manière dont une fonction relie l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée.

Considérons une fonction

\[ f:A\to B. \]

Dire que \(f\) est injective, c'est se concentrer sur les éléments de l'ensemble de départ : des éléments distincts de \(A\) doivent avoir des images distinctes dans \(B\).

Dire que \(f\) est surjective, c'est au contraire se concentrer sur les éléments de l'ensemble d'arrivée : tout élément de \(B\) doit être atteint par au moins un élément de \(A\).

Dire que \(f\) est bijective, c'est exiger les deux conditions : tout élément de l'ensemble d'arrivée doit être atteint, et il doit l'être une seule fois.

En symboles :

\[ \text{\(f\) injective} \quad \Longleftrightarrow \quad f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2 \]

pour tous \(x_1,x_2\in A\).

De plus :

\[ \text{\(f\) surjective} \quad \Longleftrightarrow \quad f(A)=B. \]

Enfin :

\[ \text{\(f\) bijective} \quad \Longleftrightarrow \quad \text{\(f\) est injective et surjective.} \]

Ces trois propriétés sont indépendantes au sens suivant : une fonction peut être injective sans être surjective, surjective sans être injective, les deux à la fois, ou bien ni l'une ni l'autre.

Par exemple, la fonction

\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^x \]

est injective, car la fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb R\). Elle n'est toutefois pas surjective sur \(\mathbb R\), car

\[ e^x>0 \]

pour tout \(x\in\mathbb R\). Ainsi, les nombres réels inférieurs ou égaux à zéro appartiennent à l'ensemble d'arrivée, mais n'appartiennent pas à l'image.

Donc \(f\) est injective, mais non surjective.

Considérons à présent la fonction

\[ g:\mathbb R\to[0,+\infty),\qquad g(x)=x^2. \]

Cette fonction est surjective, car tout nombre réel positif \(y\) est le carré d'au moins un nombre réel. En effet, si \(y\ge 0\), en choisissant \(x=\sqrt y\), on obtient

\[ g(x)=y. \]

Cependant, \(g\) n'est pas injective, car

\[ g(-1)=g(1)=1, \]

bien que \(-1\ne 1\).

Donc \(g\) est surjective, mais non injective.

La fonction

\[ h:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad h(x)=2x+1 \]

est quant à elle bijective. En effet, elle est injective, car des valeurs distinctes de \(x\) produisent des valeurs distinctes de \(2x+1\), et elle est surjective, car tout \(y\in\mathbb R\) s'obtient en choisissant

\[ x=\frac{y-1}{2}. \]

Enfin, la fonction

\[ p:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad p(x)=x^2 \]

n'est ni injective ni surjective. Elle n'est pas injective, car des valeurs opposées ont le même carré ; elle n'est pas surjective, car elle ne prend pas de valeurs strictement négatives.

Ces exemples montrent que l'injectivité et la surjectivité répondent à des questions différentes. L'injectivité concerne l'unicité de la provenance des valeurs ; la surjectivité concerne le fait que tous les éléments de l'ensemble d'arrivée soient effectivement atteints.

Comment vérifier qu'une fonction est injective

Vérifier qu'une fonction est injective, c'est déterminer si des éléments distincts de l'ensemble de départ ont toujours des images distinctes.

Considérons une fonction

\[ f:A\to B. \]

Pour démontrer que \(f\) est injective, la méthode la plus employée consiste à partir de l'égalité de deux images et à montrer que les éléments de départ doivent coïncider.

On prend donc deux éléments arbitraires \(x_1,x_2\in A\) et on suppose que

\[ f(x_1)=f(x_2). \]

Si, de cette égalité, on parvient à déduire que

\[ x_1=x_2, \]

alors la fonction est injective.

De façon synthétique, le raisonnement est le suivant :

\[ f(x_1)=f(x_2) \quad \Longrightarrow \quad x_1=x_2. \]

Si cette implication est vraie pour tous \(x_1,x_2\in A\), alors \(f\) est injective.

Par exemple, considérons la fonction

\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=3x-2. \]

Soient \(x_1,x_2\in\mathbb R\) et supposons que

\[ f(x_1)=f(x_2). \]

Alors

\[ 3x_1-2=3x_2-2. \]

En ajoutant \(2\) aux deux membres, on obtient

\[ 3x_1=3x_2. \]

En divisant par \(3\), il s'ensuit que

\[ x_1=x_2. \]

Donc

\[ f(x_1)=f(x_2)\quad \Longrightarrow\quad x_1=x_2. \]

Par conséquent, \(f\) est injective.

Pour montrer au contraire qu'une fonction n'est pas injective, il suffit de trouver un contre-exemple : deux éléments distincts de l'ensemble de départ qui ont la même image.

En symboles, il faut trouver \(x_1,x_2\in A\) tels que

\[ x_1\ne x_2 \]

mais

\[ f(x_1)=f(x_2). \]

Par exemple, considérons la fonction

\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2+1. \]

Cette fonction n'est pas injective, car

\[ -1\ne 1, \]

mais

\[ g(-1)=(-1)^2+1=2 \]

et

\[ g(1)=1^2+1=2. \]

Ainsi, \(g(-1)=g(1)\), bien que \(-1\ne 1\). Cela suffit pour conclure que \(g\) n'est pas injective.

Dans certains cas, l'injectivité peut aussi se vérifier à l'aide de la monotonie. Si une fonction réelle d'une variable réelle est strictement croissante ou strictement décroissante sur tout son ensemble de définition, alors elle est injective.

En effet, si \(x_1<x_2\) et que \(f\) est strictement croissante, alors

\[ f(x_1)<f(x_2), \]

donc deux éléments distincts de l'ensemble de départ ne peuvent pas avoir la même image. Un raisonnement analogue vaut pour les fonctions strictement décroissantes.

Par exemple, la fonction

\[ h:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad h(x)=x^2 \]

est injective, car elle est strictement croissante sur l'ensemble de départ \([0,+\infty)\).

Il faut toutefois être attentif : une fonction croissante, mais non strictement croissante, n'est pas nécessairement injective. L'injectivité exige que des éléments distincts aient toujours des images distinctes.

D'un point de vue graphique, une fonction réelle d'une variable réelle est injective lorsque toute droite horizontale rencontre le graphe en au plus un point. Ce critère est souvent appelé test de la droite horizontale.

Si une droite horizontale rencontre le graphe en deux points distincts, alors il existe deux éléments différents de l'ensemble de départ ayant la même image, et la fonction n'est donc pas injective. Ce critère est utile pour interpréter géométriquement l'injectivité, mais, dans les démonstrations, il est préférable d'utiliser la définition symbolique.

Comment vérifier qu'une fonction est surjective

Vérifier qu'une fonction est surjective, c'est déterminer si tout élément de l'ensemble d'arrivée est effectivement atteint par la fonction.

Considérons une fonction

\[ f:A\to B. \]

Pour démontrer que \(f\) est surjective, il faut prendre un élément arbitraire \(y\in B\) et montrer qu'il existe au moins un élément \(x\in A\) tel que

\[ f(x)=y. \]

De façon synthétique, le raisonnement est le suivant :

\[ \forall y\in B,\quad \exists x\in A \quad : \quad f(x)=y. \]

Si cette condition est satisfaite, alors tout élément de l'ensemble d'arrivée appartient à l'image de la fonction. Par conséquent

\[ f(A)=B, \]

et donc \(f\) est surjective.

En pratique, pour vérifier la surjectivité, on part de l'équation

\[ f(x)=y \]

et on cherche à la résoudre par rapport à \(x\). Si, pour tout \(y\in B\), on parvient à trouver au moins une solution \(x\in A\), alors la fonction est surjective.

Pour les fonctions réelles d'une variable réelle, vérifier la surjectivité revient souvent à déterminer l'image de la fonction. Selon les cas, il peut être nécessaire d'étudier la monotonie, de calculer des limites, de déterminer des maxima et des minima, ou encore de résoudre directement l'équation \(f(x)=y\).

La question fondamentale est toujours la même : l'image de la fonction coïncide-t-elle avec l'ensemble d'arrivée annoncé ?

Par exemple, considérons la fonction

\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=2x-3. \]

Soit \(y\in\mathbb R\). Cherchons un nombre réel \(x\) tel que

\[ f(x)=y. \]

Comme \(f(x)=2x-3\), il faut résoudre l'équation

\[ 2x-3=y. \]

D'où

\[ 2x=y+3 \]

et donc

\[ x=\frac{y+3}{2}. \]

Comme \(y\in\mathbb R\), on a aussi \(\displaystyle \frac{y+3}{2}\in\mathbb R\). Ainsi, en choisissant

\[ x=\frac{y+3}{2}, \]

on obtient

\[ f(x)=2\cdot\frac{y+3}{2}-3=y+3-3=y. \]

Nous avons donc montré que tout \(y\in\mathbb R\) est l'image d'au moins un \(x\in\mathbb R\). Par conséquent, \(f\) est surjective.

Pour montrer au contraire qu'une fonction n'est pas surjective, il suffit de trouver au moins un élément de l'ensemble d'arrivée qui n'est pas atteint.

En symboles, il faut trouver un élément \(y\in B\) tel que l'équation

\[ f(x)=y \]

n'ait aucune solution \(x\in A\).

Par exemple, considérons la fonction

\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2+1. \]

Cette fonction n'est pas surjective. En effet, l'ensemble d'arrivée est \(\mathbb R\), mais, pour tout \(x\in\mathbb R\), on a

\[ x^2\ge 0, \]

donc

\[ x^2+1\ge 1. \]

Par conséquent, la fonction ne prend aucune valeur inférieure à \(1\). Par exemple, \(0\in\mathbb R\) appartient à l'ensemble d'arrivée, mais il n'existe aucun \(x\in\mathbb R\) tel que

\[ x^2+1=0. \]

Par conséquent, \(g\) n'est pas surjective.

Cette même loi peut toutefois devenir surjective si l'on choisit un ensemble d'arrivée différent. Considérons en effet

\[ h:\mathbb R\to[1,+\infty),\qquad h(x)=x^2+1. \]

Montrons que \(h\) est surjective. Soit \(y\in[1,+\infty)\). Alors \(y\ge 1\), donc

\[ y-1\ge 0. \]

Nous pouvons donc choisir

\[ x=\sqrt{y-1}. \]

On a \(x\in\mathbb R\) et

\[ h(x)=h(\sqrt{y-1})=(\sqrt{y-1})^2+1=y. \]

Ainsi, tout élément de l'ensemble d'arrivée \([1,+\infty)\) est atteint par la fonction. Par conséquent, \(h\) est surjective.

Cet exemple confirme que la surjectivité n'est pas une propriété de la seule loi, mais de la fonction dans son ensemble. Pour déterminer si une fonction est surjective, il faut toujours considérer conjointement l'ensemble de départ, l'ensemble d'arrivée et la loi de correspondance.

Fonctions bijectives et fonction réciproque

Les fonctions bijectives sont particulièrement importantes, car elles permettent de définir une fonction réciproque.

Considérons une fonction

\[ f:A\to B. \]

Dire que \(f\) est bijective signifie que tout élément \(y\in B\) est l'image d'un et un seul élément \(x\in A\). En symboles :

\[ \forall y\in B,\quad \exists! x\in A \quad : \quad f(x)=y. \]

Cette propriété permet d'inverser le sens de la correspondance. En effet, si tout \(y\in B\) provient d'un et un seul \(x\in A\), alors on peut associer à chaque élément \(y\in B\) cet unique élément \(x\in A\) tel que \(f(x)=y\).

On définit ainsi une nouvelle fonction

\[ f^{-1}:B\to A, \]

appelée fonction réciproque de \(f\).

Par définition, la fonction réciproque associe à chaque \(y\in B\) l'unique élément \(x\in A\) tel que

\[ f(x)=y. \]

En symboles :

\[ f^{-1}(y)=x \quad \Longleftrightarrow \quad f(x)=y. \]

La bijectivité est essentielle pour pouvoir définir la réciproque sur la totalité de l'ensemble d'arrivée \(B\).

• La surjectivité garantit que tout \(y\in B\) admet au moins un antécédent dans \(A\).
• L'injectivité garantit que cet antécédent est unique.

Sans surjectivité, il existerait des éléments de l'ensemble d'arrivée non atteints par la fonction, et la réciproque ne pourrait donc pas être définie sur \(B\) tout entier. Sans injectivité, il existerait des éléments de l'ensemble d'arrivée atteints par plusieurs éléments de l'ensemble de départ, et la réciproque ne serait donc pas une fonction.

Par exemple, considérons la fonction

\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=2x+1. \]

Cette fonction est bijective. Pour trouver sa réciproque, posons

\[ y=2x+1 \]

et résolvons par rapport à \(x\). On obtient

\[ y-1=2x \]

et donc

\[ x=\frac{y-1}{2}. \]

Par conséquent

\[ f^{-1}(y)=\frac{y-1}{2}. \]

En désignant de nouveau la variable indépendante par \(x\), on écrit habituellement

\[ f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}. \]

Dans ce cas, la fonction réciproque est

\[ f^{-1}:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}. \]

Vérifions à présent le sens de la réciproque au moyen de la composition. Pour tout \(x\in\mathbb R\),

\[ f^{-1}(f(x))=f^{-1}(2x+1)=\frac{(2x+1)-1}{2}=x. \]

De plus, pour tout \(x\in\mathbb R\),

\[ f(f^{-1}(x))=f\left(\frac{x-1}{2}\right)=2\cdot\frac{x-1}{2}+1=x. \]

Ainsi, composer une fonction bijective avec sa réciproque redonne l'élément de départ.

Considérons à présent la fonction

\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2. \]

Cette fonction n'admet pas de réciproque de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\), car elle n'est pas bijective. En effet, elle n'est pas injective, puisque

\[ g(-1)=g(1), \]

bien que \(-1\ne 1\). De plus, elle n'est pas surjective sur \(\mathbb R\), car elle ne prend pas de valeurs strictement négatives.

Si l'on restreint toutefois l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée et que l'on considère

\[ h:[0,+\infty)\to[0,+\infty),\qquad h(x)=x^2, \]

alors \(h\) est bijective et admet une fonction réciproque. Pour tout \(y\in[0,+\infty)\), l'unique \(x\in[0,+\infty)\) tel que

\[ x^2=y \]

est

\[ x=\sqrt y. \]

Donc

\[ h^{-1}:[0,+\infty)\to[0,+\infty),\qquad h^{-1}(x)=\sqrt x. \]

Cet exemple montre une fois de plus que l'existence de la fonction réciproque ne dépend pas seulement de la loi, mais de la fonction considérée dans sa totalité : ensemble de départ, ensemble d'arrivée et loi de correspondance.

Exemples de fonctions injectives, surjectives et bijectives

Voyons quelques exemples où les propriétés d'injectivité, de surjectivité et de bijectivité sont déterminées explicitement. Dans chaque cas, il importe de considérer non seulement la loi de la fonction, mais aussi l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée avec lesquels elle est définie.

Exemple 1. Considérons la fonction

\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x+3. \]

Montrons que \(f\) est bijective.

Pour vérifier l'injectivité, soient \(x_1,x_2\in\mathbb R\) et supposons que

\[ f(x_1)=f(x_2). \]

Alors

\[ x_1+3=x_2+3. \]

En soustrayant \(3\) aux deux membres, on obtient

\[ x_1=x_2. \]

Donc \(f\) est injective.

Pour vérifier la surjectivité, soit \(y\in\mathbb R\). Cherchons \(x\in\mathbb R\) tel que

\[ f(x)=y. \]

Il faut donc résoudre

\[ x+3=y, \]

d'où

\[ x=y-3. \]

Comme \(y\in\mathbb R\), on a aussi \(y-3\in\mathbb R\). En choisissant \(x=y-3\), on obtient

\[ f(x)=f(y-3)=(y-3)+3=y. \]

Donc \(f\) est surjective.

Comme \(f\) est à la fois injective et surjective, \(f\) est bijective.

Exemple 2. Considérons la fonction

\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2. \]

La fonction \(g\) n'est pas injective, car deux éléments distincts de l'ensemble de départ peuvent avoir la même image. En effet

\[ -1\ne 1, \]

mais

\[ g(-1)=(-1)^2=1 \]

et

\[ g(1)=1^2=1. \]

Ainsi, \(g(-1)=g(1)\), bien que \(-1\ne 1\). La fonction n'est donc pas injective.

De plus, \(g\) n'est pas surjective de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\). En effet, pour tout \(x\in\mathbb R\), on a

\[ x^2\ge 0. \]

La fonction ne prend donc pas de valeurs strictement négatives. Par exemple, il n'existe aucun \(x\in\mathbb R\) tel que

\[ x^2=-1. \]

Par conséquent, \(g\) n'est pas surjective.

Nous concluons que \(g\) n'est ni injective ni surjective ; elle n'est donc pas bijective.

Exemple 3. Considérons la fonction

\[ h:\mathbb R\to[0,+\infty),\qquad h(x)=x^2. \]

Par rapport à l'exemple précédent, la loi et l'ensemble de départ sont les mêmes, mais l'ensemble d'arrivée a changé.

La fonction \(h\) n'est pas injective, car

\[ h(-1)=h(1)=1, \]

bien que \(-1\ne 1\).

Cependant, \(h\) est surjective. En effet, soit \(y\in[0,+\infty)\). Alors \(y\ge 0\), donc nous pouvons choisir

\[ x=\sqrt y. \]

On a \(x\in\mathbb R\) et

\[ h(x)=h(\sqrt y)=(\sqrt y)^2=y. \]

Ainsi, tout élément de l'ensemble d'arrivée \([0,+\infty)\) est atteint par la fonction.

Donc \(h\) est surjective, mais non injective. Par conséquent, elle n'est pas bijective.

Cette même loi devient toutefois injective si l'on restreint l'ensemble de départ à \([0,+\infty)\), car sur cet intervalle la fonction \(x^2\) est strictement croissante.

Exemple 4. Considérons la fonction

\[ p:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad p(x)=x^3. \]

Montrons que \(p\) est bijective.

Pour vérifier l'injectivité, soient \(x_1,x_2\in\mathbb R\) et supposons que

\[ p(x_1)=p(x_2). \]

Alors

\[ x_1^3=x_2^3. \]

Comme la fonction cube est strictement croissante sur \(\mathbb R\), de \(x_1^3=x_2^3\) il résulte nécessairement

\[ x_1=x_2. \]

Donc \(p\) est injective.

Pour vérifier la surjectivité, soit \(y\in\mathbb R\). En choisissant

\[ x=\sqrt[3]{y}, \]

on a \(x\in\mathbb R\) et

\[ p(x)=p(\sqrt[3]{y})=(\sqrt[3]{y})^3=y. \]

Donc \(p\) est surjective.

Comme \(p\) est à la fois injective et surjective, \(p\) est bijective.

Exemple 5. Considérons les ensembles finis

\[ A=\{1,2,3\},\qquad B=\{a,b,c\} \]

et la fonction \(q:A\to B\) définie par

\[ q(1)=a,\qquad q(2)=b,\qquad q(3)=c. \]

La fonction \(q\) est injective, car des éléments distincts de \(A\) ont des images distinctes dans \(B\).

De plus, \(q\) est surjective, car tout élément de l'ensemble d'arrivée \(B\) est atteint :

\[ a=q(1),\qquad b=q(2),\qquad c=q(3). \]

Donc \(q\) est bijective.

Cet exemple illustre simplement l'idée de correspondance un à un : à chaque élément de l'ensemble de départ correspond un élément distinct de l'ensemble d'arrivée, et chaque élément de l'ensemble d'arrivée est atteint exactement une fois.

Exemple 6. Considérons la fonction

\[ r:\mathbb R\to(0,+\infty),\qquad r(x)=e^x. \]

La fonction \(r\) est injective, car la fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb R\).

De plus, \(r\) est surjective sur l'ensemble d'arrivée \((0,+\infty)\). En effet, si \(y\in(0,+\infty)\), alors \(y>0\) et nous pouvons choisir

\[ x=\ln y. \]

On a \(x\in\mathbb R\) et

\[ r(x)=r(\ln y)=e^{\ln y}=y. \]

Donc \(r\) est bijective.

Sa fonction réciproque est

\[ r^{-1}:(0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad r^{-1}(x)=\ln x. \]

Là encore, le choix de l'ensemble d'arrivée est essentiel : si l'exponentielle était déclarée comme fonction de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\), elle ne serait pas surjective.

Erreurs fréquentes à éviter

Récapitulons quelques erreurs fréquentes dans l'étude des fonctions injectives, surjectives et bijectives.

• Confondre injectivité et surjectivité. L'injectivité concerne le fait que des éléments distincts de l'ensemble de départ aient des images distinctes ; la surjectivité concerne au contraire le fait que tout élément de l'ensemble d'arrivée soit atteint.
• Croire que la loi détermine à elle seule ces propriétés. Une même loi peut définir des fonctions aux propriétés différentes si l'ensemble de départ ou l'ensemble d'arrivée change.
• Établir la surjectivité sans tenir compte de l'ensemble d'arrivée. Une fonction est surjective si son image coïncide avec l'ensemble d'arrivée annoncé, et non simplement si elle prend « beaucoup » de valeurs.
• Établir l'injectivité en n'examinant que quelques valeurs. Pour démontrer qu'une fonction est injective, il faut vérifier la propriété pour tous les éléments de l'ensemble de départ ; pour démontrer qu'elle n'est pas injective, un seul contre-exemple suffit en revanche.
• Croire qu'une fonction bijective n'est qu'une fonction inversible « au niveau de la formule ou de la loi ». Une fonction est bijective lorsque tout élément de l'ensemble d'arrivée est atteint par un et un seul élément de l'ensemble de départ. C'est seulement dans ce cas qu'il existe une fonction réciproque définie sur la totalité de l'ensemble d'arrivée.

Par exemple, une fonction peut avoir une loi simple et apparemment bien connue, mais changer complètement de comportement si l'ensemble de départ ou l'ensemble d'arrivée change. C'est pourquoi il ne faut jamais établir l'injectivité, la surjectivité ou la bijectivité en se fondant uniquement sur l'expression de la fonction.

L'injectivité, la surjectivité et la bijectivité doivent être étudiées sur la fonction complète, c'est-à-dire en tenant compte de l'ensemble de départ, de l'ensemble d'arrivée et de la loi de correspondance.

En conclusion, une fonction injective n'envoie pas des éléments distincts sur une même valeur ; une fonction surjective atteint la totalité de l'ensemble d'arrivée ; une fonction bijective réalise les deux conditions et établit une correspondance un à un entre l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée.