Un recueil accessible pour apprendre à reconnaître et à développer les carrés de binômes, les différences de carrés et les cubes. Vous trouverez des étapes détaillées et quelques conseils pour ne pas confondre les signes, afin d'acquérir de l'aisance dans les calculs pas à pas.
Résultat
Résolution
Idée directrice
L'expression est le carré d'un binôme de la forme \((a + b)^2\). On applique directement l'identité du carré d'une somme, ce qui évite de multiplier le binôme par lui-même.
Identité utilisée
\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
Identification de \(a\) et \(b\)
En comparant \((x + 3)^2\) au modèle \((a + b)^2\) : \[ a = x \qquad b = 3 \]
Application de l'identité
On substitue \(a = x\) et \(b = 3\) :
\[ (x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 \]
Calcul de chaque terme
Premier terme : \(x^2\)
Terme central : \(2 \cdot x \cdot 3 = 6x\)
Dernier terme : \(3^2 = 9\)
Résultat
\[ \boxed{x^2 + 6x + 9} \]
Résultat
Résolution
Idée directrice
On reconnaît le carré d'un binôme différence \((a - b)^2\). L'identité est analogue à celle de la somme, mais le terme central change de signe.
Identité utilisée
\[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]
Identification de \(a\) et \(b\)
\[ a = x \qquad b = 4 \]
Application de l'identité
\[ (x - 4)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 \]
Calcul de chaque terme
Premier terme : \(x^2\)
Terme central : \(2 \cdot x \cdot 4 = 8x\), avec le signe négatif : \(-8x\)
Dernier terme : \(4^2 = 16\)
Résultat
\[ \boxed{x^2 - 8x + 16} \]
Résultat
Résolution
Idée directrice
Le produit est de la forme \((a + b)(a - b)\) : une somme multipliée par la différence correspondante. On applique l'identité de la différence de deux carrés, qui donne un résultat à seulement deux termes.
Identité utilisée
\[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \]
Identification de \(a\) et \(b\)
\[ a = x \qquad b = 5 \]
Application de l'identité
\[ (x + 5)(x - 5) = x^2 - 5^2 \]
Calcul
\[ x^2 - 25 \]
Résultat
\[ \boxed{x^2 - 25} \]
Résultat
Résolution
Idée directrice
La structure reste \((a + b)^2\), mais cette fois \(a = 2x\) contient un coefficient. Il faut veiller au calcul de \(a^2 = (2x)^2\), qui vaut \(4x^2\) et non \(2x^2\).
Identité utilisée
\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
Identification de \(a\) et \(b\)
\[ a = 2x \qquad b = 1 \]
Application de l'identité
\[ (2x + 1)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 \]
Calcul de chaque terme
Premier terme : \((2x)^2 = 4x^2\)
Terme central : \(2 \cdot 2x \cdot 1 = 4x\)
Dernier terme : \(1^2 = 1\)
Résultat
\[ \boxed{4x^2 + 4x + 1} \]
Résultat
Résolution
Idée directrice
Il s'agit du carré d'un binôme différence avec un coefficient devant \(x\). On applique \((a - b)^2\) avec \(a = 3x\).
Identité utilisée
\[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]
Identification de \(a\) et \(b\)
\[ a = 3x \qquad b = 5 \]
Application de l'identité
\[ (3x - 5)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 5 + 5^2 \]
Calcul de chaque terme
Premier terme : \((3x)^2 = 9x^2\)
Terme central : \(2 \cdot 3x \cdot 5 = 30x\), avec le signe négatif : \(-30x\)
Dernier terme : \(5^2 = 25\)
Résultat
\[ \boxed{9x^2 - 30x + 25} \]
Résultat
Résolution
Idée directrice
Il s'agit d'une différence de deux carrés avec coefficient. L'identité s'applique directement, à condition d'identifier correctement \(a = 4x\).
Identité utilisée
\[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \]
Identification de \(a\) et \(b\)
\[ a = 4x \qquad b = 3 \]
Application de l'identité
\[ (4x + 3)(4x - 3) = (4x)^2 - 3^2 \]
Calcul
\[ (4x)^2 = 16x^2 \qquad 3^2 = 9 \]
Résultat
\[ \boxed{16x^2 - 9} \]
Résultat
Résolution
Idée directrice
L'expression est le cube d'un binôme somme \((a + b)^3\). L'identité donne quatre termes avec les coefficients binomiaux \(1, 3, 3, 1\).
Identité utilisée
\[ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \]
Identification de \(a\) et \(b\)
\[ a = x \qquad b = 2 \]
Application de l'identité
\[ (x + 2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3 \]
Calcul de chaque terme
Premier terme : \(x^3\)
Deuxième terme : \(3 \cdot x^2 \cdot 2 = 6x^2\)
Troisième terme : \(3 \cdot x \cdot 4 = 12x\)
Quatrième terme : \(2^3 = 8\)
Résultat
\[ \boxed{x^3 + 6x^2 + 12x + 8} \]
Résultat
Résolution
Idée directrice
On applique l'identité du cube d'un binôme différence \((a - b)^3\). Les signes alternent : \(+, -, +, -\).
Identité utilisée
\[ (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \]
Identification de \(a\) et \(b\)
\[ a = x \qquad b = 1 \]
Application de l'identité
\[ (x - 1)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 - 1^3 \]
Calcul de chaque terme
Toute puissance de \(1\) vaut \(1\), de sorte que les coefficients numériques ne changent pas :
Premier terme : \(x^3\)
Deuxième terme : \(-3x^2\)
Troisième terme : \(+3x\)
Quatrième terme : \(-1\)
Résultat
\[ \boxed{x^3 - 3x^2 + 3x - 1} \]
Résultat
Résolution
Idée directrice
On applique \((a + b)^3\) avec \(a = 2x\). L'attention se porte sur le calcul de \((2x)^3\) et \((2x)^2\), qui font intervenir le cube et le carré du coefficient \(2\).
Identité utilisée
\[ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \]
Identification de \(a\) et \(b\)
\[ a = 2x \qquad b = 3 \]
Application de l'identité
\[ (2x + 3)^3 = (2x)^3 + 3 \cdot (2x)^2 \cdot 3 + 3 \cdot (2x) \cdot 3^2 + 3^3 \]
Calcul de chaque terme
Premier terme : \((2x)^3 = 8x^3\)
Deuxième terme : \(3 \cdot 4x^2 \cdot 3 = 36x^2\)
Troisième terme : \(3 \cdot 2x \cdot 9 = 54x\)
Quatrième terme : \(3^3 = 27\)
Résultat
\[ \boxed{8x^3 + 36x^2 + 54x + 27} \]
Résultat
Résolution
Idée directrice
On applique \((a + b)^2\) où l'un des termes est déjà une puissance : \(a = x^2\). Il faut se rappeler que \((x^2)^2 = x^{2 \cdot 2} = x^4\).
Identité utilisée
\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
Identification de \(a\) et \(b\)
\[ a = x^2 \qquad b = y \]
Application de l'identité
\[ (x^2 + y)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot y + y^2 \]
Calcul de chaque terme
Premier terme : \((x^2)^2 = x^4\) (on multiplie les exposants)
Terme central : \(2x^2 y\)
Dernier terme : \(y^2\)
Résultat
\[ \boxed{x^4 + 2x^2 y + y^2} \]
Résultat
Résolution
Idée directrice
On reconnaît l'identité de la somme de deux cubes : le second facteur \(x^2 - x + 1\) est exactement le trinôme complémentaire associé à \((x + 1)\) dans cette identité. Reconnaître ce schéma évite un long développement algébrique.
Identité utilisée
\[ (a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3 \]
Identification de \(a\) et \(b\)
\[ a = x \qquad b = 1 \]
Vérification du second facteur
Le second facteur doit correspondre à \(a^2 - ab + b^2\) :
\[ x^2 - x \cdot 1 + 1^2 = x^2 - x + 1 \checkmark \]
Application de l'identité
\[ (x + 1)(x^2 - x + 1) = x^3 + 1^3 = x^3 + 1 \]
Résultat
\[ \boxed{x^3 + 1} \]
Résultat
Résolution
Idée directrice
On reconnaît l'identité de la différence de deux cubes : le second facteur \(x^2 + 2x + 4\) est le trinôme complémentaire associé à \((x - 2)\).
Identité utilisée
\[ (a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3 \]
Identification de \(a\) et \(b\)
\[ a = x \qquad b = 2 \]
Vérification du second facteur
\[ a^2 + ab + b^2 = x^2 + 2x + 4 \checkmark \]
Application de l'identité
\[ (x - 2)(x^2 + 2x + 4) = x^3 - 2^3 = x^3 - 8 \]
Résultat
\[ \boxed{x^3 - 8} \]
Résultat
Résolution
Idée directrice
On développe séparément les deux carrés de binômes, puis on additionne les polynômes obtenus en regroupant les termes semblables.
Développement de \((x+1)^2\)
\[ (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 \]
Développement de \((x-1)^2\)
\[ (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 \]
Addition des deux développements
\[ (x^2 + 2x + 1) + (x^2 - 2x + 1) \]
Regroupement des termes semblables
Les termes en \(x\) s'annulent : \(+2x - 2x = 0\).
\[ x^2 + x^2 + 2x - 2x + 1 + 1 = 2x^2 + 2 \]
Résultat
\[ \boxed{2x^2 + 2} \]
Résultat
Résolution
Idée directrice
On développe les deux carrés, puis on effectue la soustraction. On peut aussi utiliser la différence de deux carrés : en posant \(A = (x+3)\) et \(B = (x-3)\), on obtient \(A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)\).
Méthode directe — développement
\[ (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9 \]
\[ (x-3)^2 = x^2 - 6x + 9 \]
Soustraction
\[ (x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 6x + 9) \]
En distribuant le signe moins :
\[ x^2 + 6x + 9 - x^2 + 6x - 9 \]
Regroupement des termes semblables
\(x^2\) et \(9\) s'annulent deux à deux :
\[ 6x + 6x = 12x \]
Résultat
\[ \boxed{12x} \]
Résultat
Résolution
Idée directrice
On peut développer les deux carrés et soustraire, ou bien — de façon plus élégante — appliquer la différence de deux carrés en posant \(A = x+y\) et \(B = x-y\), ce qui donne \((A+B)(A-B)\).
Méthode par différence de deux carrés
Soient \(A = x+y\) et \(B = x-y\). Alors :
\[ A^2 - B^2 = (A+B)(A-B) \]
\[ A + B = (x+y) + (x-y) = 2x \]
\[ A - B = (x+y) - (x-y) = 2y \]
Produit
\[ (2x)(2y) = 4xy \]
Résultat
\[ \boxed{4xy} \]
Résultat
Résolution
Idée directrice
On traite la quantité \((x+y)\) comme une seule entité et on applique \((a + b)^2\) avec \(a = x+y\) et \(b = 2\). Le développement de \((x+y)^2\) n'intervient que dans un second temps.
Étape 1 : application de l'identité avec \(a = x+y,\ b = 2\)
\[ \left[(x+y)+2\right]^2 = (x+y)^2 + 2 \cdot (x+y) \cdot 2 + 2^2 \]
Étape 2 : développement de \((x+y)^2\)
\[ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \]
Étape 3 : développement du terme central
\[ 2 \cdot (x+y) \cdot 2 = 4(x+y) = 4x + 4y \]
Regroupement final
\[ x^2 + 2xy + y^2 + 4x + 4y + 4 \]
Résultat
\[ \boxed{x^2 + 2xy + y^2 + 4x + 4y + 4} \]
Résultat
Résolution
Idée directrice
Plutôt que de développer séparément les deux carrés avant de les multiplier, il est plus judicieux de regrouper les facteurs en exploitant les propriétés des puissances : \((x+1)^2 \cdot (x-1)^2 = \left[(x+1)(x-1)\right]^2\).
Étape 1 : regroupement stratégique
\[ (x+1)^2 \cdot (x-1)^2 = \left[(x+1)(x-1)\right]^2 \]
Étape 2 : différence de deux carrés à l'intérieur
\[ (x+1)(x-1) = x^2 - 1 \]
Étape 3 : carré du résultat
\[ (x^2 - 1)^2 \]
On applique \((a - b)^2\) avec \(a = x^2,\ b = 1\) :
\[ = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 = x^4 - 2x^2 + 1 \]
Résultat
\[ \boxed{x^4 - 2x^2 + 1} \]
Résultat
Résolution
Idée directrice
On développe les deux cubes séparément, puis on effectue la soustraction en regroupant les termes semblables. Il faut veiller tout particulièrement à bien distribuer le signe moins devant le second cube.
Développement de \((x+1)^3\)
\[ (x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \]
Développement de \((x-1)^3\)
\[ (x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \]
Soustraction (distribution du signe moins)
\[ (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) \]
\[ = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - x^3 + 3x^2 - 3x + 1 \]
Regroupement des termes semblables
\(x^3 - x^3 = 0\) \(3x - 3x = 0\) \(3x^2 + 3x^2 = 6x^2\) \(1 + 1 = 2\)
\[ = 6x^2 + 2 \]
Résultat
\[ \boxed{6x^2 + 2} \]
Résultat
Résolution
Idée directrice
Le carré d'un trinôme n'est pas une identité remarquable élémentaire, mais on peut s'y ramener en regroupant deux des trois termes : on traite \((a+b)\) comme une entité unique et on écrit \((a+b+c)^2 = \left[(a+b)+c\right]^2\).
Étape 1 : regroupement
Soit \(P = a + b\). Alors :
\[ (a+b+c)^2 = (P + c)^2 = P^2 + 2Pc + c^2 \]
Étape 2 : développement de \(P^2 = (a+b)^2\)
\[ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
Étape 3 : développement de \(2Pc\)
\[ 2(a+b)c = 2ac + 2bc \]
Étape 4 : regroupement final
\[ a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2 \]
En réordonnant par convention :
\[ a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \]
Règle mnémotechnique
Le carré d'un trinôme est égal à la somme des carrés des trois termes augmentée du double de tous les produits pris deux à deux.
Résultat
\[ \boxed{a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc} \]
Résultat
Résolution
Idée directrice
L'expression comporte trois blocs distincts. On simplifie chaque bloc grâce aux identités remarquables, puis on combine les résultats. L'observation clé est que le premier bloc se réduit exactement au second, ce qui permet une simplification immédiate.
Simplification du premier bloc
On utilise la propriété des puissances : \(A^2 \cdot B^2 = (AB)^2\).
\[ (x+y)^2(x-y)^2 = \left[(x+y)(x-y)\right]^2 \]
On applique la différence de deux carrés au produit intérieur :
\[ (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 \]
Le premier bloc devient donc :
\[ (x^2 - y^2)^2 \]
Substitution dans l'expression
\[ (x^2 - y^2)^2 - (x^2 - y^2)^2 + (x^2 + y^2)^2 \]
Simplification
Les deux premiers termes sont identiques et s'annulent :
\[ 0 + (x^2 + y^2)^2 = (x^2 + y^2)^2 \]
Développement du terme restant
On applique \((a+b)^2\) avec \(a = x^2,\ b = y^2\) :
\[ (x^2 + y^2)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 \]
Résultat
\[ \boxed{x^4 + 2x^2y^2 + y^4} \]