Le cercle est le lieu géométrique des points du plan situés à distance constante d'un point fixe, appelé centre. Cette distance constante est appelée rayon. Le cercle est une courbe fermée, symétrique par rapport à son centre, et constitue un cas particulier de conique non dégénérée obtenue en coupant un cône circulaire droit par un plan perpendiculaire à l'axe du cône et ne passant pas par le sommet.
Sommaire
- Définition géométrique et déduction de l'équation
- Équation du cercle centré à l'origine
- Équation du cercle de centre quelconque
- Forme générale et complétion du carré
- Conditions pour représenter un cercle réel
- Position d'un point par rapport au cercle
- Droite tangente au cercle
- Intersection de deux cercles
- Faisceau de cercles
- Symétries et propriétés géométriques
- Exercices résolus
Définition géométrique et déduction de l'équation
Considérons un point fixe \( C(x_0, y_0) \) dans un repère cartésien orthonormé. Le cercle de centre \( C \) et de rayon \( r > 0 \) est l'ensemble des points \( P(x, y) \) du plan tels que :
\[ \text{dist}(P,C)=r \]
En appliquant la formule de la distance euclidienne entre deux points du plan cartésien, on obtient :
\[ \text{dist}(P, C) = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} \]
En imposant la condition \( \text{dist}(P, C) = r \), on obtient :
\[ \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} = r \]
En élevant au carré les deux membres (opération licite, puisque les deux membres sont positifs ou nuls, \( r > 0 \) par définition) :
\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \]
Il s'agit de la forme canonique (ou forme normale) de l'équation du cercle de centre \( C(x_0, y_0) \) et de rayon \( r \). Cette équation représente tous les points, et seulement ceux-ci, qui satisfont à la condition géométrique d'appartenance au cercle.
Équation du cercle centré à l'origine
Dans le cas particulier où le centre coïncide avec l'origine du repère, c'est-à-dire \( C(0, 0) \), en posant \( x_0 = 0 \) et \( y_0 = 0 \) dans la forme canonique, l'équation se simplifie considérablement :
\[ x^2 + y^2 = r^2 \]
Il s'agit de l'équation la plus élémentaire du cercle ; elle décrit l'ensemble des points équidistants de l'origine des axes cartésiens. Cette équation possède les propriétés de symétrie suivantes :
- Symétrie par rapport à l'axe des abscisses : si \( (x, y) \) appartient au cercle, alors \( (x, -y) \) lui appartient également
- Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées : si \( (x, y) \) appartient au cercle, alors \( (-x, y) \) lui appartient également
- Symétrie centrale par rapport à l'origine : si \( (x, y) \) appartient au cercle, alors \( (-x, -y) \) lui appartient également
En outre, tous les diamètres du cercle passent par l'origine et ont pour longueur \( 2r \). Le point \( (r, 0) \) représente l'intersection du cercle avec le demi-axe positif des abscisses.
Équation du cercle de centre quelconque
Considérons à présent le cas général d'un cercle ayant pour centre un point arbitraire \( C(x_0, y_0) \) du plan et pour rayon \( r > 0 \). L'équation canonique s'écrit :
\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \]
En développant les carrés des binômes au moyen des identités algébriques \( (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 \), on obtient :
\[ x^2 - 2x_0x + x_0^2 + y^2 - 2y_0y + y_0^2 = r^2 \]
En réordonnant les termes et en regroupant toutes les quantités au premier membre :
\[ x^2 + y^2 - 2x_0 x - 2y_0 y + (x_0^2 + y_0^2 - r^2) = 0 \]
Introduisons à présent les paramètres :
\[ D = -2x_0 \quad , \quad E = -2y_0 \quad , \quad F = x_0^2 + y_0^2 - r^2 \]
De ces relations, on peut tirer :
\[ x_0 = -\frac{D}{2} \quad , \quad y_0 = -\frac{E}{2} \quad , \quad r^2 = x_0^2 + y_0^2 - F = \frac{D^2 + E^2}{4} - F \]
En substituant dans la forme développée, on obtient la forme générale de l'équation du cercle :
\[ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \]
Forme générale et complétion du carré
Étant donné une équation sous forme générale :
\[ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \]
afin de la ramener à la forme canonique et de déterminer le centre et le rayon, on utilise la technique de la complétion du carré. Cette méthode consiste à transformer les expressions \( x^2 + Dx \) et \( y^2 + Ey \) en carrés parfaits.
Pour le terme en \( x \) :
\[ x^2 + Dx = x^2 + Dx + \frac{D^2}{4} - \frac{D^2}{4} = \left( x + \frac{D}{2} \right)^2 - \frac{D^2}{4} \]
De même, pour le terme en \( y \) :
\[ y^2 + Ey = y^2 + Ey + \frac{E^2}{4} - \frac{E^2}{4} = \left( y + \frac{E}{2} \right)^2 - \frac{E^2}{4} \]
En substituant dans l'équation générale :
\[ \left( x + \frac{D}{2} \right)^2 - \frac{D^2}{4} + \left( y + \frac{E}{2} \right)^2 - \frac{E^2}{4} + F = 0 \]
En réordonnant :
\[ \left( x + \frac{D}{2} \right)^2 + \left( y + \frac{E}{2} \right)^2 = \frac{D^2 + E^2}{4} - F \]
Il s'agit là de la forme canonique, à partir de laquelle on peut lire directement :
- Centre : \( C\left( -\displaystyle \frac{D}{2}, -\displaystyle\frac{E}{2} \right) \)
- Rayon : \( r = \sqrt{\displaystyle\frac{D^2 + E^2}{4} - F} \) (à condition que l'expression sous le radical soit positive)
Conditions pour représenter un cercle réel
Considérons une équation du second degré à deux variables \(x\) et \(y\) :
\[ ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f = 0 \]
Celle-ci ne peut représenter un cercle que si les coefficients des termes quadratiques purs sont égaux et si le terme rectangle est absent. Plus précisément, les conditions suivantes doivent être vérifiées :
- coefficients des termes quadratiques égaux et non nuls : \(a=b\ne 0\) ;
- absence du terme rectangle : \(c=0\).
Dans ce cas, en divisant l'équation par \(a\), on obtient :
\[ x^2+y^2+\frac{d}{a}x+\frac{e}{a}y+\frac{f}{a}=0. \]
Le centre et le carré du rayon sont donc :
\[ C\left(-\frac{d}{2a},-\frac{e}{2a}\right), \qquad r^2=\frac{d^2+e^2}{4a^2}-\frac{f}{a}. \]
Par conséquent :
- si \( \displaystyle \frac{d^2+e^2}{4a^2}-\frac{f}{a}>0 \), l'équation représente un cercle réel non dégénéré ;
- si \( \displaystyle \frac{d^2+e^2}{4a^2}-\frac{f}{a}=0 \), l'équation représente un cercle dégénéré, réduit à un point ;
- si \( \displaystyle \frac{d^2+e^2}{4a^2}-\frac{f}{a}<0 \), l'équation ne possède aucun point réel.
Dans le cas de la forme standard
\[ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0, \]
le centre et le carré du rayon sont :
\[ C\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right), \qquad r^2=\frac{D^2+E^2}{4}-F. \]
La condition pour que l'équation représente un cercle réel non dégénéré est :
\[ \frac{D^2+E^2}{4}-F>0 \quad \Longleftrightarrow \quad D^2+E^2-4F>0. \]
On distingue ainsi trois cas :
- si \(D^2+E^2-4F>0\) : l'équation représente un cercle réel non dégénéré, de rayon \( \displaystyle r=\frac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F} \) ;
- si \(D^2+E^2-4F=0\) : l'équation représente un cercle dégénéré, réduit au seul centre ;
- si \(D^2+E^2-4F<0\) : l'équation ne possède aucun point réel.
Position d'un point par rapport au cercle
Étant donné un cercle d'équation \( (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \) et un point \( P(x_P, y_P) \), on peut déterminer la position relative du point par rapport au cercle en calculant la quantité :
\[ \delta = (x_P - x_0)^2 + (y_P - y_0)^2 - r^2 \]
Trois cas se présentent :
- Si \( \delta = 0 \) : le point appartient au cercle
- Si \( \delta < 0 \) : le point est intérieur au cercle
- Si \( \delta > 0 \) : le point est extérieur au cercle
De manière équivalente, en comparant la distance \( d = \sqrt{(x_P - x_0)^2 + (y_P - y_0)^2} \) du point au centre avec le rayon :
- Si \( d = r \) : point sur le cercle
- Si \( d < r \) : point intérieur
- Si \( d > r \) : point extérieur
Droite tangente au cercle
Étant donné un cercle de centre \( C(x_0, y_0) \) et de rayon \( r \), ainsi qu'un point \( P(x_1, y_1) \) appartenant au cercle, l'équation de la droite tangente au cercle au point \( P \) est :
\[ (x_1 - x_0)(x - x_0) + (y_1 - y_0)(y - y_0) = r^2 \]
Dans le cas particulier d'un cercle centré à l'origine \( x^2 + y^2 = r^2 \), l'équation de la tangente au point \( P(x_1, y_1) \) se simplifie en :
\[ x_1 x + y_1 y = r^2 \]
La droite tangente est perpendiculaire au rayon mené au point de tangence. Ce résultat découle du fait que le vecteur \( \overrightarrow{CP} = (x_1 - x_0, y_1 - y_0) \) est normal à la tangente.
Tangentes issues d'un point extérieur
Depuis un point extérieur \( P(x_P, y_P) \) à un cercle, on peut mener exactement deux droites tangentes. Pour les déterminer, on peut considérer une droite quelconque passant par \(P\) et imposer que sa distance au centre soit égale au rayon. On peut également rechercher directement les points de tangence \(T\), en imposant que \(T\) appartienne au cercle et que la tangente en \(T\) passe par le point extérieur \(P\).
Intersection de deux cercles
Étant donnés deux cercles :
\[ \Gamma_1:\quad x^2 + y^2 + D_1 x + E_1 y + F_1 = 0 \]
\[ \Gamma_2:\quad x^2 + y^2 + D_2 x + E_2 y + F_2 = 0, \]
pour trouver les éventuels points d'intersection, on résout le système formé par les deux équations. En soustrayant la seconde équation de la première, on obtient :
\[ (D_1-D_2)x+(E_1-E_2)y+(F_1-F_2)=0. \]
Si les deux cercles ne sont pas concentriques et ne coïncident pas, cette équation représente une droite, appelée axe radical. Lorsque les cercles sont sécants, l'axe radical passe par les deux points d'intersection ; lorsqu'ils sont tangents, il passe par leur unique point commun.
Si, en revanche, les deux cercles sont concentriques, c'est-à-dire s'ils ont le même centre, la soustraction des deux équations ne fournit pas une droite : on obtient une équation impossible, dans le cas de rayons distincts, ou bien une identité, dans le cas de cercles confondus.
Les positions relatives des deux cercles dépendent de la distance \(d\) entre les centres et des rayons \(r_1\) et \(r_2\) :
- si \(d=0\) et \(r_1=r_2\) : les deux cercles sont confondus et possèdent une infinité de points communs ;
- si \(d=0\) et \(r_1\ne r_2\) : les deux cercles sont concentriques et n'ont aucun point commun ;
- si \(d>r_1+r_2\) : les deux cercles sont extérieurs l'un à l'autre et n'ont aucun point commun ;
- si \(d=r_1+r_2\) : les deux cercles sont tangents extérieurement et ont un unique point commun ;
- si \(|r_1-r_2|<d<r_1+r_2\) : les deux cercles sont sécants et ont deux points communs ;
- si \(d=|r_1-r_2|\) et \(d>0\) : les deux cercles sont tangents intérieurement et ont un unique point commun ;
- si \(0<d<|r_1-r_2|\) : l'un des cercles est intérieur à l'autre et ils n'ont aucun point commun.
Faisceau de cercles
Considérons deux cercles d'équations :
\[ \Gamma_1(x,y)=x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1=0 \]
\[ \Gamma_2(x,y)=x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2=0. \]
Le faisceau de cercles engendré par \(\Gamma_1\) et \(\Gamma_2\) est l'ensemble des équations :
\[ \lambda \Gamma_1(x,y)+\mu \Gamma_2(x,y)=0, \]
où \(\lambda\) et \(\mu\) sont des paramètres réels non simultanément nuls.
Explicitement :
\[ \lambda(x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1)+ \mu(x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2)=0. \]
Si \(\lambda+\mu\ne 0\), l'équation contient encore les termes quadratiques \(x^2+y^2\) et peut représenter un cercle, un cercle dégénéré, ou aucun lieu réel, selon la valeur du carré du rayon.
Si, en revanche, \(\lambda+\mu=0\), les termes quadratiques s'annulent. Dans ce cas, lorsque les deux cercles ne sont pas concentriques, on obtient l'équation de l'axe radical :
\[ (D_1-D_2)x+(E_1-E_2)y+(F_1-F_2)=0. \]
D'un point de vue géométrique, on distingue plusieurs cas fondamentaux :
- cercles générateurs sécants : tous les cercles du faisceau passent par les deux points communs aux générateurs ;
- cercles générateurs tangents : tous les cercles du faisceau passent par le point de tangence commun ;
- cercles générateurs non sécants : les cercles du faisceau n'ont aucun point de base réel commun ;
- cercles générateurs concentriques : les cercles du faisceau ont le même centre.
Dans tous les cas, les équations du faisceau ne représentent pas nécessairement toutes des cercles réels non dégénérés : certaines valeurs du paramètre peuvent donner lieu à un cercle dégénéré, à un lieu dépourvu de points réels, ou, lorsque \(\lambda+\mu=0\) et que les générateurs ne sont pas concentriques, à une droite.
Symétries et propriétés géométriques
Le cercle possède de remarquables propriétés de symétrie qui en font une figure géométrique d'un intérêt particulier :
Symétries
- Symétrie centrale : tout cercle est symétrique par rapport à son propre centre
- Axes de symétrie : toute droite passant par le centre est un axe de symétrie
- Invariance par rotation : le cercle est invariant par toute rotation autour du centre
Propriétés métriques
- Longueur du cercle : \( L = 2\pi r \)
- Aire du disque : \( A = \pi r^2 \)
- Angles au centre et angles inscrits : un angle inscrit dans le cercle mesure la moitié de l'angle au centre correspondant qui intercepte le même arc
Exercices résolus
Exercice 1. Vérifier si le point \( P(3, 4) \) appartient au cercle d'équation \( x^2 + y^2 = 25 \).
Résolution. Substituons les coordonnées du point dans l'équation :
\[ 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \]
L'égalité étant vérifiée, le point \( P(3, 4) \) appartient au cercle. Géométriquement, cela signifie que la distance de \( P \) à l'origine est exactement égale au rayon \( r = 5 \).
Exercice 2. Déterminer l'équation du cercle de centre \( C(2, -3) \) et de rayon \( r = 4 \).
Résolution. En appliquant la forme canonique :
\[ (x - 2)^2 + (y - (-3))^2 = 4^2 \]
\[ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16. \]
En développant, on obtient la forme générale :
\[ x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 = 16 \]
\[ x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0. \]
Exercice 3. Étant donné l'équation \( x^2 + y^2 + 6x - 8y + 5 = 0 \), déterminer le centre et le rayon du cercle.
Résolution. Complétons les carrés :
\[ x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9 \]
\[ y^2 - 8y = (y - 4)^2 - 16. \]
En substituant :
\[ (x + 3)^2 - 9 + (y - 4)^2 - 16 + 5 = 0 \]
\[ (x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 20. \]
Par conséquent :
- Centre : \( C(-3, 4) \)
- Rayon : \( r = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \)
Exercice 4. Trouver l'équation du cercle passant par les points \( A(1, 0) \), \( B(0, 1) \) et \( R(-1, 0) \).
Résolution. Utilisons la forme générale \( x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \) et imposons le passage par les trois points :
Pour \( A(1, 0) \), on a
\[ 1 + 0 + D + 0 + F = 0 \implies D + F = -1 \]
Pour \( B(0, 1) \), on a
\[ 0 + 1 + 0 + E + F = 0 \implies E + F = -1 \]
Pour \( R(-1, 0) \), on a
\[ 1 + 0 - D + 0 + F = 0 \implies -D + F = -1 \]
En résolvant le système :
\[ \begin{cases} D + F = -1 \\ E + F = -1 \\ -D + F = -1 \end{cases} \]
De la première et de la troisième équation : \( D = 0 \), donc \( F = -1 \). De la seconde équation : \( E = 0 \).
L'équation recherchée est : \( x^2 + y^2 - 1 = 0 \), c'est-à-dire \( x^2 + y^2 = 1 \).
Il s'agit du cercle unité centré à l'origine.
Exercice 5. Déterminer les tangentes au cercle \( x^2 + y^2 = 9 \) menées depuis le point extérieur \( P(5, 0) \).
Résolution. Soit \( T(x_T, y_T) \) un point de tangence. Le cercle ayant pour équation \(x^2+y^2=9\), la tangente au point \(T(x_T,y_T)\) a pour équation :
\[ x_T x + y_T y = 9. \]
Comme cette droite passe par \( P(5, 0) \), on obtient :
\[ 5x_T + 0 \cdot y_T = 9 \Rightarrow x_T = \frac{9}{5} \]
Comme \(T\) appartient au cercle, on a \( x_T^2 + y_T^2 = 9 \), d'où :
\[ \left(\frac{9}{5}\right)^2 + y_T^2 = 9 \Rightarrow y_T^2 = 9 - \frac{81}{25} = \frac{144}{25} \Rightarrow y_T = \pm\frac{12}{5} \]
Les points de tangence sont
\[ T_1\left(\frac{9}{5}, \frac{12}{5}\right) \quad \text{et} \quad T_2\left(\frac{9}{5}, -\frac{12}{5}\right) \]
Les équations des tangentes sont :
\[ \frac{9}{5}x + \frac{12}{5}y = 9 \quad \implies \quad 3x + 4y = 15 \]
\[ \frac{9}{5}x - \frac{12}{5}y = 9 \quad \implies \quad 3x - 4y = 15. \]