Intuitivement, une fonction continue est une fonction dont le comportement ne subit pas de variations brusques : des valeurs de la variable indépendante suffisamment proches produisent des valeurs de la fonction tout aussi proches.
Cette idée intuitive est rendue rigoureuse par la définition de la continuité. Une précision arbitraire étant fixée sur les valeurs de la fonction, il doit être possible de déterminer à quelle distance \(x\) doit se trouver d'un point \(x_0\) pour que cette précision soit garantie.
Lorsque \(x_0\) est un point d'accumulation du domaine, cette propriété équivaut à la relation fondamentale
\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0). \]
La continuité constitue l'un des concepts centraux de l'analyse mathématique. Dans cet article, nous en étudierons la définition rigoureuse, la continuité latérale et sur les intervalles, les opérations qui la préservent, les principales fonctions continues et les différents types de discontinuité. Nous verrons en outre plusieurs résultats fondamentaux, parmi lesquels le théorème de conservation du signe, le théorème de Bolzano, le théorème des valeurs intermédiaires, le théorème de Weierstrass et le théorème de la continuité de la fonction réciproque.
Sommaire
- Continuité d'une fonction en un point
- Continuité à droite et à gauche
- Continuité sur un intervalle
- Opérations sur les fonctions continues
- Continuité des fonctions élémentaires
- Points de discontinuité
- Théorème de conservation du signe pour les fonctions continues
- Théorème de Bolzano et théorème des valeurs intermédiaires
- Théorème de Weierstrass
- Continuité de la fonction réciproque
Continuité d'une fonction en un point
Soit \[ f:A\to\mathbb{R} \] une fonction et soit \(x_0\in A\).
Définition. La fonction \(f\) est dite continue en \(x_0\) si, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe \(\delta>0\) tel que, pour tout \(x\in A\),
\[ |x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon. \]
Le sens de la définition est précis. Le nombre \(\varepsilon\) fixe le degré de proximité que l'on souhaite entre \(f(x)\) et \(f(x_0)\) ; une fois choisi un \(\varepsilon>0\) quelconque, on doit pouvoir déterminer un nombre \(\delta>0\) tel que tout \(x\) du domaine suffisamment proche de \(x_0\) produise une valeur \(f(x)\) dont la distance à \(f(x_0)\) est inférieure à \(\varepsilon\).
Autrement dit, on peut rendre la distance
\[ |f(x)-f(x_0)| \]
aussi petite que l'on veut en choisissant \(x\) suffisamment proche de \(x_0\).
Continuité et limite
Si \(x_0\) est un point d'accumulation du domaine \(A\), la continuité de \(f\) en \(x_0\) équivaut à la condition
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0). \]
Cette égalité exprime le lien fondamental entre limite et continuité. La limite décrit le comportement des valeurs \(f(x)\) lorsque \(x\) se rapproche de \(x_0\) ; la continuité exige que ce comportement soit cohérent avec la valeur que la fonction prend effectivement en ce point.
Ainsi, lorsque \(x_0\) est un point d'accumulation du domaine, la vérification de la continuité au moyen des limites suppose que trois conditions soient satisfaites :
- \(f(x_0)\) doit être défini ;
- la limite \[ \lim_{x\to x_0}f(x) \] doit exister ;
- la limite doit coïncider avec la valeur prise par la fonction : \[ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0). \]
Si une seule de ces conditions n'est pas satisfaite, \(f\) n'est pas continue en \(x_0\).
Exemple. Considérons la fonction
\[ f(x)=x^2. \]
Au point \(x_0=2\), on a
\[ f(2)=4. \]
De plus,
\[ \lim_{x\to2}x^2=4. \]
On a donc
\[ \lim_{x\to2}f(x)=f(2), \]
et par conséquent \(f(x)=x^2\) est continue en \(x_0=2\).
Interprétation géométrique. La continuité en \(x_0\) exprime que le point \((x_0,f(x_0))\) est cohérent avec le comportement des valeurs \(f(x)\) lorsque \(x\) se rapproche de \(x_0\). En particulier, la valeur prise par la fonction en ce point coïncide avec la valeur vers laquelle tendent les valeurs de la fonction dans son voisinage.
Les différentes manières dont cette propriété peut faire défaut seront classées dans la partie consacrée aux points de discontinuité.
Continuité à droite et à gauche
Dans certains cas, il est nécessaire d'étudier séparément le comportement de la fonction lorsque \(x\) se rapproche d'un point uniquement par la droite ou uniquement par la gauche. On introduit ainsi les notions de continuité à droite et de continuité à gauche.
Soit
\[ f:A\to\mathbb{R} \]
et soit \(x_0\in A\).
Si \(x_0\) est un point d'accumulation de \(A\) par la droite, \(f\) est dite continue à droite en \(x_0\) si
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0). \]
De même, si \(x_0\) est un point d'accumulation de \(A\) par la gauche, \(f\) est dite continue à gauche en \(x_0\) si
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0). \]
Lorsque \(x_0\) est un point d'accumulation du domaine à la fois par la gauche et par la droite, \(f\) est continue en \(x_0\) si et seulement si elle est continue à la fois à gauche et à droite en ce même point.
De manière équivalente,
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x) = \lim_{x\to x_0^+}f(x) = f(x_0). \]
Exemple avec une fonction définie par morceaux
Considérons
\[ f(x)= \begin{cases} x+1, & x<1,\\ 2, & x=1,\\ 3-x, & x>1. \end{cases} \]
Au point \(x_0=1\),
\[ f(1)=2. \]
À gauche, on a
\[ \lim_{x\to1^-}f(x) = \lim_{x\to1^-}(x+1) = 2, \]
tandis qu'à droite
\[ \lim_{x\to1^+}f(x) = \lim_{x\to1^+}(3-x) = 2. \]
On a donc
\[ \lim_{x\to1^-}f(x) = \lim_{x\to1^+}f(x) = f(1) = 2, \]
et donc \(f\) est continue en \(x_0=1\).
Continuité aux extrémités d'un intervalle
La continuité latérale est également fondamentale aux extrémités des intervalles.
Si une fonction est définie sur \([a,b]\), on considère au point \(a\) la continuité à droite :
\[ \lim_{x\to a^+}f(x)=f(a), \]
tandis qu'au point \(b\) on considère la continuité à gauche :
\[ \lim_{x\to b^-}f(x)=f(b). \]
Continuité sur un intervalle
Après avoir défini la continuité en un point unique, on peut naturellement étendre le concept à un intervalle tout entier.
Intervalle ouvert
Une fonction \(f\) est dite continue sur un intervalle ouvert \(I\) si elle est continue en tout point \(x_0\in I\).
Par exemple, \(f\) est continue sur \((a,b)\) si, pour tout \(x_0\in(a,b)\),
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0). \]
Intervalle fermé
Dans le cas d'un intervalle fermé \([a,b]\), l'approche aux extrémités doit être considérée en restant à l'intérieur de l'intervalle. C'est pour cette raison qu'interviennent les limites latérales.
Une fonction
\[ f:[a,b]\to\mathbb{R} \]
est dite continue sur \([a,b]\) si :
- elle est continue en tout point \(x_0\in(a,b)\) ;
- elle est continue à droite en \(a\), c'est-à-dire \[ \lim_{x\to a^+}f(x)=f(a); \]
- elle est continue à gauche en \(b\), c'est-à-dire \[ \lim_{x\to b^-}f(x)=f(b). \]
Intervalles semi-ouverts
De façon analogue, si le domaine est un intervalle semi-ouvert, on exige à l'extrémité appartenant au domaine la continuité latérale correspondante.
Une fonction
\[ f:[a,b)\to\mathbb{R} \]
est continue sur \([a,b)\) si elle est continue en tout point de \((a,b)\) et si elle est continue à droite en \(a\).
De même,
\[ f:(a,b]\to\mathbb{R} \]
est continue sur \((a,b]\) si elle est continue en tout point de \((a,b)\) et si elle est continue à gauche en \(b\).
Continuité sur le domaine
Plus généralement, une fonction
\[ f:A\to\mathbb{R} \]
est dite continue sur \(A\) si elle est continue en tout point de son domaine, la continuité étant considérée relativement aux points appartenant à \(A\).
Par exemple,
\[ f(x)=x^2 \]
est continue sur tout \(\mathbb{R}\), puisque pour tout \(x_0\in\mathbb{R}\)
\[ \lim_{x\to x_0}x^2=x_0^2=f(x_0). \]
La fonction
\[ f(x)=\frac{1}{x} \]
est, en revanche, continue sur son propre domaine
\[ \mathbb{R}\setminus\{0\}. \]
Le fait qu'elle ne soit pas définie en \(x=0\) n'empêche donc pas d'affirmer qu'elle est continue sur son propre domaine. La continuité est une propriété qui se vérifie aux points où la fonction est définie.
La continuité sur un intervalle jouera un rôle fondamental dans les résultats qui suivent : l'existence de zéros, l'obtention des valeurs intermédiaires et l'existence de maxima et de minima absolus dépendent en effet de la continuité sur des intervalles appropriés.
Opérations sur les fonctions continues
La continuité se conserve par les principales opérations algébriques. Cela permet de construire de nouvelles fonctions continues à partir de fonctions dont la continuité est déjà connue.
Soient \(f\) et \(g\) continues en un point \(x_0\). Alors sont également continues en \(x_0\)
\[ f+g, \qquad f-g, \qquad f\cdot g. \]
Pour toute constante \(c\in\mathbb{R}\), la fonction
\[ cf \]
est en outre continue en \(x_0\).
Si
\[ g(x_0)\neq0, \]
la fonction quotient
\[ \frac{f}{g} \]
est également continue en \(x_0\).
Pourquoi ces propriétés sont vraies
Puisque \(f\) et \(g\) sont continues en \(x_0\),
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0), \qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=g(x_0). \]
Pour la somme, les propriétés des limites donnent
\[ \begin{aligned} \lim_{x\to x_0}[f(x)+g(x)] &= \lim_{x\to x_0}f(x) + \lim_{x\to x_0}g(x)\\ &= f(x_0)+g(x_0)\\ &= (f+g)(x_0). \end{aligned} \]
Donc \(f+g\) est continue en \(x_0\). On démontre de manière analogue les résultats relatifs à la différence, au produit et au produit par une constante.
Pour le quotient, si \(g(x_0)\neq0\),
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x_0)}{g(x_0)} = \left(\frac{f}{g}\right)(x_0), \]
et donc \(\displaystyle\frac{f}{g}\) est continue en \(x_0\).
Ces mêmes propriétés sont valables sur un intervalle. Si \(f\) et \(g\) sont continues sur un intervalle \(I\), alors \(f+g\), \(f-g\), \(f\cdot g\) et \(cf\) sont continues sur \(I\). Le quotient \(\displaystyle\frac{f}{g}\) est continu en tout point de \(I\) où \(g\) ne s'annule pas.
Composition de fonctions continues
Une autre propriété fondamentale concerne la composition.
Soit \(g\) continue en \(x_0\) et soit \(f\) continue en \(g(x_0)\). Alors la fonction composée
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)) \]
est continue en \(x_0\).
En effet,
\[ \lim_{x\to x_0}g(x)=g(x_0). \]
Puisque \(f\) est continue en \(g(x_0)\),
\[ \lim_{x\to x_0}f(g(x)) = f\left(\lim_{x\to x_0}g(x)\right) = f(g(x_0)). \]
On a donc
\[ \lim_{x\to x_0}(f\circ g)(x) = (f\circ g)(x_0), \]
et donc \(f\circ g\) est continue en \(x_0\).
Exemple
Considérons
\[ g(x)=x^2+1 \]
et
\[ f(t)=\sqrt{t}. \]
Les deux fonctions sont continues sur leurs domaines respectifs. De plus, \(x^2+1>0\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\), donc la composée
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{x^2+1} \]
est continue sur tout \(\mathbb{R}\).
Ces résultats permettent de reconnaître la continuité d'un très grand nombre de fonctions sans avoir à appliquer chaque fois directement la définition avec \(\varepsilon\) et \(\delta\).
Continuité des fonctions élémentaires
Les principales fonctions élémentaires sont continues en tout point de leur domaine. Associé aux propriétés des opérations et de la composition, ce résultat permet d'établir rapidement la continuité d'une vaste classe de fonctions.
Fonctions polynomiales et rationnelles
Toute fonction polynomiale
\[ P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0 \]
est continue sur tout \(\mathbb{R}\).
Une fonction rationnelle
\[ f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} \]
est continue en tout point où le dénominateur ne s'annule pas, c'est-à-dire sur son domaine
\[ \{x\in\mathbb{R}:Q(x)\neq0\}. \]
Puissances et racines
Les fonctions puissances et les fonctions radicielles usuelles, considérées sur leurs domaines réels respectifs, sont continues.
Par exemple,
\[ f(x)=\sqrt{x} \]
est continue sur
\[ [0,+\infty), \]
tandis que
\[ f(x)=\sqrt[3]{x} \]
est continue sur tout \(\mathbb{R}\).
Fonctions exponentielles et logarithmiques
La fonction exponentielle
\[ f(x)=a^x, \qquad a>0, \quad a\neq1, \]
est continue pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
La fonction logarithmique
\[ f(x)=\log_a(x), \qquad a>0, \quad a\neq1, \]
est continue sur son domaine
\[ (0,+\infty). \]
En particulier, le logarithme népérien
\[ f(x)=\ln(x) \]
est continu pour tout \(x>0\).
Fonctions trigonométriques
Les fonctions
\[ \sin(x), \qquad \cos(x) \]
sont continues sur tout \(\mathbb{R}\).
La fonction tangente
\[ \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \]
est continue aux points où \(\cos(x)\neq0\), c'est-à-dire pour
\[ x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}. \]
De même, les autres fonctions trigonométriques définies au moyen de quotients sont continues en tout point de leur domaine.
Valeur absolue
La fonction
\[ f(x)=|x| \]
est elle aussi continue sur tout \(\mathbb{R}\).
Un exemple plus élaboré
Considérons
\[ f(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x^2+4}. \]
Le polynôme \(x^2+1\) est continu et vérifie
\[ x^2+1>0 \]
pour tout \(x\in\mathbb{R}\). Par conséquent,
\[ \sqrt{x^2+1} \]
est continue sur \(\mathbb{R}\).
De plus,
\[ x^2+4>0 \]
pour tout \(x\in\mathbb{R}\), de sorte que le dénominateur ne s'annule jamais.
Par conséquent,
\[ f(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x^2+4} \]
est continue sur tout \(\mathbb{R}\).
En général, pour étudier la continuité d'une fonction élémentaire, il suffit souvent d'en déterminer correctement le domaine et de reconnaître les opérations et compositions par lesquelles la fonction est construite.
Points de discontinuité
Lorsqu'une fonction n'est pas continue en un point de son domaine, on parle de discontinuité. Dans l'étude des limites, la même terminologie est couramment employée également pour des points d'accumulation du domaine où la fonction n'est pas définie, comme c'est le cas, par exemple, pour les discontinuités éliminables.
Supposons que \(x_0\) soit un point d'accumulation du domaine à la fois par la gauche et par la droite. Pour décrire le comportement de la fonction en \(x_0\), on considère les deux limites latérales
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x) \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x). \]
Leur comportement permet de distinguer différents types de discontinuité.
Discontinuité éliminable
On a une discontinuité éliminable en \(x_0\) lorsque la limite
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \]
existe et est finie, mais que la fonction n'est pas définie en \(x_0\), ou bien qu'elle est définie et que
\[ f(x_0)\neq L. \]
La discontinuité peut être éliminée en définissant, ou en redéfinissant,
\[ f(x_0)=L. \]
Exemple. Considérons
\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}, \qquad x\neq1. \]
Pour \(x\neq1\),
\[ f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1. \]
On a donc
\[ \lim_{x\to1}f(x)=2. \]
La fonction n'est pas définie en \(x=1\), mais en posant
\[ f(1)=2 \]
on obtient une fonction continue également en ce point.
Discontinuité de première espèce ou de saut
On a une discontinuité de première espèce, également appelée discontinuité de saut, lorsque les deux limites latérales existent et sont finies mais prennent des valeurs différentes :
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L_1, \qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L_2, \qquad L_1\neq L_2. \]
Dans ce cas, la limite lorsque \(x\to x_0\) n'existe pas. La quantité
\[ |L_2-L_1| \]
est appelée amplitude du saut.
Exemple. Considérons
\[ f(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\ 1, & x\geq0. \end{cases} \]
On a
\[ \lim_{x\to0^-}f(x)=0, \qquad \lim_{x\to0^+}f(x)=1. \]
Les deux limites latérales sont finies mais distinctes. Donc \(x=0\) est un point de discontinuité de première espèce.
Discontinuité de seconde espèce
On a une discontinuité de seconde espèce lorsqu'au moins l'une des deux limites latérales n'existe pas comme limite finie.
Cela peut se produire soit parce que l'une au moins des limites est infinie, soit parce que l'une au moins d'entre elles n'existe même pas comme limite infinie.
Premier exemple. Considérons
\[ f(x)=\frac{1}{x}. \]
Lorsque \(x\to0\),
\[ \lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty, \qquad \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty. \]
Les deux limites latérales étant infinies, \(x=0\) est un point de discontinuité de seconde espèce. De plus,
\[ x=0 \]
est une asymptote verticale du graphe.
Second exemple. Considérons
\[ f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right), \qquad x\neq0. \]
Lorsque \(x\to0\), l'argument \(\displaystyle\frac{1}{x}\) croît en valeur absolue sans limite et la fonction continue d'osciller entre \(-1\) et \(1\).
Par conséquent, ni la limite à gauche ni la limite à droite n'existent, pas même comme limites infinies. Ainsi, \(x=0\) est également un point de discontinuité de seconde espèce.
Les différents types de discontinuité montrent que la continuité peut faire défaut de façons profondément différentes. L'étude des limites latérales permet de décrire avec précision le comportement local de la fonction aux points problématiques.
Théorème de conservation du signe pour les fonctions continues
Une conséquence fondamentale de la continuité est le théorème de conservation du signe : si une fonction continue prend en un point une valeur strictement positive ou strictement négative, alors elle conserve le même signe dans un voisinage approprié de ce point.
Soit
\[ f:A\to\mathbb{R} \]
continue en \(x_0\in A\).
Si
\[ f(x_0)>0, \]
alors il existe \(\delta>0\) tel que, pour tout \(x\in A\),
\[ |x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)>0. \]
De même, si
\[ f(x_0)<0, \]
il existe \(\delta>0\) tel que
\[ |x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)<0. \]
Démonstration. Supposons
\[ f(x_0)>0. \]
Choisissons
\[ \varepsilon=\frac{f(x_0)}{2}>0. \]
Puisque \(f\) est continue en \(x_0\), il existe \(\delta>0\) tel que
\[ |x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-f(x_0)| < \frac{f(x_0)}{2}. \]
De la propriété de la valeur absolue, on tire
\[ -\frac{f(x_0)}{2} < f(x)-f(x_0) < \frac{f(x_0)}{2}. \]
En considérant l'inégalité de gauche,
\[ f(x) > f(x_0)-\frac{f(x_0)}{2} = \frac{f(x_0)}{2} > 0. \]
Donc \(f\) conserve un signe positif dans un voisinage approprié de \(x_0\). Le cas \(f(x_0)<0\) se démontre de manière analogue.
Pourquoi l'hypothèse \(f(x_0)\neq0\) est essentielle
Si
\[ f(x_0)=0, \]
la continuité, à elle seule, ne permet pas de déterminer le signe de la fonction au voisinage de \(x_0\).
Par exemple,
\[ f(x)=x \]
est continue en \(x_0=0\), mais prend des valeurs négatives à gauche de \(0\) et positives à droite.
Le théorème de conservation du signe sera fondamental pour le théorème de Bolzano, dans lequel la continuité permettra de déduire l'existence d'au moins un zéro lorsqu'une fonction prend des valeurs de signes opposés aux extrémités d'un intervalle.
Théorème de Bolzano et théorème des valeurs intermédiaires
La continuité sur un intervalle produit une conséquence globale fondamentale : une fonction continue ne peut pas passer d'une valeur à une autre sans prendre également toutes les valeurs intermédiaires.
Théorème de Bolzano
Soit
\[ f:[a,b]\to\mathbb{R} \]
continue sur \([a,b]\).
Si
\[ f(a)f(b)<0, \]
c'est-à-dire si \(f(a)\) et \(f(b)\) sont de signes opposés, alors il existe au moins un point
\[ c\in(a,b) \]
tel que
\[ f(c)=0. \]
Le théorème garantit donc l'existence d'au moins un zéro de la fonction à l'intérieur de l'intervalle, mais n'affirme pas que ce zéro soit unique.
Géométriquement, si le graphe d'une fonction continue se trouve d'un côté de l'axe des \(x\) à une extrémité de l'intervalle et de l'autre côté à l'autre extrémité, il doit nécessairement couper l'axe des \(x\) au moins une fois.
Exemple. Considérons
\[ f(x)=x^3+x-1 \]
sur l'intervalle \([0,1]\).
Étant un polynôme, \(f\) est continue sur tout \(\mathbb{R}\), donc également sur \([0,1]\). De plus,
\[ f(0)=-1, \qquad f(1)=1. \]
On a donc
\[ f(0)f(1)=-1<0. \]
D'après le théorème de Bolzano, il existe au moins un point
\[ c\in(0,1) \]
tel que
\[ f(c)=0. \]
Le théorème permet ainsi de démontrer l'existence d'une solution sans avoir nécessairement à en déterminer la valeur exacte.
Théorème des valeurs intermédiaires
Le théorème de Bolzano est un cas particulier d'un résultat plus général : le théorème des valeurs intermédiaires.
Soit
\[ f:[a,b]\to\mathbb{R} \]
continue sur \([a,b]\).
Pour tout nombre réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un point \(c\in[a,b]\) tel que
\[ f(c)=k. \]
En particulier, si
\[ f(a)<k<f(b) \]
ou
\[ f(b)<k<f(a), \]
alors il existe au moins un point
\[ c\in(a,b) \]
tel que
\[ f(c)=k. \]
Cela signifie que l'image d'un intervalle par une fonction continue ne présente aucune lacune : entre deux valeurs prises par la fonction, toutes les valeurs intermédiaires sont également prises.
Par exemple, si
\[ f(a)=2, \qquad f(b)=7, \]
alors, pour tout \(k\) tel que
\[ 2<k<7, \]
il existe au moins un \(c\in(a,b)\) tel que
\[ f(c)=k. \]
Le théorème ne garantit pas l'unicité : une même valeur intermédiaire peut être prise en plusieurs points de l'intervalle.
Bolzano comme cas particulier
Si \(f(a)\) et \(f(b)\) sont de signes opposés, alors \(0\) est compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\).
En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires avec
\[ k=0, \]
on obtient immédiatement un point \(c\in(a,b)\) tel que
\[ f(c)=0. \]
Le théorème de Bolzano peut ainsi être interprété comme l'application du théorème des valeurs intermédiaires à la valeur particulière \(k=0\).
L'hypothèse de continuité est essentielle. Une fonction discontinue peut prendre des valeurs de signes opposés aux extrémités d'un intervalle sans prendre la valeur \(0\) à l'intérieur de celui-ci. C'est précisément la continuité qui empêche que l'image de la fonction présente une lacune entre les valeurs considérées.
Théorème de Weierstrass
Une autre conséquence fondamentale de la continuité concerne l'existence de maxima et de minima absolus.
Soit
\[ f:[a,b]\to\mathbb{R} \]
une fonction continue sur l'intervalle fermé et borné \([a,b]\).
Le théorème de Weierstrass affirme que \(f\) atteint sur \([a,b]\) à la fois une valeur minimale et une valeur maximale.
Autrement dit, il existe des points
\[ x_m,x_M\in[a,b] \]
tels que
\[ f(x_m)\leq f(x)\leq f(x_M) \]
pour tout \(x\in[a,b]\).
La valeur
\[ f(x_m) \]
est le minimum absolu de \(f\) sur \([a,b]\), tandis que
\[ f(x_M) \]
en est le maximum absolu.
Il importe de distinguer les points où les extrema sont atteints des valeurs extrémales elles-mêmes : \(x_m\) et \(x_M\) appartiennent au domaine, tandis que \(f(x_m)\) et \(f(x_M)\) sont respectivement le minimum et le maximum de la fonction.
Caractère borné et atteinte des extrema
Le théorème garantit en particulier qu'une fonction continue sur un intervalle fermé et borné est bornée.
En posant
\[ m=\inf f([a,b]), \qquad M=\sup f([a,b]), \]
on a
\[ m\leq f(x)\leq M \]
pour tout \(x\in[a,b]\).
Weierstrass affirme en outre quelque chose de plus fort : ces deux valeurs extrémales sont effectivement atteintes. Il existe en effet \(x_m,x_M\in[a,b]\) tels que
\[ m=f(x_m), \qquad M=f(x_M). \]
Exemple. Considérons
\[ f(x)=x^2-2x+3 \]
sur l'intervalle \([0,3]\).
Étant un polynôme, \(f\) est continue sur tout \(\mathbb{R}\), et donc également sur \([0,3]\). Le théorème de Weierstrass assure ainsi l'existence à la fois d'un minimum absolu et d'un maximum absolu.
Écrivons
\[ f(x)=(x-1)^2+2. \]
Puisque
\[ (x-1)^2\geq0, \]
la valeur minimale est atteinte en \(x=1\) :
\[ f(1)=2. \]
De plus, pour \(x\in[0,3]\),
\[ |x-1|\leq2, \]
donc
\[ (x-1)^2\leq4. \]
Par conséquent,
\[ f(x)=(x-1)^2+2\leq6, \]
avec égalité en \(x=3\). Le maximum absolu est donc
\[ f(3)=6. \]
Pourquoi les hypothèses sont importantes
Les hypothèses du théorème sont essentielles. La seule continuité ne suffit pas à garantir l'existence d'un maximum et d'un minimum absolus si l'intervalle n'est pas fermé et borné.
Par exemple,
\[ f(x)=x \]
est continue sur l'intervalle ouvert \((0,1)\), mais n'atteint ni sa borne inférieure \(0\) ni sa borne supérieure \(1\). Par conséquent, elle ne possède sur \((0,1)\) ni minimum absolu ni maximum absolu.
De même,
\[ f(x)=x \]
est continue sur tout \(\mathbb{R}\), mais elle n'est pas bornée et ne possède donc ni maximum ni minimum absolus.
Interprétation au moyen de la compacité
Dans \(\mathbb{R}\), tout ensemble fermé et borné est compact. L'intervalle \([a,b]\) est donc compact.
Puisque l'image continue d'un ensemble compact est encore compacte,
\[ f([a,b]) \]
est un sous-ensemble compact de \(\mathbb{R}\).
Par conséquent, \(f([a,b])\) est fermé et borné. Étant borné, il possède une borne inférieure et une borne supérieure ; étant fermé, il contient ces deux valeurs. Celles-ci sont donc effectivement atteintes par la fonction et constituent respectivement le minimum et le maximum absolus.
Le théorème de Weierstrass est l'un des résultats centraux de l'analyse mathématique et jouera un rôle fondamental dans l'étude des problèmes de maximum et de minimum.
Continuité de la fonction réciproque
La continuité se conserve, sous des hypothèses appropriées, également lors du passage à la fonction réciproque.
Soit \(I\subseteq\mathbb{R}\) un intervalle et soit
\[ f:I\to\mathbb{R} \]
une fonction continue et strictement monotone sur \(I\).
Puisque \(f\) est strictement monotone, elle est injective et admet donc une fonction réciproque définie sur l'image
\[ J=f(I). \]
Le théorème de la continuité de la fonction réciproque affirme que
\[ f^{-1}:J\to I \]
est continue sur \(J\).
De plus, \(J=f(I)\) est lui-même un intervalle. Cela résulte du théorème des valeurs intermédiaires : \(f\) étant continue sur un intervalle, entre deux valeurs quelconques prises par \(f\), toutes les valeurs intermédiaires sont également prises.
La fonction réciproque conserve en outre le type de monotonie :
- si \(f\) est strictement croissante, \(f^{-1}\) est également strictement croissante ;
- si \(f\) est strictement décroissante, \(f^{-1}\) est également strictement décroissante.
Géométriquement, le graphe de la fonction réciproque s'obtient en réfléchissant le graphe de \(f\) par rapport à la droite
\[ y=x. \]
Exemple : la fonction cubique
Considérons
\[ f(x)=x^3, \qquad x\in\mathbb{R}. \]
La fonction est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). De plus,
\[ f(\mathbb{R})=\mathbb{R}. \]
Sa fonction réciproque est
\[ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}. \]
D'après le théorème précédent, \(f^{-1}\) est continue sur tout \(\mathbb{R}\).
Exemple : la fonction exponentielle
Considérons
\[ f(x)=a^x, \qquad a>0, \quad a\neq1. \]
La fonction exponentielle est continue et strictement monotone sur \(\mathbb{R}\), d'image
\[ (0,+\infty). \]
Sa fonction réciproque est le logarithme
\[ f^{-1}(x)=\log_a(x), \]
qui est donc continu sur
\[ (0,+\infty). \]
La continuité de la fonction réciproque complète le tableau des principales propriétés des fonctions continues : continuité locale et sur les intervalles, conservation par les opérations et par la composition, classification des discontinuités et principales conséquences globales.
Conclusion
La continuité décrit l'une des propriétés fondamentales des fonctions réelles et établit un lien précis entre la valeur prise par une fonction en un point et le comportement de ses valeurs au voisinage de ce point.
Nous avons vu que la continuité peut être étudiée au moyen des limites, qu'elle se conserve par les principales opérations algébriques et par la composition, et que les fonctions élémentaires sont continues sur leurs domaines respectifs. Nous avons également classé les différentes façons dont une fonction peut cesser d'être continue, à travers l'étude des limites à droite et à gauche.
Sur un intervalle, la continuité produit des conséquences plus profondes encore. Le théorème de Bolzano garantit l'existence d'au moins un zéro lorsque la fonction prend des valeurs de signes opposés aux extrémités ; le théorème des valeurs intermédiaires assure qu'une fonction continue prend toutes les valeurs comprises entre deux valeurs de son image ; le théorème de Weierstrass, quant à lui, garantit l'existence d'un maximum et d'un minimum absolus sur un intervalle fermé et borné.
Ces résultats constituent une base essentielle pour le développement ultérieur de l'analyse mathématique et préparent naturellement l'étude de la dérivabilité, l'étude qualitative des fonctions et les problèmes de maximum et de minimum.