La droite est l'un des objets fondamentaux de la géométrie euclidienne. Dans le plan cartésien, une droite peut être décrite au moyen d'une équation du premier degré à deux variables \(x\) et \(y\), c'est-à-dire par une équation de la forme
\[ ax+by+c=0, \]
où \(a,b,c\in\mathbb{R}\) et les coefficients \(a\) et \(b\) ne sont pas tous deux nuls. Cette forme, appelée forme implicite, englobe toutes les droites du plan, y compris les droites verticales et les droites horizontales.
Lorsque la droite n'est pas verticale, son équation peut également s'écrire sous la forme
\[ y=mx+q, \]
appelée forme explicite. Dans ce cas, \(m\) est le coefficient directeur : il décrit l'inclinaison de la droite par rapport à l'axe des abscisses, tandis que \(q\) est l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe \(y\).
Dans cet article, nous verrons comment déterminer l'équation d'une droite à partir de deux points, comment passer de la forme implicite à la forme explicite, quelle est la signification géométrique du coefficient directeur, comment déterminer une droite perpendiculaire à une droite donnée, et comment écrire l'équation paramétrique d'une droite.
Sommaire
- Équation de la droite passant par deux points
- Forme explicite de la droite
- Forme implicite de la droite
- Signification géométrique du coefficient directeur
- Équation paramétrique de la droite
- Droite perpendiculaire à une droite donnée
- Problèmes d'entraînement sur la droite
Équation de la droite passant par deux points
Supposons connus deux points distincts du plan cartésien :
\[ P_1(x_1,y_1),\qquad P_2(x_2,y_2). \]
Puisque les deux points sont distincts, l'une au moins des deux différences \(x_2-x_1\) et \(y_2-y_1\) est non nulle.
Si \(x_1=x_2\), les deux points ont la même abscisse. Dans ce cas, la droite passant par \(P_1\) et \(P_2\) est verticale et a pour équation
\[ x=x_1. \]
Supposons à présent que \(x_1\ne x_2\). Dans ce cas, la droite n'est pas verticale et l'on peut introduire le coefficient directeur
\[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. \]
Si \(y_1=y_2\), alors \(m=0\) et la droite est horizontale. Dans ce cas, son équation est
\[ y=y_1. \]
Supposons donc que \(y_1\ne y_2\). La droite est oblique, et l'on peut déterminer son équation en utilisant la similitude des triangles rectangles. Soit \(P(x,y)\) un point générique de la droite, distinct de \(P_1\). La figure suivante illustre cette situation :
Les triangles rectangles \(\triangle P_1P'P\) et \(\triangle P_1P'_2P_2\) sont semblables, car chacun possède un angle droit et ils ont un angle aigu égal, déterminé par l'inclinaison de la droite. En tenant compte des variations horizontales et verticales avec leur signe, la similitude des triangles donne le rapport
\[ \frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. \]
Puisque
\[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}, \]
il s'ensuit que
\[ y-y_1=m(x-x_1). \]
C'est la forme point-pente de l'équation de la droite. En développant les calculs, on obtient
\[ y-y_1=mx-mx_1, \]
d'où
\[ y=mx+(y_1-mx_1). \]
En posant
\[ q=y_1-mx_1, \]
on obtient la forme explicite
\[ y=mx+q. \]
À partir de la forme point-pente, on peut également obtenir une forme implicite. En effet,
\[ y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1). \]
En multipliant les deux membres par \(x_2-x_1\), on obtient
\[ (x_2-x_1)(y-y_1)=(y_2-y_1)(x-x_1). \]
En regroupant tous les termes dans le premier membre et en réordonnant, on obtient :
\[ (y_1-y_2)x+(x_2-x_1)y+(x_1y_2-x_2y_1)=0. \]
La formule que l'on vient d'obtenir a été établie dans le cas \(x_1\ne x_2\). Elle demeure toutefois valable pour toute paire de points distincts : elle englobe le cas oblique, le cas horizontal et aussi le cas vertical.
Pour justifier cette validité générale, on peut recourir aux vecteurs. Un point générique \(P(x,y)\) appartient à la droite passant par \(P_1\) et \(P_2\) si et seulement si les trois points \(P_1\), \(P_2\) et \(P\) sont alignés. Cela se produit lorsque les vecteurs
\[ \overrightarrow{P_1P}=(x-x_1,y-y_1), \qquad \overrightarrow{P_1P_2}=(x_2-x_1,y_2-y_1) \]
sont linéairement dépendants. En termes algébriques, cette condition équivaut à l'annulation du déterminant
\[ \begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1\\ x_2-x_1 & y_2-y_1 \end{vmatrix}=0. \]
En développant le déterminant, on obtient
\[ (x-x_1)(y_2-y_1)-(y-y_1)(x_2-x_1)=0, \]
et donc, à nouveau,
\[ (y_1-y_2)x+(x_2-x_1)y+(x_1y_2-x_2y_1)=0. \]
Forme explicite de la droite
Une droite du plan cartésien admet une forme explicite dès lors qu'elle n'est pas verticale. Dans ce cas, son équation peut s'écrire sous la forme
\[ y=mx+q. \]
Le nombre \(m\) est le coefficient directeur de la droite et mesure la variation de l'ordonnée par rapport à la variation de l'abscisse. Le nombre \(q\) est l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe \(y\).
En effet, en posant \(x=0\) dans l'équation \(y=mx+q\), on obtient
\[ y=q. \]
La droite coupe donc l'axe des ordonnées au point
\[ (0,q). \]
Si l'on connaît un point \(P_1(x_1,y_1)\) de la droite ainsi que le coefficient directeur \(m\), on peut utiliser la forme point-pente :
\[ y-y_1=m(x-x_1). \]
En développant les calculs, on obtient :
\[ y-y_1=mx-mx_1, \]
et donc
\[ y=mx+(y_1-mx_1). \]
Ainsi, dans la forme \(y=mx+q\), on a
\[ q=y_1-mx_1. \]
Si, en revanche, on connaît deux points distincts \(P_1(x_1,y_1)\) et \(P_2(x_2,y_2)\), avec \(x_1\ne x_2\), alors le coefficient directeur est
\[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. \]
La condition \(x_1\ne x_2\) est essentielle : si \(x_1=x_2\), la droite passant par les deux points est verticale et ne peut pas s'écrire sous la forme \(y=mx+q\). Dans ce cas, son équation est
\[ x=x_1. \]
Forme implicite de la droite
La forme implicite de l'équation d'une droite est
\[ ax+by+c=0, \]
où \(a,b,c\in\mathbb{R}\) et où \(a\) et \(b\) ne sont pas tous deux nuls. La condition
\[ (a,b)\ne(0,0) \]
est nécessaire : en effet, si \(a=0\) et \(b=0\), l'équation ne dépendrait plus de \(x\) ni de \(y\). Si \(c=0\), elle serait vérifiée par tous les points du plan ; si \(c\ne0\), elle ne serait vérifiée par aucun point. Dans les deux cas, elle ne représenterait pas une droite.
La forme implicite est la forme la plus générale de l'équation d'une droite dans le plan cartésien, car elle englobe également les droites verticales, qui ne peuvent pas s'écrire sous la forme \(y=mx+q\).
Si \(b\ne 0\), on peut isoler \(y\) :
\[ by=-ax-c, \]
d'où
\[ y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}. \]
Dans ce cas, la droite n'est pas verticale et sa forme explicite est
\[ y=mx+q, \]
avec
\[ m=-\frac{a}{b}, \qquad q=-\frac{c}{b}. \]
Si, en revanche, \(b=0\), alors nécessairement \(a\ne 0\), et l'équation devient
\[ ax+c=0. \]
En isolant \(x\), on obtient
\[ x=-\frac{c}{a}. \]
C'est l'équation d'une droite verticale.
Si \(a=0\), alors nécessairement \(b\ne 0\), et l'équation devient
\[ by+c=0. \]
En isolant \(y\), on obtient
\[ y=-\frac{c}{b}. \]
C'est l'équation d'une droite horizontale.
La forme implicite est particulièrement utile car elle permet de vérifier aisément si un point appartient à une droite. En effet, un point \(P(x_0,y_0)\) appartient à la droite \(ax+by+c=0\) si et seulement si
\[ ax_0+by_0+c=0. \]
En outre, à partir de la forme point-pente
\[ y-y_1=m(x-x_1), \]
on peut obtenir une forme implicite en regroupant tous les termes dans le premier membre :
\[ y-y_1-mx+mx_1=0, \]
c'est-à-dire
\[ -mx+y+(mx_1-y_1)=0. \]
Signification géométrique du coefficient directeur
Le coefficient directeur d'une droite non verticale mesure le rapport entre la variation de l'ordonnée et la variation de l'abscisse. Si la droite passe par deux points distincts
\[ P_1(x_1,y_1),\qquad P_2(x_2,y_2), \]
avec \(x_1\ne x_2\), alors le coefficient directeur est
\[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. \]
Cette formule montre que \(m\) décrit de combien varie \(y\) lorsque \(x\) varie. C'est pourquoi le coefficient directeur est également appelé pente de la droite.
Si la droite a pour équation explicite
\[ y=mx+q, \]
alors la valeur de \(m\) détermine le comportement géométrique de la droite.
- Si \(m>0\), la droite est croissante : lorsque \(x\) augmente, \(y\) augmente également. Dans ce cas, la droite forme avec le demi-axe positif des abscisses un angle aigu.
- Si \(m<0\), la droite est décroissante : lorsque \(x\) augmente, \(y\) diminue. Dans ce cas, la droite forme avec le demi-axe positif des abscisses un angle obtus.
- Si \(m=0\), la droite est horizontale. En effet, l'équation devient \(y=q\) : l'ordonnée reste donc constante lorsque \(x\) varie.
Le coefficient directeur est également lié à l'angle d'inclinaison de la droite. Si \(\alpha\) est l'angle que la droite forme avec le demi-axe positif des abscisses, alors, pour une droite non verticale, on a
\[ m=\tan\alpha. \]
Les droites verticales constituent un cas particulier. Une droite verticale a pour équation
\[ x=k. \]
Dans ce cas, le coefficient directeur n'est pas défini, car l'abscisse est constante et il n'est pas possible d'exprimer \(y\) en fonction de \(x\). Géométriquement, la droite verticale est parallèle à l'axe \(y\).
Équation paramétrique de la droite
Une droite peut également être décrite au moyen d'une équation paramétrique. Sous cette forme, les coordonnées des points de la droite dépendent d'un paramètre réel.
Supposons que la droite passe par un point
\[ P_0(x_0,y_0) \]
et admette comme vecteur directeur un vecteur non nul
\[ \boldsymbol{v}=(a,b). \]
Alors une représentation paramétrique de la droite est
\[ \begin{cases} x=x_0+at\\ y=y_0+bt \end{cases} \qquad t\in\mathbb{R}. \]
Le paramètre \(t\) indique le déplacement le long de la direction du vecteur \(\boldsymbol{v}\). Lorsque \(t\) parcourt \(\mathbb{R}\), le point
\[ (x_0+at,\ y_0+bt) \]
décrit tous les points de la droite, et eux seuls.
Si l'on connaît deux points distincts
\[ P_1(x_1,y_1),\qquad P_2(x_2,y_2), \]
on peut choisir comme vecteur directeur
\[ \boldsymbol{v}=(x_2-x_1,\ y_2-y_1). \]
Dans ce cas, une représentation paramétrique de la droite passant par \(P_1\) et \(P_2\) est
\[ \begin{cases} x=x_1+(x_2-x_1)t\\ y=y_1+(y_2-y_1)t \end{cases} \qquad t\in\mathbb{R}. \]
Pour \(t=0\), on obtient le point \(P_1\) ; pour \(t=1\), on obtient le point \(P_2\). Les valeurs de \(t\) dans l'intervalle \([0,1]\) décrivent les points du segment \(P_1P_2\), tandis que les autres valeurs de \(t\) décrivent des points de la droite extérieurs au segment.
La forme paramétrique est particulièrement utile car elle décrit de la même manière les droites obliques, horizontales et verticales. Par exemple, si le vecteur directeur est \((0,b)\), avec \(b\ne 0\), alors l'abscisse reste constante et l'on obtient une droite verticale.
Droite perpendiculaire à une droite donnée
Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent en formant quatre angles droits. Dans le plan cartésien, cette condition peut s'exprimer simplement à l'aide des coefficients directeurs, à condition qu'aucune des deux droites ne soit verticale.
Supposons qu'une droite \(r\) ait pour équation
\[ r:\ y=mx+q, \]
avec \(m\ne 0\). Alors toute droite perpendiculaire à \(r\) a pour coefficient directeur
\[ m_\perp=-\frac{1}{m}. \]
En effet, si deux droites non verticales ont pour coefficients directeurs \(m_1\) et \(m_2\), elles sont perpendiculaires si et seulement si
\[ m_1m_2=-1. \]
Pour déterminer la droite perpendiculaire à \(r\) passant par un point \(P_0(x_0,y_0)\), on utilise donc la forme point-pente :
\[ y-y_0=-\frac{1}{m}(x-x_0). \]
Le point \(P_0(x_0,y_0)\) est simplement le point par lequel doit passer la droite perpendiculaire ; il n'appartient pas nécessairement à la droite \(r\).
Il convient toutefois de distinguer les cas particuliers.
- Si \(r\) est horizontale, elle a pour équation \(y=k\). Toute droite perpendiculaire à \(r\) est verticale et a pour équation \(x=h\).
- Si \(r\) est verticale, elle a pour équation \(x=h\). Toute droite perpendiculaire à \(r\) est horizontale et a pour équation \(y=k\).
Plus généralement, en utilisant la forme implicite, la droite
\[ ax+by+c=0 \]
admet pour vecteur normal
\[ \boldsymbol{n}=(a,b). \]
Une droite perpendiculaire à celle-ci a donc une direction parallèle au vecteur \((a,b)\). C'est pourquoi, si elle doit passer par \(P_0(x_0,y_0)\), une équation paramétrique possible de cette droite est
\[ \begin{cases} x=x_0+at\\ y=y_0+bt \end{cases} \qquad t\in\mathbb{R}. \]
Cette description est utile car elle fonctionne aussi bien lorsque la droite de départ est verticale que lorsqu'elle est horizontale.
Problèmes d'entraînement sur la droite
Nous concluons par quelques problèmes d'entraînement sur l'équation de la droite. Les exemples montrent comment appliquer les formules établies dans les sections précédentes : l'équation de la droite passant par deux points, la droite perpendiculaire, le coefficient directeur et la forme paramétrique.
Problème 1. Déterminer l'équation explicite de la droite passant par les points \(A(1,2)\) et \(B(3,6)\).
Résolution. Calculons le coefficient directeur :
\[ m=\frac{6-2}{3-1}=\frac{4}{2}=2. \]
Puisque la droite passe par \(A(1,2)\), utilisons la forme point-pente :
\[ y-2=2(x-1). \]
En développant, on obtient :
\[ y-2=2x-2, \]
d'où
\[ y=2x. \]
L'équation de la droite cherchée est donc
\[ y=2x. \]
Vérifions que les deux points appartiennent bien à la droite :
\[ A(1,2):\quad 2=2\cdot 1, \]
\[ B(3,6):\quad 6=2\cdot 3. \]
Problème 2. Déterminer l'équation de la droite perpendiculaire à la droite \(y=2x\) et passant par le point \(P(3,6)\).
Résolution. La droite donnée a pour coefficient directeur
\[ m=2. \]
Puisque la droite cherchée doit être perpendiculaire à la droite donnée, son coefficient directeur est
\[ m_\perp=-\frac{1}{m}=-\frac{1}{2}. \]
Utilisons à présent la forme point-pente avec le point \(P(3,6)\) :
\[ y-6=-\frac{1}{2}(x-3). \]
En développant :
\[ y-6=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}. \]
En ajoutant \(6\) aux deux membres, on obtient :
\[ y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+6. \]
D'où
\[ y=-\frac{1}{2}x+\frac{15}{2}. \]
L'équation explicite de la droite cherchée est
\[ y=-\frac{1}{2}x+\frac{15}{2}. \]
Sous forme implicite :
\[ 2y=-x+15, \]
c'est-à-dire
\[ x+2y-15=0. \]
Vérifions que la droite passe bien par \(P(3,6)\) :
\[ 6=-\frac{1}{2}\cdot 3+\frac{15}{2} =-\frac{3}{2}+\frac{15}{2} =\frac{12}{2}=6. \]
Problème 3. Déterminer l'équation de la droite passant par le point \(P(3,4)\) et faisant un angle d'inclinaison de \(30^\circ\) avec le demi-axe positif des abscisses.
Résolution. Le coefficient directeur d'une droite non verticale est lié à l'angle d'inclinaison par la relation
\[ m=\tan\alpha. \]
Ici \(\alpha=30^\circ\), donc
\[ m=\tan 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}. \]
Utilisons la forme point-pente avec \(P(3,4)\) :
\[ y-4=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-3). \]
En développant :
\[ y-4=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}. \]
D'où
\[ y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+4-\sqrt{3}. \]
L'équation de la droite cherchée est donc
\[ y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+4-\sqrt{3}. \]
Vérifions que la droite passe bien par \(P(3,4)\) :
\[ y=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 3+4-\sqrt{3} =\sqrt{3}+4-\sqrt{3}=4. \]
Problème 4. Déterminer l'équation de la droite perpendiculaire à la droite \(y=2x\) et passant par le point \(P(4,2)\).
Résolution. La droite \(y=2x\) a pour coefficient directeur
\[ m=2. \]
La droite perpendiculaire a donc pour coefficient directeur
\[ m_\perp=-\frac{1}{2}. \]
En utilisant la forme point-pente avec le point \(P(4,2)\), on obtient :
\[ y-2=-\frac{1}{2}(x-4). \]
En développant :
\[ y-2=-\frac{1}{2}x+2. \]
D'où
\[ y=-\frac{1}{2}x+4. \]
L'équation explicite de la droite cherchée est
\[ y=-\frac{1}{2}x+4. \]
Sous forme implicite :
\[ 2y=-x+8, \]
c'est-à-dire
\[ x+2y-8=0. \]
Vérifions que la droite passe bien par \(P(4,2)\) :
\[ 2=-\frac{1}{2}\cdot 4+4=-2+4=2. \]
Problème 5. Écrire l'équation paramétrique de la droite passant par \(A(3,-1)\) et \(B(4,1)\). Déterminer ensuite l'équation cartésienne correspondante.
Résolution. Calculons un vecteur directeur de la droite :
\[ \boldsymbol{v}=(4-3,\ 1-(-1))=(1,2). \]
Une représentation paramétrique de la droite passant par \(A(3,-1)\), de vecteur directeur \(\boldsymbol{v}=(1,2)\), est
\[ \begin{cases} x=3+t\\ y=-1+2t \end{cases} \qquad t\in\mathbb{R}. \]
Pour passer à la forme cartésienne, isolons \(t\) dans la première équation :
\[ x=3+t, \]
d'où
\[ t=x-3. \]
En substituant dans la seconde équation :
\[ y=-1+2(x-3). \]
En développant :
\[ y=-1+2x-6=2x-7. \]
La forme explicite de la droite est donc
\[ y=2x-7. \]
En regroupant tous les termes dans le premier membre, on obtient la forme implicite :
\[ 2x-y-7=0. \]
Vérifions que la droite passe bien par les deux points :
\[ A(3,-1):\quad -1=2\cdot 3-7, \]
\[ B(4,1):\quad 1=2\cdot 4-7. \]
