Le concept de fonction réciproque naît d'une question naturelle : étant donné une fonction qui associe à chaque élément du domaine un élément de l'ensemble d'arrivée, peut-on parcourir cette correspondance dans le sens opposé ?
Autrement dit, si une fonction \(f:A\to B\) associe à un élément \(x\in A\) la valeur \(y=f(x)\in B\), on peut se demander si, connaissant \(y\), il est possible de remonter de manière unique à l'élément \(x\) dont il provient.
Cette possibilité n'est pas toujours assurée. Une fonction peut en effet prendre la même valeur en des points différents du domaine, ou bien ne pas atteindre tous les éléments de l'ensemble d'arrivée. C'est pourquoi la fonction réciproque ne dépend pas seulement de la formule qui définit la fonction, mais aussi du domaine, de l'ensemble d'arrivée et des propriétés d'injectivité et de surjectivité.
Le but est de préciser quand une fonction admet une réciproque, comment se définit rigoureusement la fonction réciproque et quel rôle jouent les notions d'inverse à droite et d'inverse à gauche. Ces dernières permettent de comprendre avec plus de précision ce qui se produit lorsqu'une fonction n'est pas bijective, mais ne conserve qu'une seule des deux propriétés fondamentales : l'injectivité ou la surjectivité.
Sommaire
- Ce que signifie inverser une fonction
- Définition de la fonction réciproque
- Quand la fonction réciproque existe
- Unicité de la réciproque et rôle du domaine et de l'ensemble d'arrivée
- Comment trouver la fonction réciproque
- Exemples de fonctions inversibles et non inversibles
- Inverse à gauche d'une fonction
- Inverse à droite d'une fonction
- Relation entre réciproque, inverse à gauche et inverse à droite
- Récapitulatif final
Ce que signifie inverser une fonction
Soit
\[ f:A\to B \]
une fonction. Par définition, à chaque élément \(x\in A\) la fonction associe un et un seul élément \(f(x)\in B\).
Inverser une fonction, c'est se demander s'il est possible de parcourir cette association dans le sens opposé : non plus partir de \(x\) pour obtenir \(f(x)\), mais partir d'une valeur \(y\in B\) et remonter à l'élément \(x\in A\) qui l'a produite.
En symboles, si
\[ y=f(x), \]
on se demande s'il est possible de déterminer \(x\) à partir de \(y\).
Cette opération, cependant, n'est pas toujours possible. Le premier obstacle apparaît lorsque deux éléments distincts du domaine ont la même image. S'il existe \(x_1,x_2\in A\), avec \(x_1\ne x_2\), tels que
\[ f(x_1)=f(x_2), \]
alors, en partant de la valeur \(f(x_1)=f(x_2)\), on ne peut pas déterminer de façon unique si l'élément de départ était \(x_1\) ou \(x_2\). Dans ce cas, l'inversion ne peut pas donner lieu à une fonction, car une fonction doit associer à chaque élément de son domaine une et une seule valeur.
Un second obstacle apparaît lorsque certains éléments de l'ensemble d'arrivée ne sont pas des valeurs prises par la fonction. S'il existe un élément \(y\in B\) qui n'appartient pas à l'image de \(f\), alors il n'existe aucun \(x\in A\) tel que
\[ f(x)=y. \]
Dans ce cas, en partant de \(y\), on ne peut remonter à aucun élément du domaine.
L'inversion d'une fonction requiert donc deux conditions fondamentales : chaque élément de l'ensemble d'arrivée doit être effectivement atteint par la fonction, et il doit l'être par un unique élément du domaine. La première exigence correspond à la surjectivité, la seconde à l'injectivité.
Lorsque les deux conditions sont remplies, la fonction établit une correspondance biunivoque entre les éléments de \(A\) et ceux de \(B\). Ce n'est que dans cette situation qu'il est possible de définir une véritable fonction réciproque, qui associe à chaque élément de \(B\) l'unique élément de \(A\) dont il provient.
Définition de la fonction réciproque
Soit
\[ f:A\to B \]
une fonction. Une fonction
\[ f^{-1}:B\to A \]
est appelée réciproque de \(f\) si, pour tout \(x\in A\) et pour tout \(y\in B\), l'équivalence suivante est vérifiée :
\[ y=f(x) \quad \Longleftrightarrow \quad x=f^{-1}(y). \]
Autrement dit, la fonction réciproque associe à chaque élément \(y\in B\) l'unique élément \(x\in A\) dont l'image par \(f\) est précisément \(y\).
La fonction réciproque, lorsqu'elle existe, renverse le sens de la correspondance définie par \(f\). Si la fonction initiale envoie \(x\) sur \(y\), alors la fonction réciproque envoie \(y\) sur \(x\) :
\[ f(x)=y \quad \Longrightarrow \quad f^{-1}(y)=x. \]
Cette notation doit être interprétée avec soin. Le symbole \(f^{-1}\) ne désigne pas la fonction inverse au sens de \(x\mapsto \frac{1}{f(x)}\). En général,
\[ f^{-1}(x)\ne \frac{1}{f(x)}. \]
Le symbole \(f^{-1}\) désigne au contraire la fonction qui effectue l'opération inverse de \(f\), c'est-à-dire la fonction qui ramène chaque valeur de l'ensemble d'arrivée à l'élément du domaine dont elle provient.
La propriété caractéristique de la fonction réciproque peut aussi s'exprimer au moyen de la composition des fonctions. Si \(f:A\to B\) admet une réciproque \(f^{-1}:B\to A\), alors les identités
\[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A \]
et
\[ f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B \]
sont vérifiées.
La première identité signifie qu'en partant d'un élément de \(A\), puis en appliquant d'abord \(f\) et ensuite \(f^{-1}\), on revient à l'élément initial :
\[ f^{-1}(f(x))=x \qquad \text{pour tout } x\in A. \]
La seconde identité signifie qu'en partant d'un élément de \(B\), puis en appliquant d'abord \(f^{-1}\) et ensuite \(f\), on revient à l'élément initial :
\[ f(f^{-1}(y))=y \qquad \text{pour tout } y\in B. \]
Ces deux égalités résument de façon rigoureuse la signification de la fonction réciproque : appliquer une fonction puis sa réciproque, ou bien appliquer d'abord la réciproque puis la fonction, ne modifie pas l'élément de départ.
Quand la fonction réciproque existe
Toute fonction n'admet pas de réciproque. Pour qu'une fonction
\[ f:A\to B \]
admette une réciproque
\[ f^{-1}:B\to A, \]
il faut que chaque élément de \(B\) provienne d'un et un seul élément de \(A\).
Plus précisément, pour tout \(y\in B\), il doit exister un unique \(x\in A\) tel que
\[ f(x)=y. \]
Cette condition contient deux exigences distinctes.
La première est une exigence d'existence : pour tout \(y\in B\), il doit exister au moins un élément \(x\in A\) tel que \(f(x)=y\). Ainsi, chaque élément de l'ensemble d'arrivée est effectivement atteint par la fonction. C'est exactement la surjectivité.
La seconde est une exigence d'unicité : pour tout \(y\in B\), il doit exister au plus un élément \(x\in A\) tel que \(f(x)=y\). Ainsi, il ne peut y avoir deux éléments distincts du domaine ayant la même image. C'est exactement l'injectivité.
Par conséquent, une fonction admet une réciproque si et seulement si elle est à la fois injective et surjective, c'est-à-dire si et seulement si elle est bijective.
En symboles :
\[ f:A\to B \text{ admet une réciproque } f^{-1}:B\to A \quad \Longleftrightarrow \quad f \text{ est bijective}. \]
La nécessité de cette condition se comprend directement. Si \(f\) n'est pas injective, il existe deux éléments distincts \(x_1,x_2\in A\) tels que
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Dans ce cas, en partant de la valeur commune \(f(x_1)=f(x_2)\), l'éventuelle réciproque devrait associer à un même élément de \(B\) à la fois \(x_1\) et \(x_2\). Cela est impossible, car une fonction doit associer une seule valeur à chaque élément de son domaine.
Si, au contraire, \(f\) n'est pas surjective, il existe au moins un élément \(y\in B\) qui n'est l'image d'aucun élément de \(A\). Pour un tel \(y\), il n'existe aucun \(x\in A\) tel que
\[ f(x)=y. \]
Dans ce cas, la réciproque ne pourrait pas être définie sur \(B\) tout entier, car à cet élément \(y\) ne correspondrait aucun élément de \(A\).
Réciproquement, si \(f\) est bijective, alors pour tout \(y\in B\) il existe un et un seul \(x\in A\) tel que \(f(x)=y\). Il est donc possible de définir
\[ f^{-1}(y)=x. \]
Cette définition est bien posée : l'existence de \(x\) est assurée par la surjectivité, tandis que son unicité est assurée par l'injectivité.
Ainsi, la bijectivité n'est pas seulement une condition suffisante d'existence de la fonction réciproque : elle en est aussi une condition nécessaire.
Unicité de la réciproque et rôle du domaine et de l'ensemble d'arrivée
Une fonction inversible établit une correspondance biunivoque entre les éléments du domaine et ceux de l'ensemble d'arrivée.
Si
\[ f:A\to B \]
est bijective, alors chaque élément \(y\in B\) est l'image d'un et un seul élément \(x\in A\). Par conséquent, la réciproque
\[ f^{-1}:B\to A \]
est la fonction qui associe à chaque \(y\in B\) cet unique élément \(x\in A\) tel que
\[ f(x)=y. \]
En symboles :
\[ f^{-1}(y)=x \quad \Longleftrightarrow \quad f(x)=y. \]
La fonction réciproque n'est donc pas un objet ajouté artificiellement à la fonction initiale : elle est déterminée de manière unique par la fonction \(f\), dès lors que \(f\) est bijective.
En effet, s'il existait deux réciproques \(g:B\to A\) et \(h:B\to A\) d'une même fonction \(f\), alors, pour tout \(y\in B\), on aurait
\[ f(g(y))=y \qquad \text{et} \qquad f(h(y))=y. \]
Puisque \(f\) est injective, l'égalité
\[ f(g(y))=f(h(y)) \]
entraîne nécessairement
\[ g(y)=h(y). \]
Ceci vaut pour tout \(y\in B\), donc \(g=h\). La réciproque d'une fonction, lorsqu'elle existe, est donc unique.
De plus, si \(f:A\to B\) est bijective et admet une réciproque \(f^{-1}:B\to A\), alors \(f^{-1}\) est elle aussi bijective, et sa réciproque est précisément la fonction de départ :
\[ (f^{-1})^{-1}=f. \]
Cette égalité exprime le fait qu'inverser la correspondance une seconde fois ramène à la fonction initiale.
L'inversibilité dépend toujours de la fonction considérée conjointement avec son domaine et son ensemble d'arrivée. Une même formule peut définir une fonction inversible ou non inversible, selon les ensembles entre lesquels on la considère : il est donc nécessaire de toujours préciser le domaine, l'ensemble d'arrivée et la loi de correspondance.
Par exemple, la fonction
\[ f:\mathbb R\to \mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
n'est pas inversible, car elle n'est pas injective : en effet, \(f(-1)=f(1)=1\).
Si l'on considère en revanche la fonction
\[ f:[0,+\infty)\to [0,+\infty),\qquad f(x)=x^2, \]
alors \(f\) est bijective et admet donc une réciproque. Dans ce cas
\[ f^{-1}(x)=\sqrt{x}. \]
Cet exemple montre qu'il ne suffit pas de regarder la formule : pour déterminer si une fonction est inversible, il faut considérer son domaine, son ensemble d'arrivée et ses propriétés.
Comment trouver la fonction réciproque
Lorsqu'une fonction est inversible, sa réciproque peut souvent être trouvée à partir de l'équation qui définit la fonction.
Supposons donnée une fonction
\[ f:A\to B \]
définie par une certaine expression \(y=f(x)\). Pour déterminer la réciproque, il faut résoudre l'équation
\[ y=f(x) \]
par rapport à la variable \(x\).
Si la fonction est inversible, pour tout \(y\in B\) il existe un et un seul \(x\in A\) tel que \(f(x)=y\). La résolution de l'équation par rapport à \(x\) fournit donc une expression de la forme
\[ x=f^{-1}(y). \]
À ce stade, si l'on souhaite écrire la réciproque en prenant \(x\) comme variable indépendante, on peut renommer la variable \(y\) en \(x\). Cette étape n'est qu'un changement de nom de la variable, et non une modification du sens mathématique.
En pratique, le procédé est le suivant :
- on écrit \(y=f(x)\) ;
- on résout l'équation par rapport à \(x\) ;
- on obtient \(x=f^{-1}(y)\) ;
- on renomme la variable indépendante, en écrivant \(f^{-1}(x)\) à la place de \(f^{-1}(y)\).
Considérons, par exemple, la fonction
\[ f:\mathbb R\to \mathbb R,\qquad f(x)=2x+3. \]
La fonction est bijective, elle admet donc une réciproque. Écrivons
\[ y=2x+3. \]
Résolvons par rapport à \(x\) :
\[ y-3=2x, \]
d'où
\[ x=\frac{y-3}{2}. \]
Par conséquent
\[ f^{-1}(y)=\frac{y-3}{2}. \]
En renommant la variable indépendante, on obtient
\[ f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}. \]
Il est toujours utile de vérifier le résultat au moyen de la composition. En effet :
\[ f^{-1}(f(x))=f^{-1}(2x+3)=\frac{2x+3-3}{2}=x \]
pour tout \(x\in\mathbb R\), et
\[ f(f^{-1}(x))=f\left(\frac{x-3}{2}\right)=2\cdot\frac{x-3}{2}+3=x \]
pour tout \(x\in\mathbb R\).
Les deux identités confirment que la fonction obtenue est effectivement la réciproque de \(f\).
Le procédé algébrique n'a de sens comme méthode pour trouver la réciproque qu'après avoir vérifié que la fonction est inversible, ou après avoir convenablement précisé le domaine et l'ensemble d'arrivée. Le seul fait de résoudre formellement une équation ne garantit pas l'existence d'une fonction réciproque.
Par exemple, de la relation
\[ y=x^2 \]
on tire formellement
\[ x=\pm\sqrt{y}. \]
Cette expression ne définit pas une fonction réciproque de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\), car à une même valeur positive de \(y\) correspondent deux valeurs possibles de \(x\). Le problème n'est pas seulement algébrique : la fonction \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), \(f(x)=x^2\), n'est pas injective et n'est donc pas inversible.
Si l'on restreint en revanche le domaine à \([0,+\infty)\) et que l'on considère
\[ f:[0,+\infty)\to[0,+\infty),\qquad f(x)=x^2, \]
alors, pour tout \(y\in[0,+\infty)\), il existe un unique \(x\in[0,+\infty)\) tel que \(x^2=y\), c'est-à-dire
\[ x=\sqrt{y}. \]
Dans ce cas, la réciproque est
\[ f^{-1}(x)=\sqrt{x}. \]
Le calcul de la réciproque doit donc toujours s'accompagner de la vérification du domaine, de l'ensemble d'arrivée et de la bijectivité de la fonction.
Exemples de fonctions inversibles et non inversibles
Pour mieux comprendre la signification de la fonction réciproque, il est utile de comparer quelques exemples où l'inversibilité dépend de manière essentielle du domaine et de l'ensemble d'arrivée choisis.
Une fonction inversible
Considérons la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x+4. \]
La fonction est injective, car si \(f(x_1)=f(x_2)\), alors
\[ x_1+4=x_2+4, \]
et donc
\[ x_1=x_2. \]
De plus, elle est surjective, car pour tout \(y\in\mathbb R\) il existe \(x\in\mathbb R\) tel que
\[ x+4=y. \]
Il suffit en effet de choisir
\[ x=y-4. \]
La fonction est donc bijective et admet une réciproque. De la relation
\[ y=x+4 \]
on tire
\[ x=y-4. \]
Par conséquent
\[ f^{-1}(x)=x-4. \]
Une fonction non inversible parce qu'elle n'est pas injective
Considérons maintenant la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2. \]
Cette fonction n'est pas injective. En effet, deux éléments distincts du domaine peuvent avoir la même image :
\[ f(-2)=4 \qquad \text{et} \qquad f(2)=4. \]
Si l'on tentait de construire une réciproque, la valeur \(4\) devrait être envoyée à la fois sur \(-2\) et sur \(2\). Cela est impossible, car une fonction doit associer une seule valeur à chaque élément de son domaine.
Par conséquent, la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
n'admet pas de fonction réciproque.
Une fonction non inversible parce qu'elle n'est pas surjective
Considérons la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^x. \]
Cette fonction est injective, mais elle n'est pas surjective sur \(\mathbb R\). En effet, ses valeurs sont toujours positives :
\[ e^x>0 \qquad \text{pour tout } x\in\mathbb R. \]
Aucun nombre réel inférieur ou égal à zéro n'appartient donc à l'image de la fonction. Par exemple, il n'existe aucun \(x\in\mathbb R\) tel que
\[ e^x=-1. \]
Par conséquent, la fonction ne peut pas avoir de réciproque de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\), car l'éventuelle réciproque devrait être définie sur l'ensemble d'arrivée \(\mathbb R\) tout entier, y compris les valeurs non atteintes par \(f\).
Si l'on change toutefois l'ensemble d'arrivée et que l'on considère
\[ f:\mathbb R\to(0,+\infty),\qquad f(x)=e^x, \]
alors la fonction devient bijective. Elle admet dans ce cas une réciproque
\[ f^{-1}:(0,+\infty)\to\mathbb R, \]
donnée par
\[ f^{-1}(x)=\ln x. \]
Une même formule peut donner des fonctions différentes
Les exemples précédents mettent en lumière un point essentiel : l'inversibilité n'est pas une propriété de la seule formule, mais de la fonction dans son ensemble.
La formule \(x^2\), considérée comme fonction de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\), ne définit pas une fonction inversible. La même formule, considérée comme fonction de \([0,+\infty)\) dans \([0,+\infty)\), définit en revanche une fonction inversible.
De même, la formule \(e^x\), considérée comme fonction de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\), n'est pas surjective ; considérée comme fonction de \(\mathbb R\) dans \((0,+\infty)\), elle devient bijective.
Pour déterminer si une fonction admet une réciproque, il faut donc toujours préciser trois éléments : la loi de correspondance, le domaine et l'ensemble d'arrivée.
Inverse à gauche d'une fonction
La fonction réciproque n'existe, au sens ordinaire, que lorsque la fonction est bijective. Cependant, si une fonction n'est pas bijective, il peut tout de même arriver qu'une partie du comportement de la réciproque subsiste.
Cela conduit aux notions d'inverse à gauche et d'inverse à droite.
Soit
\[ f:A\to B \]
une fonction. Une fonction
\[ g:B\to A \]
est appelée inverse à gauche de \(f\) si
\[ g\circ f=\operatorname{id}_A. \]
Sous forme explicite, cela signifie que
\[ g(f(x))=x \qquad \text{pour tout } x\in A. \]
Ainsi, en appliquant d'abord \(f\) puis \(g\), on revient toujours à l'élément initial du domaine \(A\).
Le nom « inverse à gauche » provient de la position de \(g\) dans la composition
\[ g\circ f. \]
En effet, dans l'écriture \(g\circ f\), la fonction \(g\) figure à gauche de \(f\). C'est pour cette raison que \(g\) est appelée inverse à gauche de \(f\).
L'existence d'un inverse à gauche est étroitement liée à l'injectivité. Si \(f\) admet un inverse à gauche, alors \(f\) est injective.
En effet, supposons qu'il existe \(x_1,x_2\in A\) tels que
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
En appliquant \(g\) aux deux membres, on obtient
\[ g(f(x_1))=g(f(x_2)). \]
Puisque \(g\circ f=\operatorname{id}_A\), il s'ensuit que
\[ x_1=x_2. \]
Donc \(f\) est injective.
Réciproquement, si \(f\) est injective, alors chaque élément de l'image de \(f\) provient d'un unique élément de \(A\). Sur les éléments de \(B\) qui appartiennent à l'image de \(f\), on peut donc définir une fonction qui ramène chaque valeur à son unique point de départ.
Il reste cependant un point important : si \(f\) n'est pas surjective, certains éléments de \(B\) n'appartiennent pas à l'image de \(f\). Sur ces éléments, l'inverse à gauche n'est pas déterminé par la fonction \(f\), car ils ne proviennent d'aucun élément de \(A\).
C'est pourquoi, lorsque \(f\) est injective mais non surjective, un inverse à gauche peut être défini de manière naturelle sur l'image de \(f\), tandis que sur les points de \(B\setminus f(A)\) sa définition peut être choisie arbitrairement, pourvu qu'elle prenne ses valeurs dans \(A\). Dans le cadre habituel des domaines non vides, cela ne pose aucune difficulté.
Considérons, par exemple, la fonction
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^x. \]
Cette fonction est injective, mais elle n'est pas surjective sur \(\mathbb R\), car son image est \((0,+\infty)\).
Sur les éléments positifs, c'est-à-dire sur les éléments effectivement atteints par \(f\), la fonction qui inverse \(f\) est le logarithme népérien :
\[ \ln(e^x)=x \qquad \text{pour tout } x\in\mathbb R. \]
Ainsi, la fonction
\[ \ln:(0,+\infty)\to\mathbb R \]
inverse l'exponentielle sur son image, au sens où
\[ \ln\circ \exp=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
Toutefois, \(\ln\) n'est pas, à elle seule, un inverse à gauche de la fonction \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), \(f(x)=e^x\), car elle n'est pas définie sur l'ensemble d'arrivée \(\mathbb R\) tout entier. Pour obtenir un véritable inverse à gauche \(g:\mathbb R\to\mathbb R\), il faut prolonger le logarithme aux valeurs réelles inférieures ou égales à zéro.
Par exemple, on peut définir
\[ g(y)= \begin{cases} \ln y, & y>0,\\ 0, & y\le 0. \end{cases} \]
Alors \(g:\mathbb R\to\mathbb R\) est bien définie et, pour tout \(x\in\mathbb R\), on a
\[ g(e^x)=\ln(e^x)=x. \]
Donc
\[ g\circ \exp=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
Le choix de la valeur de \(g\) sur les nombres réels inférieurs ou égaux à zéro est arbitraire : en ces points, la fonction \(f(x)=e^x\) n'impose aucune valeur.
L'inverse à gauche garantit donc que la fonction peut être inversée après avoir été appliquée, mais il n'exige pas nécessairement que tous les éléments de l'ensemble d'arrivée soient atteints.
En résumé, l'existence d'un inverse à gauche exprime le fait que \(f\) n'identifie pas des éléments distincts du domaine. C'est pourquoi l'inverse à gauche est lié à l'injectivité.
Inverse à droite d'une fonction
Soit
\[ f:A\to B \]
une fonction. Une fonction
\[ h:B\to A \]
est appelée inverse à droite de \(f\) si
\[ f\circ h=\operatorname{id}_B. \]
Sous forme explicite, cela signifie que
\[ f(h(y))=y \qquad \text{pour tout } y\in B. \]
Ainsi, en partant d'un élément \(y\in B\), la fonction \(h\) choisit un élément de \(A\) que \(f\) envoie précisément sur \(y\).
Le nom « inverse à droite » provient de la position de \(h\) dans la composition
\[ f\circ h. \]
En effet, dans l'écriture \(f\circ h\), la fonction \(h\) figure à droite de \(f\). C'est pour cette raison que \(h\) est appelée inverse à droite de \(f\).
L'existence d'un inverse à droite est étroitement liée à la surjectivité. Si \(f\) admet un inverse à droite, alors \(f\) est surjective.
En effet, pour tout \(y\in B\), l'identité
\[ f(h(y))=y \]
montre que \(y\) est l'image de l'élément \(h(y)\in A\). Chaque élément de \(B\) est donc atteint par \(f\), et par conséquent \(f\) est surjective.
Réciproquement, si \(f\) est surjective, alors pour tout \(y\in B\) il existe au moins un élément \(x\in A\) tel que
\[ f(x)=y. \]
Pour construire un inverse à droite, on peut choisir, pour chaque \(y\in B\), l'un des éléments de \(A\) ayant pour image \(y\). En définissant \(h(y)\) comme l'un de ces éléments, on obtient
\[ f(h(y))=y \qquad \text{pour tout } y\in B. \]
Donc \(h\) est un inverse à droite de \(f\).
Dans un cadre ensembliste général, cette construction demande une précision. Pour définir \(h\), il faut en effet choisir, pour chaque \(y\in B\), un élément de la fibre
\[ f^{-1}(\{y\})=\{x\in A : f(x)=y\}. \]
Puisque \(f\) est surjective, chacune de ces fibres est non vide. Cependant, le choix simultané d'un élément dans chaque fibre est, dans le cas général, garanti par l'axiome du choix. Dans les cadres usuels de l'analyse et de l'algèbre élémentaire, cette difficulté n'apparaît presque jamais, car les choix sont normalement explicites ou déterminés par une règle naturelle.
Lorsque \(f\) est surjective mais non injective, l'inverse à droite n'est pas nécessairement unique. En effet, un même élément \(y\in B\) peut avoir plusieurs antécédents dans \(A\), et la fonction \(h\) doit en choisir un.
Considérons, par exemple, la fonction
\[ f:\mathbb R\to[0,+\infty),\qquad f(x)=x^2. \]
Cette fonction est surjective, mais non injective. En effet, tout nombre réel positif ou nul est le carré d'au moins un nombre réel ; or, si \(y>0\), alors
\[ f(\sqrt y)=y \qquad \text{et} \qquad f(-\sqrt y)=y. \]
Pour chaque \(y\in[0,+\infty)\), nous pouvons choisir comme antécédent le nombre positif ou nul \(\sqrt y\). On obtient ainsi la fonction
\[ h:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad h(y)=\sqrt y. \]
Alors
\[ f(h(y))=f(\sqrt y)=(\sqrt y)^2=y \qquad \text{pour tout } y\in[0,+\infty). \]
Donc \(h\) est un inverse à droite de \(f\).
On aurait toutefois pu faire un autre choix, par exemple
\[ k:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad k(y)=-\sqrt y. \]
Dans ce cas aussi, on a
\[ f(k(y))=f(-\sqrt y)=(-\sqrt y)^2=y \qquad \text{pour tout } y\in[0,+\infty). \]
Ainsi, \(k\) est lui aussi un inverse à droite de \(f\). Cela montre que, en l'absence d'injectivité, l'inverse à droite peut ne pas être unique.
L'inverse à droite garantit donc que chaque élément de l'ensemble d'arrivée peut être atteint en choisissant convenablement un élément du domaine. Il ne garantit pas, en revanche, que cet élément soit unique.
En résumé, l'existence d'un inverse à droite exprime le fait que \(f\) atteint l'ensemble d'arrivée tout entier. C'est pourquoi l'inverse à droite est lié à la surjectivité.
Relation entre réciproque, inverse à gauche et inverse à droite
Les notions d'inverse à gauche et d'inverse à droite permettent de séparer les deux propriétés qui, réunies, rendent une fonction inversible.
Soit
\[ f:A\to B \]
une fonction. Une fonction
\[ g:B\to A \]
est un inverse à gauche de \(f\) si
\[ g\circ f=\operatorname{id}_A. \]
Cette condition signifie qu'après avoir appliqué \(f\), la fonction \(g\) permet de revenir à l'élément initial de \(A\). C'est pourquoi l'existence d'un inverse à gauche est liée à l'injectivité de \(f\).
Une fonction
\[ h:B\to A \]
est au contraire un inverse à droite de \(f\) si
\[ f\circ h=\operatorname{id}_B. \]
Cette condition signifie que chaque élément de \(B\) peut être obtenu en appliquant \(f\) à un élément convenable de \(A\). C'est pourquoi l'existence d'un inverse à droite est liée à la surjectivité de \(f\).
Lorsqu'une même fonction
\[ u:B\to A \]
est à la fois inverse à gauche et inverse à droite de \(f\), c'est-à-dire lorsque les deux identités
\[ u\circ f=\operatorname{id}_A \]
et
\[ f\circ u=\operatorname{id}_B \]
sont vérifiées, alors \(u\) est la véritable fonction réciproque de \(f\). On écrit dans ce cas
\[ u=f^{-1}. \]
La fonction réciproque ordinaire peut donc être vue comme une fonction qui est, en même temps, inverse à gauche et inverse à droite.
En particulier, si \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}:B\to A\), alors
\[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A \]
et
\[ f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B. \]
La première identité exprime l'injectivité : des éléments distincts de \(A\) ne sont pas identifiés par \(f\). La seconde identité exprime la surjectivité : chaque élément de \(B\) est atteint par \(f\).
On peut donc résumer la situation de la façon suivante :
- l'inverse à gauche correspond à la récupération des éléments du domaine après l'application de \(f\) ;
- l'inverse à droite correspond à la possibilité de représenter chaque élément de l'ensemble d'arrivée comme image par \(f\) ;
- la fonction réciproque ordinaire existe lorsque les deux conditions sont remplies.
En termes de propriétés de la fonction :
\[ f \text{ admet un inverse à gauche } \Longrightarrow f \text{ est injective}, \]
tandis que
\[ f \text{ admet un inverse à droite } \Longrightarrow f \text{ est surjective}. \]
Réciproquement, si \(f\) est injective, alors on peut inverser \(f\) sur son image ; si \(f\) est surjective, alors, en admettant l'axiome du choix dans le cas général, on peut construire un inverse à droite.
Lorsque \(f\) est à la fois injective et surjective, les deux conditions se rejoignent : la fonction admet une seule réciproque, qui est en même temps inverse à gauche et inverse à droite.
En symboles :
\[ f \text{ est bijective} \quad \Longleftrightarrow \quad \exists\, f^{-1}:B\to A \]
tel que
\[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A \qquad \text{et} \qquad f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B. \]
Cette formulation met en évidence la signification profonde de l'inversibilité : une fonction est inversible lorsqu'elle ne perd aucune information sur les éléments du domaine et qu'elle atteint, en même temps, tous les éléments de l'ensemble d'arrivée.
Récapitulatif final
La fonction réciproque permet de parcourir une fonction dans le sens opposé. Si une fonction
\[ f:A\to B \]
associe à un élément \(x\in A\) la valeur \(y=f(x)\in B\), la fonction réciproque, lorsqu'elle existe, associe à \(y\) l'élément \(x\) dont il provient.
Pour que cela soit possible sur l'ensemble d'arrivée \(B\) tout entier, chaque élément de \(B\) doit être l'image d'un et un seul élément de \(A\). L'exigence d'existence correspond à la surjectivité ; l'exigence d'unicité correspond à l'injectivité.
Une fonction admet donc une réciproque si et seulement si elle est bijective :
\[ f:A\to B \text{ admet une réciproque } f^{-1}:B\to A \quad \Longleftrightarrow \quad f \text{ est bijective}. \]
Lorsque la réciproque existe, elle est caractérisée par les deux identités
\[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A \]
et
\[ f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B. \]
La première identité dit qu'en partant d'un élément de \(A\), puis en appliquant d'abord \(f\) et ensuite \(f^{-1}\), on revient à l'élément initial. La seconde dit qu'en partant d'un élément de \(B\), puis en appliquant d'abord \(f^{-1}\) et ensuite \(f\), on revient à l'élément initial.
Les inverses à gauche et à droite séparent ces deux conditions.
Un inverse à gauche de \(f\) est une fonction \(g:B\to A\) telle que
\[ g\circ f=\operatorname{id}_A. \]
Il permet de récupérer chaque élément du domaine après l'application de \(f\). C'est pourquoi il est lié à l'injectivité.
Un inverse à droite de \(f\) est une fonction \(h:B\to A\) telle que
\[ f\circ h=\operatorname{id}_B. \]
Il permet d'obtenir chaque élément de l'ensemble d'arrivée comme image par \(f\). C'est pourquoi il est lié à la surjectivité.
Si une même fonction est à la fois inverse à gauche et inverse à droite de \(f\), alors elle est la fonction réciproque ordinaire de \(f\).
En conclusion :
- l'injectivité empêche deux éléments distincts du domaine d'avoir la même image ;
- la surjectivité garantit que chaque élément de l'ensemble d'arrivée est atteint ;
- la bijectivité garantit les deux propriétés et rend possible la fonction réciproque ;
- l'inverse à gauche reflète l'injectivité ;
- l'inverse à droite reflète la surjectivité ;
- la fonction réciproque ordinaire existe lorsque les deux conditions sont réunies.
La notion de fonction réciproque ne dépend donc pas seulement d'une formule, mais de la fonction considérée dans sa totalité : domaine, ensemble d'arrivée et loi de correspondance. Ce n'est qu'en précisant tous ces éléments que l'on peut déterminer avec précision si une fonction est inversible et quelle est sa réciproque.