Exercices résolus sur les équations du second degré : des bases aux cas les plus complexes. Apprenez à utiliser le discriminant (\( \Delta \)), la formule complète et la formule réduite avec des développements étape par étape. Inclut l’analyse des racines réelles, doubles ou impossibles, la simplification des radicaux et la gestion de la forme standard.
Exercice 1— niveau ★☆☆☆☆
\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]
Résultat
\[ x_1 = 3 \qquad x_2 = 1 \]
Développement
Forme standard et coefficients
L’équation est déjà en forme standard \(ax^2 + bx + c = 0\) : \[ a = 1, \quad b = -4, \quad c = 3 \]
Discriminant
\[ \Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \]
Puisque \(\Delta > 0\), l’équation a deux solutions réelles et distinctes.
Formule complète
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \]
\[ x_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \qquad x_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1 \]
Formule réduite
Puisque \(b = -4 = 2k\), on a \(k = -2\). La formule réduite est : \[ x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a} \]
\[ k^2 - ac = 4 - 3 = 1 \]
\[ x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{1}}{1} = 2 \pm 1 \]
\[ x_1 = 3 \qquad x_2 = 1 \]
Résultat
\[ \boxed{x_1 = 3 \qquad x_2 = 1} \]
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
\[ x^2 - 6x + 8 = 0 \]
Résultat
\[ x_1 = 4 \qquad x_2 = 2 \]
Développement
Forme standard et coefficients
\[ a = 1, \quad b = -6, \quad c = 8 \]
Discriminant
\[ \Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 \]
Puisque \(\Delta > 0\), l’équation a deux solutions réelles et distinctes.
Formule complète
\[ x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2} \]
\[ x_1 = \frac{6 + 2}{2} = 4 \qquad x_2 = \frac{6 - 2}{2} = 2 \]
Formule réduite
\(b = -6 = 2k\), donc \(k = -3\) : \[ k^2 - ac = 9 - 8 = 1 \]
\[ x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{1} = 3 \pm 1 \]
\[ x_1 = 4 \qquad x_2 = 2 \]
Résultat
\[ \boxed{x_1 = 4 \qquad x_2 = 2} \]
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]
Résultat
\[ x_1 = 1 \qquad x_2 = -3 \]
Développement
Forme standard et coefficients
\[ a = 1, \quad b = 2, \quad c = -3 \]
Discriminant
\[ \Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]
Puisque \(\Delta > 0\), l’équation a deux solutions réelles et distinctes.
Formule complète
\[ x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} \]
\[ x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \qquad x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \]
Formule réduite
\(b = 2 = 2k\), donc \(k = 1\) : \[ k^2 - ac = 1 - 1 \cdot (-3) = 1 + 3 = 4 \]
\[ x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{4}}{1} = -1 \pm 2 \]
\[ x_1 = 1 \qquad x_2 = -3 \]
Résultat
\[ \boxed{x_1 = 1 \qquad x_2 = -3} \]
Exercice 4 — niveau ★★☆☆☆
\[ x^2 - 2x - 8 = 0 \]
Résultat
\[ x_1 = 4 \qquad x_2 = -2 \]
Développement
Forme standard et coefficients
\[ a = 1, \quad b = -2, \quad c = -8 \]
Discriminant
\[ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \]
Puisque \(\Delta > 0\), l’équation a deux solutions réelles et distinctes.
Formule complète
\[ x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2} \]
\[ x_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4 \qquad x_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2 \]
Formule réduite
\(b = -2 = 2k\), donc \(k = -1\) : \[ k^2 - ac = 1 - 1 \cdot (-8) = 1 + 8 = 9 \]
\[ x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{1} = 1 \pm 3 \]
\[ x_1 = 4 \qquad x_2 = -2 \]
Résultat
\[ \boxed{x_1 = 4 \qquad x_2 = -2} \]
Exercice 5 — niveau ★★☆☆☆
\[ x^2 + 4x + 4 = 0 \]
Résultat
\[ x_1 = x_2 = -2 \quad \text{(racine double)} \]
Développement
Forme standard et coefficients
\[ a = 1, \quad b = 4, \quad c = 4 \]
Discriminant
\[ \Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0 \]
Puisque \(\Delta = 0\), l’équation a une racine double.
Formule complète
\[ x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{0}}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]
Formule réduite
\(b = 4 = 2k\), donc \(k = 2\) : \[ k^2 - ac = 4 - 4 = 0 \]
\[ x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{0}}{1} = -2 \]
Résultat
\[ \boxed{x_1 = x_2 = -2} \]
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
\[ x^2 - 6x + 9 = 0 \]
Résultat
\[ x_1 = x_2 = 3 \quad \text{(racine double)} \]
Développement
Forme standard et coefficients
\[ a = 1, \quad b = -6, \quad c = 9 \]
Observation
Remarquez que \(x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2\) : il s’agit du carré d’un binôme. Nous nous attendons donc à une racine double.
Discriminant
\[ \Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0 \]
Formule complète
\[ x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{0}}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
Formule réduite
\(b = -6 = 2k\), donc \(k = -3\) : \[ k^2 - ac = 9 - 9 = 0 \]
\[ x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{0}}{1} = 3 \]
Résultat
\[ \boxed{x_1 = x_2 = 3} \]
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
\[ 2x^2 - 6x + 4 = 0 \]
Résultat
\[ x_1 = 2 \qquad x_2 = 1 \]
Développement
Forme standard et coefficients
\[ a = 2, \quad b = -6, \quad c = 4 \]
Discriminant
\[ \Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 36 - 32 = 4 \]
Puisque \(\Delta > 0\), l’équation a deux solutions réelles et distinctes.
Formule complète
\[ x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 2} = \frac{6 \pm 2}{4} \]
\[ x_1 = \frac{6 + 2}{4} = 2 \qquad x_2 = \frac{6 - 2}{4} = 1 \]
Formule réduite
\(b = -6 = 2k\), donc \(k = -3\) : \[ k^2 - ac = 9 - 2 \cdot 4 = 9 - 8 = 1 \]
\[ x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2} \]
\[ x_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2 \qquad x_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1 \]
Résultat
\[ \boxed{x_1 = 2 \qquad x_2 = 1} \]
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
\[ x^2 + 2x + 5 = 0 \]
Résultat
L’équation n’a pas de solutions réelles (\(\Delta < 0\)).
Développement
Forme standard et coefficients
\[ a = 1, \quad b = 2, \quad c = 5 \]
Discriminant
\[ \Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 \]
Puisque \(\Delta < 0\), l’équation n’a pas de solutions réelles. La racine carrée d’un nombre négatif n’est pas définie dans l’ensemble des réels.
Formule complète
\[ x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} \]
L’expression \(\sqrt{-16}\) n’est pas réelle : cela confirme l’absence de solutions.
Formule réduite
\(b = 2 = 2k\), donc \(k = 1\) : \[ k^2 - ac = 1 - 5 = -4 \]
Même avec la formule réduite, la valeur sous le radical est négative, confirmant l’absence de solutions réelles.
Résultat
\[ \boxed{\Delta = -16 < 0 \implies \text{aucune solution réelle}} \]
Exercice 9 — niveau ★★★☆☆
\[ 3x^2 - 12x + 9 = 0 \]
Résultat
\[ x_1 = 3 \qquad x_2 = 1 \]
Développement
Forme standard et coefficients
\[ a = 3, \quad b = -12, \quad c = 9 \]
Discriminant
\[ \Delta = (-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 9 = 144 - 108 = 36 \]
Puisque \(\Delta > 0\), l’équation a deux solutions réelles et distinctes.
Formule complète
\[ x_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 3} = \frac{12 \pm 6}{6} \]
\[ x_1 = \frac{12 + 6}{6} = 3 \qquad x_2 = \frac{12 - 6}{6} = 1 \]
Formule réduite
\(b = -12 = 2k\), donc \(k = -6\) : \[ k^2 - ac = 36 - 3 \cdot 9 = 36 - 27 = 9 \]
\[ x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{9}}{3} = \frac{6 \pm 3}{3} \]
\[ x_1 = \frac{6 + 3}{3} = 3 \qquad x_2 = \frac{6 - 3}{3} = 1 \]
Résultat
\[ \boxed{x_1 = 3 \qquad x_2 = 1} \]
Exercice 10 — niveau ★★★☆☆
\[ x^2 - 8x + 12 = 0 \]
Résultat
\[ x_1 = 6 \qquad x_2 = 2 \]
Développement
Forme standard et coefficients
\[ a = 1, \quad b = -8, \quad c = 12 \]
Discriminant
\[ \Delta = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16 \]
Formule complète
\[ x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{8 \pm 4}{2} \]
\[ x_1 = \frac{8 + 4}{2} = 6 \qquad x_2 = \frac{8 - 4}{2} = 2 \]
Formule réduite
\(b = -8 = 2k\), donc \(k = -4\) : \[ k^2 - ac = 16 - 12 = 4 \]
\[ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{1} = 4 \pm 2 \]
\[ x_1 = 6 \qquad x_2 = 2 \]
Résultat
\[ \boxed{x_1 = 6 \qquad x_2 = 2} \]
Exercice 11 — niveau ★★★☆☆
\[ 2x^2 + 8x + 6 = 0 \]
Résultat
\[ x_1 = -1 \qquad x_2 = -3 \]
Développement
Forme standard et coefficients
\[ a = 2, \quad b = 8, \quad c = 6 \]
Discriminant
\[ \Delta = 8^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 64 - 48 = 16 \]
Formule complète
\[ x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 2} = \frac{-8 \pm 4}{4} \]
\[ x_1 = \frac{-8 + 4}{4} = -1 \qquad x_2 = \frac{-8 - 4}{4} = -3 \]
Formule réduite
\(b = 8 = 2k\), donc \(k = 4\) : \[ k^2 - ac = 16 - 2 \cdot 6 = 16 - 12 = 4 \]
\[ x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{-4 \pm 2}{2} \]
\[ x_1 = \frac{-4 + 2}{2} = -1 \qquad x_2 = \frac{-4 - 2}{2} = -3 \]
Résultat
\[ \boxed{x_1 = -1 \qquad x_2 = -3} \]
Exercice 12 — niveau ★★★☆☆
\[ x^2 - 10x + 16 = 0 \]
Résultat
\[ x_1 = 8 \qquad x_2 = 2 \]
Développement
Forme standard et coefficients
\[ a = 1, \quad b = -10, \quad c = 16 \]
Discriminant
\[ \Delta = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36 \]
Formule complète
\[ x_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{10 \pm 6}{2} \]
\[ x_1 = \frac{10 + 6}{2} = 8 \qquad x_2 = \frac{10 - 6}{2} = 2 \]
Formule réduite
\(b = -10 = 2k\), donc \(k = -5\) : \[ k^2 - ac = 25 - 16 = 9 \]
\[ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{1} = 5 \pm 3 \]
\[ x_1 = 8 \qquad x_2 = 2 \]
Résultat
\[ \boxed{x_1 = 8 \qquad x_2 = 2} \]
Exercice 13 — niveau ★★★☆☆
\[ 3x^2 - 6x - 9 = 0 \]
Résultat
\[ x_1 = 3 \qquad x_2 = -1 \]
Développement
Forme standard et coefficients
\[ a = 3, \quad b = -6, \quad c = -9 \]
Discriminant
\[ \Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-9) = 36 + 108 = 144 \]
Formule complète
\[ x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{144}}{2 \cdot 3} = \frac{6 \pm 12}{6} \]
\[ x_1 = \frac{6 + 12}{6} = 3 \qquad x_2 = \frac{6 - 12}{6} = -1 \]
Formule réduite
\(b = -6 = 2k\), donc \(k = -3\) : \[ k^2 - ac = 9 - 3 \cdot (-9) = 9 + 27 = 36 \]
\[ x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{36}}{3} = \frac{3 \pm 6}{3} \]
\[ x_1 = \frac{3 + 6}{3} = 3 \qquad x_2 = \frac{3 - 6}{3} = -1 \]
Résultat
\[ \boxed{x_1 = 3 \qquad x_2 = -1} \]
Exercice 14 — niveau ★★★☆☆
\[ 2x^2 - 4x - 6 = 0 \]
Résultat
\[ x_1 = 3 \qquad x_2 = -1 \]
Développement
Forme standard et coefficients
\[ a = 2, \quad b = -4, \quad c = -6 \]
Discriminant
\[ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 16 + 48 = 64 \]
Formule complète
\[ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm 8}{4} \]
\[ x_1 = \frac{4 + 8}{4} = 3 \qquad x_2 = \frac{4 - 8}{4} = -1 \]
Formule réduite
\(b = -4 = 2k\), donc \(k = -2\) : \[ k^2 - ac = 4 - 2 \cdot (-6) = 4 + 12 = 16 \]
\[ x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \]
\[ x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \qquad x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 \]
Résultat
\[ \boxed{x_1 = 3 \qquad x_2 = -1} \]
Exercice 15 — niveau ★★★★☆
\[ x^2 + 6x + 2 = 0 \]
Résultat
\[ x_1 = -3 + \sqrt{7} \qquad x_2 = -3 - \sqrt{7} \]
Développement
Forme standard et coefficients
\[ a = 1, \quad b = 6, \quad c = 2 \]
Discriminant
\[ \Delta = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 36 - 8 = 28 = 4 \cdot 7 \]
On simplifie \(\sqrt{28} = 2\sqrt{7}\).
Formule complète
\[ x_{1,2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{7}}{2} = -3 \pm \sqrt{7} \]
Formule réduite
\(b = 6 = 2k\), donc \(k = 3\) : \[ k^2 - ac = 9 - 2 = 7 \]
\[ x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{7}}{1} = -3 \pm \sqrt{7} \]
La formule réduite donne directement le résultat sans devoir simplifier la racine.
Résultat
\[ \boxed{x_1 = -3 + \sqrt{7} \qquad x_2 = -3 - \sqrt{7}} \]
Exercice 16 — niveau ★★★★☆
\[ 2x^2 - 4x - 1 = 0 \]
Résultat
\[ x_1 = \frac{2 + \sqrt{6}}{2} \qquad x_2 = \frac{2 - \sqrt{6}}{2} \]
Développement
Forme standard et coefficients
\[ a = 2, \quad b = -4, \quad c = -1 \]
Discriminant
\[ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 16 + 8 = 24 = 4 \cdot 6 \]
On simplifie \(\sqrt{24} = 2\sqrt{6}\).
Formule complète
\[ x_{1,2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{6}}{2} \]
Formule réduite
\(b = -4 = 2k\), donc \(k = -2\) : \[ k^2 - ac = 4 - 2 \cdot (-1) = 4 + 2 = 6 \]
\[ x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{6}}{2} \]
La formule réduite évite la simplification de \(\sqrt{24}\) et fournit directement le résultat.
Résultat
\[ \boxed{x_1 = \frac{2 + \sqrt{6}}{2} \qquad x_2 = \frac{2 - \sqrt{6}}{2}} \]
Exercice 17 — niveau ★★★★☆
\[ x^2 - 2x - 5 = 0 \]
Résultat
\[ x_1 = 1 + \sqrt{6} \qquad x_2 = 1 - \sqrt{6} \]
Développement
Forme standard et coefficients
\[ a = 1, \quad b = -2, \quad c = -5 \]
Discriminant
\[ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24 = 4 \cdot 6 \]
On simplifie \(\sqrt{24} = 2\sqrt{6}\).
Formule complète
\[ x_{1,2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6} \]
Formule réduite
\(b = -2 = 2k\), donc \(k = -1\) : \[ k^2 - ac = 1 - 1 \cdot (-5) = 1 + 5 = 6 \]
\[ x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{6}}{1} = 1 \pm \sqrt{6} \]
Résultat
\[ \boxed{x_1 = 1 + \sqrt{6} \qquad x_2 = 1 - \sqrt{6}} \]
Exercice 18 — niveau ★★★★★
\[ 3x^2 + 6x - 1 = 0 \]
Résultat
\[ x_1 = \frac{-3 + 2\sqrt{3}}{3} \qquad x_2 = \frac{-3 - 2\sqrt{3}}{3} \]
Développement
Forme standard et coefficients
\[ a = 3, \quad b = 6, \quad c = -1 \]
Discriminant
\[ \Delta = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 36 + 12 = 48 = 16 \cdot 3 \]
On simplifie \(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\).
Formule complète
\[ x_{1,2} = \frac{-6 \pm 4\sqrt{3}}{6} = \frac{-3 \pm 2\sqrt{3}}{3} \]
Formule réduite
\(b = 6 = 2k\), donc \(k = 3\) : \[ k^2 - ac = 9 - 3 \cdot (-1) = 9 + 3 = 12 = 4 \cdot 3 \]
On simplifie \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) : \[ x_{1,2} = \frac{-3 \pm 2\sqrt{3}}{3} \]
La formule réduite divise par deux le calcul du discriminant : au lieu de \(\Delta = 48\) on travaille avec \(k^2 - ac = 12\), plus maniable.
Résultat
\[ \boxed{x_1 = \frac{-3 + 2\sqrt{3}}{3} \qquad x_2 = \frac{-3 - 2\sqrt{3}}{3}} \]
Exercice 19 — niveau ★★★★★
\[ 2x^2 - 8x + 3 = 0 \]
Résultat
\[ x_1 = \frac{4 + \sqrt{10}}{2} \qquad x_2 = \frac{4 - \sqrt{10}}{2} \]
Développement
Forme standard et coefficients
\[ a = 2, \quad b = -8, \quad c = 3 \]
Discriminant
\[ \Delta = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 64 - 24 = 40 = 4 \cdot 10 \]
On simplifie \(\sqrt{40} = 2\sqrt{10}\).
Formule complète
\[ x_{1,2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{10}}{2} \]
Formule réduite
\(b = -8 = 2k\), donc \(k = -4\) : \[ k^2 - ac = 16 - 2 \cdot 3 = 16 - 6 = 10 \]
\[ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{10}}{2} \]
Ici aussi la formule réduite est plus efficace : la valeur sous le radical est \(10\) au lieu de \(40\), rendant la simplification immédiate.
Résultat
\[ \boxed{x_1 = \frac{4 + \sqrt{10}}{2} \qquad x_2 = \frac{4 - \sqrt{10}}{2}} \]
Exercice 20 du 06/04/2026 - 13:30 — niveau ★★★★★
\[ 5x^2 - 10x + 3 = 0 \]
Résultat
\[ x_1 = \frac{5 + \sqrt{10}}{5} \qquad x_2 = \frac{5 - \sqrt{10}}{5} \]
Développement
Forme standard et coefficients
\[ a = 5, \quad b = -10, \quad c = 3 \]
Discriminant
\[ \Delta = (-10)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 100 - 60 = 40 = 4 \cdot 10 \]
On simplifie \(\sqrt{40} = 2\sqrt{10}\).
Formule complète
\[ x_{1,2} = \frac{10 \pm 2\sqrt{10}}{10} = \frac{5 \pm \sqrt{10}}{5} \]
Formule réduite
\(b = -10 = 2k\), donc \(k = -5\) : \[ k^2 - ac = 25 - 5 \cdot 3 = 25 - 15 = 10 \]
\[ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{10}}{5} \]
Avec la formule réduite le discriminant réduit vaut \(10\) au lieu de \(40\) : le résultat se lit directement sans simplifications supplémentaires.
Résultat
\[ \boxed{x_1 = \frac{5 + \sqrt{10}}{5} \qquad x_2 = \frac{5 - \sqrt{10}}{5}} \]