Une collection progressive d'exercices résolus pas à pas pour apprendre à déterminer le domaine de définition, appliquer correctement les propriétés des logarithmes et vérifier les solutions obtenues.
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
\[ \log_2 x = 3 \]
Résultat
\[ x=8 \]
Solution
Domaine de définition
L'argument du logarithme doit être strictement positif : \[ x>0 \]
Résolution
Passons de la forme logarithmique à la forme exponentielle : \[ \log_2 x=3 \iff x=2^3 \]
Donc : \[ x=8 \]
Vérification
La solution appartient au domaine, car : \[ 8>0 \]
De plus : \[ \log_2 8=3 \]
Par conséquent : \[ \boxed{x=8} \]
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
\[ \log_3(x-1)=2 \]
Résultat
\[ x=10 \]
Solution
Domaine de définition
L'argument du logarithme doit être strictement positif : \[ x-1>0 \] \[ x>1 \]
Résolution
Transformons l'équation logarithmique en sa forme exponentielle : \[ \log_3(x-1)=2 \iff x-1=3^2 \]
D'où : \[ x-1=9 \] \[ x=10 \]
Vérification
La solution appartient au domaine, car : \[ 10>1 \]
De plus : \[ \log_3(10-1)=\log_3 9=2 \]
Par conséquent : \[ \boxed{x=10} \]
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
\[ \log_{10}(2x)=1 \]
Résultat
\[ x=5 \]
Solution
Domaine de définition
L'argument du logarithme doit être strictement positif : \[ 2x>0 \] \[ x>0 \]
Résolution
Passons de la forme logarithmique à la forme exponentielle : \[ \log_{10}(2x)=1 \iff 2x=10^1 \]
D'où : \[ 2x=10 \] \[ x=5 \]
Vérification
La solution appartient au domaine, car : \[ 5>0 \]
De plus : \[ \log_{10}(2\cdot 5)=\log_{10}10=1 \]
Par conséquent : \[ \boxed{x=5} \]
Exercice 4 — niveau ★★☆☆☆
\[ \log_2(x+3)=\log_2 7 \]
Résultat
\[ x=4 \]
Solution
Domaine de définition
L'argument du logarithme doit être strictement positif : \[ x+3>0 \] \[ x>-3 \]
Résolution
Les deux logarithmes ont la même base. Comme la fonction logarithme est injective, nous pouvons identifier les arguments : \[ x+3=7 \]
On résout : \[ x=4 \]
Vérification
La solution appartient au domaine, car : \[ 4>-3 \]
De plus : \[ \log_2(4+3)=\log_2 7 \]
Par conséquent : \[ \boxed{x=4} \]
Exercice 5 — niveau ★★☆☆☆
\[ \log_5(3x-1)=\log_5(x+7) \]
Résultat
\[ x=4 \]
Solution
Domaine de définition
Les arguments des logarithmes doivent être strictement positifs : \[ 3x-1>0 \] \[ x>\frac{1}{3} \] et \[ x+7>0 \] \[ x>-7 \]
Le domaine est donc : \[ x>\frac{1}{3} \]
Résolution
Les logarithmes ont la même base. Identifions les arguments : \[ 3x-1=x+7 \]
On résout : \[ 2x=8 \] \[ x=4 \]
Vérification
La solution appartient au domaine, car : \[ 4>\frac{1}{3} \]
De plus : \[ 3\cdot 4-1=11 \] \[ 4+7=11 \] les deux logarithmes ont donc bien le même argument.
Par conséquent : \[ \boxed{x=4} \]
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
\[ \log_2 x+\log_2 4=5 \]
Résultat
\[ x=8 \]
Solution
Domaine de définition
Le seul argument contenant l'inconnue doit être strictement positif : \[ x>0 \]
Résolution
Calculons le logarithme connu : \[ \log_2 4=2 \]
L'équation devient : \[ \log_2 x+2=5 \]
D'où : \[ \log_2 x=3 \]
Passons à la forme exponentielle : \[ x=2^3=8 \]
Vérification
La solution appartient au domaine, car : \[ 8>0 \]
De plus : \[ \log_2 8+\log_2 4=3+2=5 \]
Par conséquent : \[ \boxed{x=8} \]
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
\[ \log_3 x+\log_3(x-2)=1 \]
Résultat
\[ x=3 \]
Solution
Domaine de définition
Les arguments doivent être strictement positifs : \[ x>0 \] \[ x-2>0 \]
D'où : \[ x>2 \]
Résolution
Appliquons la propriété du produit des logarithmes : \[ \log_a A+\log_a B=\log_a(AB) \]
On obtient : \[ \log_3[x(x-2)]=1 \]
Passons à la forme exponentielle : \[ x(x-2)=3^1 \] \[ x(x-2)=3 \]
Développons : \[ x^2-2x=3 \] \[ x^2-2x-3=0 \]
Factorisons : \[ (x-3)(x+1)=0 \]
D'où : \[ x=3 \quad \text{ou} \quad x=-1 \]
Vérification
Le domaine impose \(x>2\). Donc : \[ x=-1 \] est rejetée, tandis que \[ x=3 \] est acceptable.
En effet : \[ \log_3 3+\log_3(3-2)=1+0=1 \]
Par conséquent : \[ \boxed{x=3} \]
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
\[ \log_2(x+1)+\log_2(x-1)=3 \]
Résultat
\[ x=3 \]
Solution
Domaine de définition
Les arguments doivent être strictement positifs : \[ x+1>0 \Rightarrow x>-1 \] \[ x-1>0 \Rightarrow x>1 \]
D'où : \[ x>1 \]
Résolution
Appliquons la propriété du produit : \[ \log_2(x+1)+\log_2(x-1)=\log_2[(x+1)(x-1)] \]
D'où : \[ \log_2(x^2-1)=3 \]
Passons à la forme exponentielle : \[ x^2-1=2^3 \] \[ x^2-1=8 \] \[ x^2=9 \]
Par conséquent : \[ x=-3 \quad \text{ou} \quad x=3 \]
Vérification
Le domaine impose \(x>1\), donc \(x=-3\) est rejetée.
Pour \(x=3\) : \[ \log_2(3+1)+\log_2(3-1)=\log_2 4+\log_2 2=2+1=3 \]
Par conséquent : \[ \boxed{x=3} \]
Exercice 9 — niveau ★★★☆☆
\[ \log_4(x+6)-\log_4 x=1 \]
Résultat
\[ x=2 \]
Solution
Domaine de définition
Les arguments doivent être strictement positifs : \[ x+6>0 \] \[ x>0 \]
La condition la plus restrictive est : \[ x>0 \]
Résolution
Appliquons la propriété du quotient : \[ \log_a A-\log_a B=\log_a\left(\frac{A}{B}\right) \]
On obtient : \[ \log_4\left(\frac{x+6}{x}\right)=1 \]
Passons à la forme exponentielle : \[ \frac{x+6}{x}=4^1 \] \[ \frac{x+6}{x}=4 \]
Sur le domaine \(x>0\), nous pouvons multiplier par \(x\) : \[ x+6=4x \]
On résout : \[ 6=3x \] \[ x=2 \]
Vérification
La solution appartient au domaine, car : \[ 2>0 \]
De plus : \[ \log_4(2+6)-\log_4 2=\log_4 8-\log_4 2=\log_4 4=1 \]
Par conséquent : \[ \boxed{x=2} \]
Exercice 10 — niveau ★★★☆☆
\[ \log_2(x+2)-\log_2(x-1)=2 \]
Résultat
\[ x=2 \]
Solution
Domaine de définition
Les arguments doivent être strictement positifs : \[ x+2>0 \Rightarrow x>-2 \] \[ x-1>0 \Rightarrow x>1 \]
D'où : \[ x>1 \]
Résolution
Appliquons la propriété du quotient : \[ \log_2(x+2)-\log_2(x-1)=\log_2\left(\frac{x+2}{x-1}\right) \]
D'où : \[ \log_2\left(\frac{x+2}{x-1}\right)=2 \]
Passons à la forme exponentielle : \[ \frac{x+2}{x-1}=2^2 \] \[ \frac{x+2}{x-1}=4 \]
Sur le domaine \(x>1\), on a \(x-1>0\), nous pouvons donc multiplier par \(x-1\) : \[ x+2=4(x-1) \]
Développons : \[ x+2=4x-4 \] \[ 6=3x \] \[ x=2 \]
Vérification
La solution appartient au domaine, car : \[ 2>1 \]
De plus : \[ \log_2(2+2)-\log_2(2-1)=\log_2 4-\log_2 1=2-0=2 \]
Par conséquent : \[ \boxed{x=2} \]
Exercice 11 — niveau ★★★☆☆
\[ \log_3(x^2-4)=2 \]
Résultat
\[ x=-\sqrt{13} \quad \text{ou} \quad x=\sqrt{13} \]
Solution
Domaine de définition
L'argument du logarithme doit être strictement positif : \[ x^2-4>0 \]
Factorisons : \[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
D'où : \[ (x-2)(x+2)>0 \]
Le produit est positif lorsque les deux facteurs sont de même signe : \[ x<-2 \quad \text{ou} \quad x>2 \]
Résolution
Passons de la forme logarithmique à la forme exponentielle : \[ \log_3(x^2-4)=2 \iff x^2-4=3^2 \]
D'où : \[ x^2-4=9 \] \[ x^2=13 \]
Par conséquent : \[ x=-\sqrt{13} \quad \text{ou} \quad x=\sqrt{13} \]
Vérification
Les deux solutions appartiennent au domaine, car : \[ -\sqrt{13}<-2 \] et \[ \sqrt{13}>2 \]
De plus, dans les deux cas : \[ x^2=13 \] d'où : \[ \log_3(x^2-4)=\log_3(13-4)=\log_3 9=2 \]
Par conséquent : \[ \boxed{x=-\sqrt{13} \quad \text{ou} \quad x=\sqrt{13}} \]
Exercice 12 — niveau ★★★☆☆
\[ \log_2(x^2-5x+6)=1 \]
Résultat
\[ x=1 \quad \text{ou} \quad x=4 \]
Solution
Domaine de définition
L'argument du logarithme doit être strictement positif : \[ x^2-5x+6>0 \]
Factorisons le trinôme : \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
D'où : \[ (x-2)(x-3)>0 \]
Le produit est positif à l'extérieur de l'intervalle compris entre les deux racines : \[ x<2 \quad \text{ou} \quad x>3 \]
Résolution
Passons à la forme exponentielle : \[ \log_2(x^2-5x+6)=1 \iff x^2-5x+6=2^1 \]
D'où : \[ x^2-5x+6=2 \]
Ramenons tout au premier membre : \[ x^2-5x+4=0 \]
Factorisons : \[ (x-1)(x-4)=0 \]
D'où : \[ x=1 \quad \text{ou} \quad x=4 \]
Vérification
Les deux solutions appartiennent au domaine : \[ 1<2 \] et \[ 4>3 \]
Vérifions dans l'équation initiale.
Pour \(x=1\) : \[ \log_2(1^2-5\cdot 1+6)=\log_2 2=1 \]
Pour \(x=4\) : \[ \log_2(4^2-5\cdot 4+6)=\log_2 2=1 \]
Par conséquent : \[ \boxed{x=1 \quad \text{ou} \quad x=4} \]
Exercice 13 — niveau ★★★★☆
\[ \log_2 x+\log_2(x+2)=\log_2 15 \]
Résultat
\[ x=3 \]
Solution
Domaine de définition
Les arguments des logarithmes doivent être strictement positifs : \[ x>0 \] et \[ x+2>0 \]
La condition la plus restrictive est : \[ x>0 \]
Résolution
Appliquons la propriété du produit des logarithmes : \[ \log_2 x+\log_2(x+2)=\log_2[x(x+2)] \]
L'équation devient : \[ \log_2[x(x+2)]=\log_2 15 \]
Comme les logarithmes ont la même base, identifions les arguments : \[ x(x+2)=15 \]
Développons : \[ x^2+2x=15 \] \[ x^2+2x-15=0 \]
Factorisons : \[ (x+5)(x-3)=0 \]
D'où : \[ x=-5 \quad \text{ou} \quad x=3 \]
Vérification
Le domaine impose \(x>0\), donc \(x=-5\) est rejetée.
Pour \(x=3\) : \[ \log_2 3+\log_2(3+2)=\log_2 3+\log_2 5=\log_2 15 \]
Par conséquent : \[ \boxed{x=3} \]
Exercice 14 — niveau ★★★★☆
\[ \log_3(x+1)+\log_3(x+3)=2 \]
Résultat
\[ x=-2+\sqrt{10} \]
Solution
Domaine de définition
Les arguments doivent être strictement positifs : \[ x+1>0 \Rightarrow x>-1 \] \[ x+3>0 \Rightarrow x>-3 \]
Le domaine est donc : \[ x>-1 \]
Résolution
Appliquons la propriété du produit : \[ \log_3(x+1)+\log_3(x+3)=\log_3[(x+1)(x+3)] \]
On obtient : \[ \log_3[(x+1)(x+3)]=2 \]
Passons à la forme exponentielle : \[ (x+1)(x+3)=3^2 \] \[ (x+1)(x+3)=9 \]
Développons : \[ x^2+4x+3=9 \] \[ x^2+4x-6=0 \]
Appliquons la formule du discriminant : \[ x=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot(-6)}}{2} \] \[ x=\frac{-4\pm\sqrt{16+24}}{2} \] \[ x=\frac{-4\pm\sqrt{40}}{2} \] \[ x=\frac{-4\pm 2\sqrt{10}}{2} \] \[ x=-2\pm\sqrt{10} \]
Vérification
Le domaine impose \(x>-1\).
La solution \[ x=-2-\sqrt{10} \] est inférieure à \(-1\), elle est donc rejetée.
La solution \[ x=-2+\sqrt{10} \] est supérieure à \(-1\), elle est donc acceptable.
De plus, par construction de la résolution : \[ (x+1)(x+3)=9 \] donc : \[ \log_3(x+1)+\log_3(x+3)=\log_3 9=2 \]
Par conséquent : \[ \boxed{x=-2+\sqrt{10}} \]
Exercice 15 — niveau ★★★★☆
\[ \log_2(x+4)-\log_2(x-2)=1 \]
Résultat
\[ x=8 \]
Solution
Domaine de définition
Les arguments doivent être strictement positifs : \[ x+4>0 \Rightarrow x>-4 \] \[ x-2>0 \Rightarrow x>2 \]
D'où : \[ x>2 \]
Résolution
Appliquons la propriété du quotient : \[ \log_2(x+4)-\log_2(x-2)=\log_2\left(\frac{x+4}{x-2}\right) \]
D'où : \[ \log_2\left(\frac{x+4}{x-2}\right)=1 \]
Passons à la forme exponentielle : \[ \frac{x+4}{x-2}=2^1 \] \[ \frac{x+4}{x-2}=2 \]
Sur le domaine \(x>2\), on a \(x-2>0\). Nous pouvons donc multiplier par \(x-2\) : \[ x+4=2(x-2) \]
Développons : \[ x+4=2x-4 \] \[ x=8 \]
Vérification
La solution appartient au domaine, car : \[ 8>2 \]
De plus : \[ \log_2(8+4)-\log_2(8-2)=\log_2 12-\log_2 6=\log_2 2=1 \]
Par conséquent : \[ \boxed{x=8} \]
Exercice 16 — niveau ★★★★☆
\[ \log x+\log(x-9)=1 \]
Résultat
\[ x=10 \]
Solution
Domaine de définition
Lorsque la base n'est pas indiquée, on entend le logarithme décimal : \[ \log x=\log_{10}x \]
Les arguments doivent être strictement positifs : \[ x>0 \] \[ x-9>0 \Rightarrow x>9 \]
Le domaine est donc : \[ x>9 \]
Résolution
Appliquons la propriété du produit : \[ \log x+\log(x-9)=\log[x(x-9)] \]
On obtient : \[ \log[x(x-9)]=1 \]
Passons à la forme exponentielle de base \(10\) : \[ x(x-9)=10^1 \] \[ x(x-9)=10 \]
Développons : \[ x^2-9x=10 \] \[ x^2-9x-10=0 \]
Factorisons : \[ (x-10)(x+1)=0 \]
D'où : \[ x=10 \quad \text{ou} \quad x=-1 \]
Vérification
Le domaine impose \(x>9\), donc \(x=-1\) est rejetée.
Pour \(x=10\) : \[ \log 10+\log(10-9)=\log 10+\log 1=1+0=1 \]
Par conséquent : \[ \boxed{x=10} \]
Exercice 17 — niveau ★★★★★
\[ \log_2(x-1)+\log_2(x+1)=\log_2(2x+6) \]
Résultat
\[ x=1+2\sqrt{2} \]
Solution
Domaine de définition
Les arguments doivent être strictement positifs : \[ x-1>0 \Rightarrow x>1 \] \[ x+1>0 \Rightarrow x>-1 \] \[ 2x+6>0 \Rightarrow x>-3 \]
Le domaine est donc : \[ x>1 \]
Résolution
Appliquons la propriété du produit au premier membre : \[ \log_2(x-1)+\log_2(x+1)=\log_2[(x-1)(x+1)] \]
L'équation devient : \[ \log_2[(x-1)(x+1)]=\log_2(2x+6) \]
Comme les logarithmes ont la même base, identifions les arguments : \[ (x-1)(x+1)=2x+6 \]
Développons : \[ x^2-1=2x+6 \] \[ x^2-2x-7=0 \]
Appliquons la formule du discriminant : \[ x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-7)}}{2} \] \[ x=\frac{2\pm\sqrt{4+28}}{2} \] \[ x=\frac{2\pm\sqrt{32}}{2} \] \[ x=1\pm 2\sqrt{2} \]
Vérification
Le domaine impose \(x>1\).
La solution \[ x=1-2\sqrt{2} \] est inférieure à \(1\), elle est donc rejetée.
La solution \[ x=1+2\sqrt{2} \] est supérieure à \(1\), elle est donc acceptable.
Par conséquent : \[ \boxed{x=1+2\sqrt{2}} \]
Exercice 18 — niveau ★★★★★
\[ \log_3 x+\log_3(x+6)=\log_3(7x+18) \]
Résultat
\[ x=\frac{1+\sqrt{73}}{2} \]
Solution
Domaine de définition
Les arguments doivent être strictement positifs : \[ x>0 \] \[ x+6>0 \Rightarrow x>-6 \] \[ 7x+18>0 \Rightarrow x>-\frac{18}{7} \]
La condition la plus restrictive est : \[ x>0 \]
Résolution
Appliquons la propriété du produit au premier membre : \[ \log_3 x+\log_3(x+6)=\log_3[x(x+6)] \]
D'où : \[ \log_3[x(x+6)]=\log_3(7x+18) \]
Identifions les arguments : \[ x(x+6)=7x+18 \]
Développons : \[ x^2+6x=7x+18 \] \[ x^2-x-18=0 \]
Appliquons la formule du discriminant : \[ x=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-18)}}{2} \] \[ x=\frac{1\pm\sqrt{1+72}}{2} \] \[ x=\frac{1\pm\sqrt{73}}{2} \]
Vérification
Le domaine impose \(x>0\).
La solution \[ x=\frac{1-\sqrt{73}}{2} \] est négative, elle est donc rejetée.
La solution \[ x=\frac{1+\sqrt{73}}{2} \] est positive, elle est donc acceptable.
Par conséquent : \[ \boxed{x=\frac{1+\sqrt{73}}{2}} \]
Exercice 19 — niveau ★★★★★
\[ \log_2(x+2)+\log_2(x-2)=\log_2 12 \]
Résultat
\[ x=4 \]
Solution
Domaine de définition
Les arguments doivent être strictement positifs : \[ x+2>0 \Rightarrow x>-2 \] \[ x-2>0 \Rightarrow x>2 \]
D'où : \[ x>2 \]
Résolution
Appliquons la propriété du produit : \[ \log_2(x+2)+\log_2(x-2)=\log_2[(x+2)(x-2)] \]
L'équation devient : \[ \log_2[(x+2)(x-2)]=\log_2 12 \]
Identifions les arguments : \[ (x+2)(x-2)=12 \]
Utilisons l'identité remarquable : \[ x^2-4=12 \] \[ x^2=16 \]
D'où : \[ x=-4 \quad \text{ou} \quad x=4 \]
Vérification
Le domaine impose \(x>2\), donc \(x=-4\) est rejetée.
Pour \(x=4\) : \[ \log_2(4+2)+\log_2(4-2)=\log_2 6+\log_2 2=\log_2 12 \]
Par conséquent : \[ \boxed{x=4} \]
Exercice 20 — niveau ★★★★★
\[ \log_3(x-2)+\log_3(x+2)=2 \]
Résultat
\[ x=\sqrt{13} \]
Solution
Domaine de définition
Les arguments doivent être strictement positifs : \[ x-2>0 \Rightarrow x>2 \] \[ x+2>0 \Rightarrow x>-2 \]
Le domaine est donc : \[ x>2 \]
Résolution
Appliquons la propriété du produit : \[ \log_3(x-2)+\log_3(x+2)=\log_3[(x-2)(x+2)] \]
On obtient : \[ \log_3[(x-2)(x+2)]=2 \]
Passons à la forme exponentielle : \[ (x-2)(x+2)=3^2 \] \[ (x-2)(x+2)=9 \]
Utilisons l'identité remarquable : \[ x^2-4=9 \] \[ x^2=13 \]
D'où : \[ x=-\sqrt{13} \quad \text{ou} \quad x=\sqrt{13} \]
Vérification
Le domaine impose \(x>2\), donc \(x=-\sqrt{13}\) est rejetée.
Comme : \[ \sqrt{13}>2 \] la solution \(x=\sqrt{13}\) est acceptable.
De plus : \[ (\sqrt{13}-2)(\sqrt{13}+2)=13-4=9 \] d'où : \[ \log_3(\sqrt{13}-2)+\log_3(\sqrt{13}+2)=\log_3 9=2 \]
Par conséquent : \[ \boxed{x=\sqrt{13}} \]