Recueil d'exercices sur les systèmes d'équations avec les méthodes de substitution, de combinaison linéaire (élimination) et de réduction. On y trouve des systèmes à 2 et à 3 inconnues, des cas particuliers (systèmes indéterminés ou impossibles) ainsi que quelques systèmes non linéaires simples.
Avant de commencer, rappelons les principales méthodes :
• Substitution : on isole une inconnue, puis on la remplace dans l'autre équation.
• Combinaison linéaire (élimination) : on multiplie les équations pour rendre les coefficients d'une inconnue égaux ou opposés, puis on additionne ou on soustrait.
• Réduction : on transforme le système en forme échelonnée (utile pour les systèmes à trois inconnues).
On vérifie toujours les solutions en les substituant dans les équations de départ.
Exercice 1 — niveau ★★☆☆☆
\[ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} \]
Résultat
\( x = 3 \quad y = 2 \)
Résolution
Méthode par addition
En additionnant membre à membre, on élimine \( y \) :
\( (x + y) + (x - y) = 5 + 1 \implies 2x = 6 \implies x = 3 \)
En reportant dans la première équation : \( 3 + y = 5 \implies y = 2 \).
Vérification
\( 3 + 2 = 5 \) et \( 3 - 2 = 1 \)
Résultat : \(\boxed{x = 3 \quad y = 2}\)
Exercice 2 — niveau ★★☆☆☆
\[ \begin{cases} x - 2y = 0 \\ x + y = 6 \end{cases} \]
Résultat
\( x = 4 \quad y = 2 \)
Résolution
Méthode par substitution
La première équation donne \( x = 2y \). En reportant dans la seconde :
\( 2y + y = 6 \implies 3y = 6 \implies y = 2 \), d'où \( x = 4 \).
Vérification
\( 4 - 4 = 0 \) et \( 4 + 2 = 6 \)
Résultat : \(\boxed{x = 4 \quad y = 2}\)
Exercice 3 — niveau ★★☆☆☆
\[ \begin{cases} 3x + y = 10 \\ x + 3y = 6 \end{cases} \]
Résultat
\( x = 3 \quad y = 1 \)
Résolution
Méthode par substitution
On tire de la première : \( y = 10 - 3x \). En reportant dans la seconde :
\( x + 3(10 - 3x) = 6 \implies x + 30 - 9x = 6 \implies -8x = -24 \implies x = 3 \)
Puis \( y = 10 - 9 = 1 \).
Vérification
\( 9 + 1 = 10 \) et \( 3 + 3 = 6 \)
Résultat : \(\boxed{x = 3 \quad y = 1}\)
Exercice 4 — niveau ★★☆☆☆
\[ \begin{cases} 5x + 2y = 14 \\ x + y = 4 \end{cases} \]
Résultat
\( x = 2 \quad y = 2 \)
Résolution
Méthode par substitution
De la seconde équation, \( x = 4 - y \). En reportant dans la première :
\( 5(4 - y) + 2y = 14 \implies 20 - 5y + 2y = 14 \implies -3y = -6 \implies y = 2 \)
On obtient alors \( x = 4 - 2 = 2 \).
Vérification
\( 10 + 4 = 14 \) et \( 2 + 2 = 4 \)
Résultat : \(\boxed{x = 2 \quad y = 2}\)
Exercice 5 — niveau ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ 4x + y = 9 \end{cases} \]
Résultat
\( x = 2 \quad y = 1 \)
Résolution
Méthode par combinaison linéaire
On multiplie la seconde équation par 3 afin que les coefficients de \( y \) soient opposés :
\( \begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ 12x + 3y = 27 \end{cases} \)
En additionnant : \( 14x = 28 \implies x = 2 \). On en déduit \( y = 1 \).
Vérification
\( 4 - 3 = 1 \) et \( 8 + 1 = 9 \)
Résultat : \(\boxed{x = 2 \quad y = 1}\)
Exercice 6 — niveau ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 5x - 2y = 4 \end{cases} \]
Résultat
\( x = 2 \quad y = 3 \)
Résolution
Méthode par combinaison linéaire
Les coefficients de \( y \) sont déjà opposés. En additionnant les deux équations :
\( 8x = 16 \implies x = 2 \). On en déduit \( y = 3 \).
Vérification
\( 6 + 6 = 12 \) et \( 10 - 6 = 4 \)
Résultat : \(\boxed{x = 2 \quad y = 3}\)
Exercice 7 — niveau ★★★☆☆
\[ \begin{cases} \dfrac{x}{3} + y = 3 \\ x + \dfrac{y}{2} = 4 \end{cases} \]
Résultat
\( x = 3 \quad y = 2 \)
Résolution
Suppression des dénominateurs
Première équation ×3 : \( x + 3y = 9 \)
Seconde équation ×2 : \( 2x + y = 8 \)
De la première, \( x = 9 - 3y \). En reportant : \( 2(9 - 3y) + y = 8 \implies y = 2 \), donc \( x = 3 \).
Vérification
\( 1 + 2 = 3 \) et \( 3 + 1 = 4 \)
Résultat : \(\boxed{x = 3 \quad y = 2}\)
Exercice 8 — niveau ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 4x - 3y = -1 \\ 2x + 5y = 19 \end{cases} \]
Résultat
\( x = 2 \quad y = 3 \)
Résolution
Méthode par combinaison linéaire
Seconde équation ×2 : \( 4x + 10y = 38 \). En soustrayant la première :
\( 13y = 39 \implies y = 3 \). D'où \( x = 2 \).
Vérification
\( 8 - 9 = -1 \) et \( 4 + 15 = 19 \)
Résultat : \(\boxed{x = 2 \quad y = 3}\)
Exercice 9 — niveau ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 2x + 3y = 6 \\ 4x + 6y = 12 \end{cases} \]
Résultat
Une infinité de solutions
Résolution
Analyse du système
En multipliant la première équation par 2, on retrouve la seconde : les deux équations sont équivalentes (elles représentent la même droite).
Le système est indéterminé. Solutions : \( x = \frac{6 - 3t}{2} \), \( y = t \) avec \( t \in \mathbb{R} \).
Résultat : \(\boxed{\text{Une infinité de solutions : } x = \dfrac{6-3t}{2},\ y = t \ (t \in \mathbb{R})}\)
Exercice 10 — niveau ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 3x - y = 5 \\ 6x - 2y = 8 \end{cases} \]
Résultat
Aucune solution
Résolution
Analyse du système
En multipliant la première par 2, on obtient \( 6x - 2y = 10 \), ce qui contredit la seconde équation.
Les droites sont parallèles et distinctes → système impossible.
Résultat : \(\boxed{\text{Système impossible — aucune solution}}\)
Exercice 11 — niveau ★★★☆☆
\[ \begin{cases} \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 4 \\ \dfrac{x}{4} - \dfrac{y}{6} = 0 \end{cases} \]
Résultat
\( x = 4 \quad y = 6 \)
Résolution
Suppression des dénominateurs
Première équation ×6 : \( 3x + 2y = 24 \)
Seconde équation ×12 : \( 3x - 2y = 0 \)
Méthode par combinaison linéaire
En additionnant les deux équations, on élimine \( y \) :
\( 6x = 24 \implies x = 4 \)
En reportant dans la seconde : \( 12 - 2y = 0 \implies y = 6 \).
Vérification
\( \dfrac{4}{2} + \dfrac{6}{3} = 2 + 2 = 4 \) et \( \dfrac{4}{4} - \dfrac{6}{6} = 1 - 1 = 0 \)
Résultat : \(\boxed{x = 4 \quad y = 6}\)
Exercice 12 — niveau ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 7x - 2y = 16 \\ 3x + 4y = 2 \end{cases} \]
Résultat
\( x = 2 \quad y = -1 \)
Résolution
Méthode par combinaison linéaire
On multiplie la première équation par 2 pour rendre opposés les coefficients de \( y \) :
\( \begin{cases} 14x - 4y = 32 \\ 3x + 4y = 2 \end{cases} \)
En additionnant : \( 17x = 34 \implies x = 2 \).
En reportant dans la seconde : \( 6 + 4y = 2 \implies y = -1 \).
Vérification
\( 14 + 2 = 16 \) et \( 6 - 4 = 2 \)
Résultat : \(\boxed{x = 2 \quad y = -1}\)
Exercice 13 — niveau ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 4x + 3y = 17 \\ 5x - 2y = 4 \end{cases} \]
Résultat
\( x = 2 \quad y = 3 \)
Résolution
Combinaison linéaire (double multiplication)
Pour éliminer \( y \), on multiplie la première équation par 2 et la seconde par 3 :
\( \begin{cases} 8x + 6y = 34 \\ 15x - 6y = 12 \end{cases} \)
En additionnant : \( 23x = 46 \implies x = 2 \).
En reportant dans la première : \( 8 + 3y = 17 \implies y = 3 \).
Vérification
\( 8 + 9 = 17 \) et \( 10 - 6 = 4 \)
Résultat : \(\boxed{x = 2 \quad y = 3}\)
Exercice 14 — niveau ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 2(x + 1) - y = 5 \\ x - (y - 3) = 4 \end{cases} \]
Résultat
\( x = 2 \quad y = 1 \)
Résolution
Mise en forme préalable
En développant les parenthèses :
\( 2x + 2 - y = 5 \implies 2x - y = 3 \)
\( x - y + 3 = 4 \implies x - y = 1 \)
Méthode par combinaison linéaire
En soustrayant la seconde de la première :
\( (2x - y) - (x - y) = 3 - 1 \implies x = 2 \)
Puis \( y = x - 1 = 1 \).
Vérification
\( 2(3) - 1 = 5 \) et \( 2 - (1 - 3) = 4 \)
Résultat : \(\boxed{x = 2 \quad y = 1}\)
Exercice 15 — niveau ★★★☆☆
\[ \begin{cases} -2x + 3y = -1 \\ 5x - y = 9 \end{cases} \]
Résultat
\( x = 2 \quad y = 1 \)
Résolution
Méthode par substitution
De la seconde, \( y = 5x - 9 \). En reportant dans la première :
\( -2x + 3(5x - 9) = -1 \implies -2x + 15x - 27 = -1 \implies 13x = 26 \implies x = 2 \)
D'où \( y = 10 - 9 = 1 \).
Vérification
\( -4 + 3 = -1 \) et \( 10 - 1 = 9 \)
Résultat : \(\boxed{x = 2 \quad y = 1}\)
Exercice 16 — niveau ★★★★☆
Un père a 30 ans de plus que son fils. Dans 10 ans, l'âge du père sera le double de celui de son fils. Déterminer leurs âges actuels.
Résultat
Père : 50 ans ; fils : 20 ans
Résolution
Mise en équation
Notons \( p \) l'âge du père et \( f \) celui du fils :
\[ \begin{cases} p = f + 30 \\ p + 10 = 2(f + 10) \end{cases} \]
Méthode par substitution
En reportant \( p = f + 30 \) dans la seconde :
\( (f + 30) + 10 = 2f + 20 \implies f + 40 = 2f + 20 \implies f = 20 \)
Et donc \( p = 20 + 30 = 50 \).
Vérification
Différence actuelle : \( 50 - 20 = 30 \). Dans 10 ans : \( 60 = 2 \cdot 30 \) ✓
Résultat : \(\boxed{\text{Père : } 50 \text{ ans ; fils : } 20 \text{ ans}}\)
Exercice 17 — niveau ★★★★☆
\[ \begin{cases} 7x + 3y = 27 \\ 2x + 5y = 16 \end{cases} \]
Résultat
\( x = 3 \quad y = 2 \)
Résolution
Combinaison linéaire (double multiplication)
Pour éliminer \( y \), on multiplie la première par 5 et la seconde par 3 :
\( \begin{cases} 35x + 15y = 135 \\ 6x + 15y = 48 \end{cases} \)
En soustrayant : \( 29x = 87 \implies x = 3 \).
En reportant dans la première équation initiale : \( 21 + 3y = 27 \implies y = 2 \).
Vérification
\( 21 + 6 = 27 \) et \( 6 + 10 = 16 \)
Résultat : \(\boxed{x = 3 \quad y = 2}\)
Exercice 18 — niveau ★★★★☆
\[ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ x + y - z = 0 \end{cases} \]
Résultat
\( x = 1 \quad y = 2 \quad z = 3 \)
Résolution
Méthode par combinaison linéaire
En soustrayant la seconde de la première :
\( (x + y + z) - (x - y + z) = 6 - 2 \implies 2y = 4 \implies y = 2 \)
En soustrayant la troisième de la première :
\( (x + y + z) - (x + y - z) = 6 - 0 \implies 2z = 6 \implies z = 3 \)
En reportant dans la première : \( x + 2 + 3 = 6 \implies x = 1 \).
Vérification
\( 1 + 2 + 3 = 6 \) ✓, \( 1 - 2 + 3 = 2 \) ✓, \( 1 + 2 - 3 = 0 \) ✓
Résultat : \(\boxed{x = 1 \quad y = 2 \quad z = 3}\)
Exercice 19 — niveau ★★★★☆
\[ \begin{cases} x + 2y + z = 7 \\ 2x + y + z = 8 \\ x + y + 2z = 9 \end{cases} \]
Résultat
\( x = 2 \quad y = 1 \quad z = 3 \)
Résolution
Méthode par combinaison linéaire
En soustrayant la première de la seconde :
\( x - y = 1 \quad (\text{A}) \)
En soustrayant la première de la troisième :
\( -y + z = 2 \implies z = y + 2 \quad (\text{B}) \)
En reportant \( z = y + 2 \) et \( x = y + 1 \) (issu de A) dans la première équation :
\( (y + 1) + 2y + (y + 2) = 7 \implies 4y + 3 = 7 \implies y = 1 \)
On en déduit \( x = 2 \) et \( z = 3 \).
Vérification
\( 2 + 2 + 3 = 7 \) ✓, \( 4 + 1 + 3 = 8 \) ✓, \( 2 + 1 + 6 = 9 \) ✓
Résultat : \(\boxed{x = 2 \quad y = 1 \quad z = 3}\)
Exercice 20 — niveau ★★★★☆
\[ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 5 \end{cases} \]
Résultat
\( x = 1 \quad y = 2 \quad z = 3 \)
Résolution
Méthode de réduction
En soustrayant la première de la seconde :
\( x - 2z = -5 \implies x = 2z - 5 \quad (\text{A}) \)
En additionnant la première et la troisième :
\( 2x + 3z = 11 \quad (\text{B}) \)
En reportant (A) dans (B) : \( 2(2z - 5) + 3z = 11 \implies 7z = 21 \implies z = 3 \).
Alors \( x = 6 - 5 = 1 \) et, d'après la première équation, \( y = 6 - 1 - 3 = 2 \).
Vérification
\( 1 + 2 + 3 = 6 \) ✓, \( 2 + 2 - 3 = 1 \) ✓, \( 1 - 2 + 6 = 5 \) ✓
Résultat : \(\boxed{x = 1 \quad y = 2 \quad z = 3}\)
Exercice 21 — niveau ★★★★☆
\[ \begin{cases} x + 2y + z = 8 \\ 2x + y + 3z = 9 \\ 3x + 4y + 2z = 20 \end{cases} \]
Résultat
\( x = 4 \quad y = \dfrac{11}{5} \quad z = -\dfrac{2}{5} \)
Résolution
Élimination de \( x \)
On forme la combinaison \( 2 \cdot \text{Éq.}_1 - \text{Éq.}_2 \) pour éliminer \( x \) :
\( 2(x + 2y + z) - (2x + y + 3z) = 16 - 9 \implies 3y - z = 7 \quad (\text{A}) \)
Puis la combinaison \( 3 \cdot \text{Éq.}_1 - \text{Éq.}_3 \) :
\( 3(x + 2y + z) - (3x + 4y + 2z) = 24 - 20 \implies 2y + z = 4 \quad (\text{B}) \)
Résolution du système 2×2
En additionnant (A) et (B) :
\( 5y = 11 \implies y = \dfrac{11}{5} \)
D'après (B) : \( z = 4 - 2 \cdot \dfrac{11}{5} = \dfrac{20 - 22}{5} = -\dfrac{2}{5} \).
D'après la première équation initiale : \( x = 8 - 2y - z = 8 - \dfrac{22}{5} + \dfrac{2}{5} = 8 - 4 = 4 \).
Vérification
Éq. 1 : \( 4 + \dfrac{22}{5} - \dfrac{2}{5} = 4 + 4 = 8 \) ✓
Éq. 2 : \( 8 + \dfrac{11}{5} - \dfrac{6}{5} = 8 + 1 = 9 \) ✓
Éq. 3 : \( 12 + \dfrac{44}{5} - \dfrac{4}{5} = 12 + 8 = 20 \) ✓
Résultat : \(\boxed{x = 4 \quad y = \dfrac{11}{5} \quad z = -\dfrac{2}{5}}\)
Exercice 22 — niveau ★★★★★
\[ \begin{cases} 2x + y - z = 5 \\ x + 3y + 2z = 8 \\ 3x + 2y + 4z = 15 \end{cases} \]
Résultat
\( x = \dfrac{67}{25} \quad y = \dfrac{23}{25} \quad z = \dfrac{32}{25} \)
Résolution
Élimination de \( z \)
On forme \( 2 \cdot \text{Éq.}_1 + \text{Éq.}_2 \) pour éliminer \( z \) :
\( 2(2x + y - z) + (x + 3y + 2z) = 10 + 8 \implies 5x + 5y = 18 \quad (\text{A}) \)
Puis \( 4 \cdot \text{Éq.}_1 + \text{Éq.}_3 \) :
\( 4(2x + y - z) + (3x + 2y + 4z) = 20 + 15 \implies 11x + 6y = 35 \quad (\text{B}) \)
Résolution du système 2×2
D'après (A) : \( x + y = \dfrac{18}{5} \), donc \( y = \dfrac{18}{5} - x \).
En reportant dans (B) :
\( 11x + 6\left(\dfrac{18}{5} - x\right) = 35 \implies 11x + \dfrac{108}{5} - 6x = 35 \implies 5x = 35 - \dfrac{108}{5} = \dfrac{67}{5} \)
D'où \( x = \dfrac{67}{25} \).
Alors \( y = \dfrac{18}{5} - \dfrac{67}{25} = \dfrac{90 - 67}{25} = \dfrac{23}{25} \).
D'après la première équation : \( z = 2x + y - 5 = \dfrac{134}{25} + \dfrac{23}{25} - \dfrac{125}{25} = \dfrac{32}{25} \).
Vérification
Éq. 2 : \( \dfrac{67}{25} + \dfrac{69}{25} + \dfrac{64}{25} = \dfrac{200}{25} = 8 \) ✓
Éq. 3 : \( \dfrac{201}{25} + \dfrac{46}{25} + \dfrac{128}{25} = \dfrac{375}{25} = 15 \) ✓
Résultat : \(\boxed{x = \dfrac{67}{25} \quad y = \dfrac{23}{25} \quad z = \dfrac{32}{25}}\)
Exercice 23 — niveau ★★★★★
\[ \begin{cases} x + y = 6 \\ 2x + ky = 12 \end{cases} \]
Résultat
Dépend de la valeur de \( k \)
Résolution
Discussion selon le paramètre
En reportant \( x = 6 - y \), on obtient : \( (k - 2)y = 0 \).
- Si \( k \neq 2 \) : solution unique \( x = 6 \), \( y = 0 \) (système déterminé)
- Si \( k = 2 \) : une infinité de solutions \( (x = 6 - t,\ y = t) \) (système indéterminé)
Résultat : \(\boxed{\text{Système déterminé si } k \neq 2 \,;\ \text{indéterminé si } k=2}\)
Exercice 24 — niveau ★★★★★
\[ \begin{cases} x + y = 5 \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases} \]
Résultat
\( (x,y) = (2,3) \) ou bien \( (3,2) \)
Résolution
Méthode mixte
On a \( y = 5 - x \). En reportant : \( x^2 + (5 - x)^2 = 13 \implies x^2 - 5x + 6 = 0 \).
Solutions : \( x=2 \) (\( y=3 \)) et \( x=3 \) (\( y=2 \)).
Résultat : \(\boxed{(x,y)=(2,3)\ \text{ou bien}\ (3,2)}\)
Exercice 25 — niveau ★★★★★
\[ \begin{cases} x + y + 2z = 9 \\ 2x - y + z = 8 \\ x + 2y - z = 6 \end{cases} \]
Résultat
\( x = \dfrac{49}{12} \quad y = \dfrac{7}{4} \quad z = \dfrac{19}{12} \)
Résolution
Élimination de \( y \)
En additionnant \( \text{Éq.}_1 + \text{Éq.}_2 \), on élimine \( y \) :
\( (x + y + 2z) + (2x - y + z) = 9 + 8 \implies 3x + 3z = 17 \quad (\text{A}) \)
On forme \( 2 \cdot \text{Éq.}_2 + \text{Éq.}_3 \) pour éliminer à nouveau \( y \) :
\( 2(2x - y + z) + (x + 2y - z) = 16 + 6 \implies 5x + z = 22 \quad (\text{B}) \)
Résolution du système 2×2
D'après (A) : \( z = \dfrac{17 - 3x}{3} \). En reportant dans (B) :
\( 5x + \dfrac{17 - 3x}{3} = 22 \implies 15x + 17 - 3x = 66 \implies 12x = 49 \implies x = \dfrac{49}{12} \)
Alors \( z = \dfrac{17 - \frac{49}{4}}{3} = \dfrac{\frac{68 - 49}{4}}{3} = \dfrac{19}{12} \).
D'après la première équation initiale :
\( y = 9 - x - 2z = 9 - \dfrac{49}{12} - \dfrac{38}{12} = \dfrac{108 - 87}{12} = \dfrac{21}{12} = \dfrac{7}{4} \)
Vérification
Éq. 2 : \( \dfrac{98}{12} - \dfrac{21}{12} + \dfrac{19}{12} = \dfrac{96}{12} = 8 \) ✓
Éq. 3 : \( \dfrac{49}{12} + \dfrac{42}{12} - \dfrac{19}{12} = \dfrac{72}{12} = 6 \) ✓
Résultat : \(\boxed{x = \dfrac{49}{12} \quad y = \dfrac{7}{4} \quad z = \dfrac{19}{12}}\)