Les ensembles ouverts et les ensembles fermés sont des concepts fondamentaux de l'analyse mathématique. Ils permettent de décrire de manière rigoureuse la structure des ensembles de nombres réels et jouent un rôle central dans l'étude des limites, de la continuité et de la convergence.
Dans les sections qui suivent, nous introduirons les définitions d'ensemble ouvert et d'ensemble fermé, nous en étudierons les propriétés fondamentales et nous verrons de quelle manière ces concepts se rattachent aux points d'accumulation.
Sommaire
- Définition d'ensemble ouvert
- Exemples d'ensembles ouverts
- Définition d'ensemble fermé
- Exemples d'ensembles fermés
- Relation entre ensembles ouverts et fermés
- Caractérisation au moyen des points d'accumulation
- Propriétés des ensembles ouverts
- Propriétés des ensembles fermés
Définition d'ensemble ouvert
La notion d'ensemble ouvert repose sur le concept de voisinage. Soit \(A\subseteq\mathbb R\). On dit que \(A\) est un ensemble ouvert si, pour tout point \(x_0\in A\), il existe un nombre réel \(r>0\) tel que
\[ (x_0-r,x_0+r)\subseteq A. \]
Autrement dit, un ensemble est ouvert si chacun de ses points possède au moins un voisinage entièrement contenu dans l'ensemble.
Il importe de remarquer que le rayon \(r\) peut dépendre du point choisi. Il n'est donc pas nécessaire qu'il existe une unique valeur de \(r\) valable pour tous les points de l'ensemble ; ce qui importe, c'est que, un point \(x_0\in A\) étant fixé arbitrairement, il existe au moins un voisinage centré en \(x_0\) contenu dans \(A\).
La définition peut également s'exprimer à l'aide de quantificateurs :
\[ A \text{ ouvert} \iff \forall x_0\in A\ \exists r>0 \text{ tel que } (x_0-r,x_0+r)\subseteq A. \]
Voyons deux exemples immédiats.
Considérons l'intervalle ouvert
\[ A=(0,1). \]
Soit \(x_0\in(0,1)\). Puisque \(x_0\) est strictement compris entre \(0\) et \(1\), les quantités
\[ x_0 \qquad\text{et}\qquad 1-x_0 \]
sont toutes deux positives. Nous pouvons donc choisir
\[ r=\frac12\min\{x_0,1-x_0\}. \]
Avec ce choix, on obtient
\[ (x_0-r,x_0+r)\subseteq(0,1). \]
Le point \(x_0\) étant arbitraire, l'intervalle \((0,1)\) est un ensemble ouvert.
Considérons à présent l'ensemble
\[ B=[0,1]. \]
Cet ensemble n'est pas ouvert. En effet, le point \(0\) appartient à \(B\), mais aucun voisinage de \(0\) n'est contenu dans \(B\).
De fait, pour tout \(r>0\), le voisinage
\[ (-r,r) \]
contient des nombres négatifs, qui n'appartiennent pas à \(B\). Par conséquent, il n'existe aucun rayon \(r>0\) tel que
\[ (-r,r)\subseteq[0,1]. \]
L'ensemble \([0,1]\) n'est donc pas ouvert.
Exemples d'ensembles ouverts
La définition d'ensemble ouvert peut s'appliquer à de nombreux ensembles de la droite réelle. Dans cette section, nous analyserons quelques-uns des exemples les plus importants.
Intervalles ouverts
Considérons un intervalle ouvert
\[ A=(a,b), \qquad a<b. \]
Nous voulons montrer que \(A\) est un ensemble ouvert. Soit \(x_0\in(a,b)\). Puisque \(x_0\) est strictement compris entre \(a\) et \(b\), les quantités
\[ x_0-a \qquad\text{et}\qquad b-x_0 \]
sont toutes deux positives. Posons
\[ r=\frac12\min\{x_0-a,\; b-x_0\}. \]
Alors \(r>0\) et le voisinage
\[ (x_0-r,x_0+r) \]
reste entièrement contenu dans l'intervalle \((a,b)\). Ainsi, chaque point de l'intervalle possède un voisinage contenu dans l'ensemble, et \((a,b)\) est donc un ensemble ouvert.
Demi-droites ouvertes
Considérons à présent la demi-droite
\[ A=(a,+\infty). \]
Soit \(x_0\in A\). Alors \(x_0>a\), de sorte que la distance entre \(x_0\) et le point \(a\) est positive. En choisissant
\[ r=\frac{x_0-a}{2}, \]
on a \(r>0\) et
\[ x_0-r = \frac{x_0+a}{2} > a. \]
Il s'ensuit que
\[ (x_0-r,x_0+r)\subseteq(a,+\infty). \]
Ainsi, \((a,+\infty)\) est également un ensemble ouvert.
Par un raisonnement tout à fait analogue, on démontre que la demi-droite
\[ (-\infty,b) \]
est elle aussi un ensemble ouvert.
L'ensemble \(\mathbb R\)
La droite réelle tout entière est elle aussi un ensemble ouvert. En effet, un point \(x_0\in\mathbb R\) étant fixé arbitrairement, tout voisinage de la forme
\[ (x_0-r,x_0+r), \qquad r>0, \]
est contenu dans \(\mathbb R\). Par conséquent, \(\mathbb R\) satisfait la définition d'ensemble ouvert.
L'ensemble vide
L'ensemble vide
\[ \varnothing \]
est lui aussi considéré comme un ensemble ouvert. En effet, la définition exige que chaque point de l'ensemble possède un voisinage contenu dans l'ensemble. Comme l'ensemble vide ne contient aucun point, cette condition est automatiquement satisfaite.
C'est pourquoi \(\varnothing\) et \(\mathbb R\) sont toujours des ensembles ouverts.
Définition d'ensemble fermé
La notion d'ensemble fermé est étroitement liée à celle d'ensemble ouvert. Soit \(A\subseteq\mathbb R\). On dit que \(A\) est un ensemble fermé si son complémentaire
\[ \mathbb R\setminus A \]
est un ensemble ouvert.
En symboles :
\[ A \text{ fermé} \iff \mathbb R\setminus A \text{ ouvert}. \]
Pour vérifier qu'un ensemble est fermé, il n'est donc pas nécessaire de travailler directement sur l'ensemble lui-même ; il est souvent plus simple d'étudier son complémentaire et de vérifier qu'il est ouvert.
Considérons, par exemple, l'intervalle
\[ [0,1]. \]
Son complémentaire est
\[ \mathbb R\setminus[0,1] = (-\infty,0)\cup(1,+\infty). \]
Les deux demi-droites sont ouvertes et, comme nous le verrons plus loin, la réunion de deux ensembles ouverts est encore un ensemble ouvert. Par conséquent, \(\mathbb R\setminus[0,1]\) est ouvert, et \([0,1]\) est donc un ensemble fermé.
Considérons à présent l'intervalle
\[ (0,1). \]
Son complémentaire est
\[ \mathbb R\setminus(0,1) = (-\infty,0]\cup[1,+\infty). \]
Cet ensemble n'est pas ouvert, car ni le point \(0\) ni le point \(1\) ne possèdent de voisinage entièrement contenu dans le complémentaire.
Par conséquent, \((0,1)\) n'est pas un ensemble fermé.
Dans les sections suivantes, nous verrons une caractérisation particulièrement importante des ensembles fermés, fondée sur les points d'accumulation.
Exemples d'ensembles fermés
De manière analogue à ce que nous avons fait pour les ensembles ouverts, analysons à présent quelques exemples significatifs d'ensembles fermés.
Intervalles fermés
Considérons l'intervalle
\[ A=[a,b], \qquad a<b. \]
Pour établir que \(A\) est fermé, il suffit d'étudier son complémentaire :
\[ \mathbb R\setminus A = (-\infty,a)\cup(b,+\infty). \]
Les deux demi-droites \((-\infty,a)\) et \((b,+\infty)\) sont ouvertes. De plus, comme nous le verrons plus loin, la réunion d'ensembles ouverts est encore un ensemble ouvert.
Par conséquent, \(\mathbb R\setminus A\) est ouvert, et \([a,b]\) est donc un ensemble fermé.
Demi-droites fermées
Considérons la demi-droite
\[ [a,+\infty). \]
Son complémentaire est
\[ \mathbb R\setminus[a,+\infty) = (-\infty,a), \]
qui est un ensemble ouvert.
Par conséquent, \([a,+\infty)\) est un ensemble fermé.
Par le même raisonnement, on démontre que la demi-droite
\[ (-\infty,b] \]
est elle aussi un ensemble fermé.
Ensembles constitués d'un nombre fini de points
Considérons un ensemble formé d'un seul point :
\[ A=\{a\}. \]
Son complémentaire est
\[ \mathbb R\setminus\{a\} = (-\infty,a)\cup(a,+\infty). \]
Étant la réunion de deux ensembles ouverts, il est ouvert. Par conséquent, \(\{a\}\) est un ensemble fermé.
Le même raisonnement montre que tout ensemble formé d'un nombre fini de points est un ensemble fermé.
L'ensemble \(\mathbb R\)
La droite réelle tout entière est un ensemble fermé.
En effet, son complémentaire est l'ensemble vide :
\[ \mathbb R\setminus\mathbb R = \varnothing. \]
Comme \(\varnothing\) est un ensemble ouvert, il s'ensuit que \(\mathbb R\) est fermé.
L'ensemble vide
L'ensemble vide est lui aussi un ensemble fermé.
En effet,
\[ \mathbb R\setminus\varnothing = \mathbb R. \]
Comme \(\mathbb R\) est un ensemble ouvert, il s'ensuit que \(\varnothing\) est fermé.
Nous obtenons ainsi un résultat intéressant : \(\mathbb R\) et \(\varnothing\) sont à la fois ouverts et fermés.
Relation entre ensembles ouverts et fermés
Les ensembles ouverts et les ensembles fermés se définissent les uns à partir des autres : un ensemble est fermé si et seulement si son complémentaire est ouvert. Il ne faut cependant pas croire que les mots « ouvert » et « fermé » soient nécessairement opposés au sens du langage courant.
En effet, un ensemble ouvert peut ne pas être fermé, un ensemble fermé peut ne pas être ouvert, mais il existe aussi des ensembles qui sont à la fois ouverts et fermés.
Ensembles ouverts mais non fermés
L'intervalle
\[ (0,1) \]
est un ensemble ouvert, comme nous l'avons déjà démontré.
Il n'est cependant pas fermé, car son complémentaire
\[ (-\infty,0]\cup[1,+\infty) \]
n'est pas ouvert.
Par conséquent, \((0,1)\) est ouvert mais non fermé.
Ensembles fermés mais non ouverts
Considérons l'intervalle
\[ [0,1]. \]
Nous avons vu qu'il est fermé parce que son complémentaire
\[ (-\infty,0)\cup(1,+\infty) \]
est ouvert.
Par ailleurs, \([0,1]\) n'est pas ouvert, car ni le point \(0\) ni le point \(1\) ne possèdent de voisinage entièrement contenu dans l'ensemble.
Par conséquent, \([0,1]\) est fermé mais non ouvert.
Ensembles à la fois ouverts et fermés
Nous avons déjà observé que l'ensemble vide \(\varnothing\) est ouvert et que son complémentaire \(\mathbb R\) est ouvert. Par conséquent, \(\varnothing\) est également fermé.
De même, \(\mathbb R\) est ouvert et son complémentaire \(\varnothing\) est ouvert ; \(\mathbb R\) est donc également fermé.
Les ensembles
\[ \varnothing \qquad\text{et}\qquad \mathbb R \]
sont donc à la fois ouverts et fermés.
Ensembles ni ouverts ni fermés
Il existe enfin des ensembles qui ne sont ni ouverts ni fermés.
Un exemple en est l'intervalle
\[ (0,1]. \]
Il n'est pas ouvert, car le point \(1\) ne possède aucun voisinage entièrement contenu dans l'ensemble.
De plus, il n'est pas fermé, car son complémentaire
\[ (-\infty,0]\cup(1,+\infty) \]
n'est pas ouvert.
Par conséquent, \((0,1]\) n'est ni ouvert ni fermé.
En conclusion, les propriétés d'être ouvert et d'être fermé sont indépendantes : un ensemble peut posséder une seule des deux propriétés, les deux à la fois, ou aucune.
Caractérisation au moyen des points d'accumulation
L'une des caractérisations les plus importantes des ensembles fermés fait intervenir la notion de point d'accumulation. Elle permet de reconnaître si un ensemble est fermé en observant uniquement la position de ses points d'accumulation.
Rappelons qu'un point \(x_0\in\mathbb R\) est appelé point d'accumulation d'un ensemble \(A\subseteq\mathbb R\) si tout voisinage épointé de \(x_0\) contient au moins un point de \(A\).
On a alors le théorème fondamental suivant.
Théorème. Un ensemble \(A\subseteq\mathbb R\) est fermé si et seulement s'il contient tous ses points d'accumulation.
En symboles :
\[ A \text{ fermé} \iff A'\subseteq A, \]
où \(A'\) désigne l'ensemble dérivé de \(A\), c'est-à-dire l'ensemble de tous les points d'accumulation de \(A\).
Démonstration. Supposons tout d'abord que \(A\) soit fermé et soit \(x_0\in A'\). Nous voulons démontrer que \(x_0\in A\).
Raisonnons par l'absurde et supposons que \(x_0\notin A\).
Comme \(A\) est fermé, le complémentaire \(\mathbb R\setminus A\) est ouvert. Puisque \(x_0\in\mathbb R\setminus A\), il existe un voisinage
\[ (x_0-r,x_0+r) \subseteq \mathbb R\setminus A. \]
Ce voisinage ne contient aucun point de \(A\), ce qui contredit le fait que \(x_0\) est un point d'accumulation de \(A\).
On a donc nécessairement \(x_0\in A\), et par conséquent
\[ A'\subseteq A. \]
Démontrons à présent la réciproque. Supposons que
\[ A'\subseteq A \]
et considérons un point
\[ x_0\in\mathbb R\setminus A. \]
Comme \(x_0\notin A\) et que tous les points d'accumulation appartiennent à \(A\), le point \(x_0\) ne peut pas être un point d'accumulation de \(A\).
Par définition d'un point d'accumulation, il existe alors un rayon \(r>0\) tel que le voisinage épointé
\[ (x_0-r,x_0+r)\setminus\{x_0\} \]
ne contient aucun point de \(A\).
Comme, de plus, \(x_0\notin A\), il s'ensuit que l'intervalle tout entier
\[ (x_0-r,x_0+r) \]
est contenu dans le complémentaire \(\mathbb R\setminus A\).
Nous avons ainsi montré que chaque point de \(\mathbb R\setminus A\) possède un voisinage contenu dans le complémentaire. Par conséquent, \(\mathbb R\setminus A\) est ouvert.
\(A\) est donc fermé.
Interprétation géométrique
Le théorème affirme qu'un ensemble est fermé lorsqu'il ne « laisse de côté » aucun de ses points d'accumulation.
Par exemple, l'intervalle
\[ [0,1] \]
contient tous ses points d'accumulation et est donc fermé.
Au contraire, l'intervalle
\[ (0,1) \]
ne contient pas les points d'accumulation \(0\) et \(1\). Par conséquent, il n'est pas fermé.
Cette caractérisation constitue souvent la méthode la plus simple pour établir si un ensemble est fermé.
Propriétés des ensembles ouverts
Les ensembles ouverts jouissent d'importantes propriétés de stabilité qui permettent de construire de nouveaux ensembles ouverts à partir d'ensembles ouverts déjà connus.
En particulier, la réunion quelconque d'ensembles ouverts est encore un ensemble ouvert, tandis que l'intersection d'un nombre fini d'ensembles ouverts est encore un ensemble ouvert.
Réunion d'ensembles ouverts
Soit \(\{A_i\}_{i\in I}\) une famille d'ensembles ouverts. Alors
\[ \bigcup_{i\in I}A_i \]
est un ensemble ouvert.
Démonstration. Posons
\[ A=\bigcup_{i\in I}A_i \]
et soit \(x_0\in A\).
Par définition de la réunion, il existe au moins un indice \(j\in I\) tel que
\[ x_0\in A_j. \]
Comme \(A_j\) est ouvert, il existe un rayon \(r>0\) tel que
\[ (x_0-r,x_0+r)\subseteq A_j. \]
Puisque \(A_j\subseteq A\), il s'ensuit que
\[ (x_0-r,x_0+r)\subseteq A. \]
Nous avons ainsi montré que chaque point de \(A\) possède un voisinage contenu dans \(A\). \(A\) est donc ouvert.
Intersection finie d'ensembles ouverts
Soient \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) des ensembles ouverts. Alors
\[ A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n \]
est un ensemble ouvert.
Démonstration. Posons
\[ A=A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n \]
et soit \(x_0\in A\).
Alors
\[ x_0\in A_1,\quad x_0\in A_2,\quad \ldots,\quad x_0\in A_n. \]
Comme chacun de ces ensembles est ouvert, il existe des rayons positifs
\[ r_1,r_2,\ldots,r_n \]
tels que
\[ (x_0-r_k,x_0+r_k)\subseteq A_k, \qquad k=1,\ldots,n. \]
Posons
\[ r=\min\{r_1,r_2,\ldots,r_n\}. \]
Alors \(r>0\) et
\[ (x_0-r,x_0+r) \subseteq A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n. \]
\(A\) est donc ouvert.
Pourquoi l'intersection infinie peut-elle ne pas être ouverte ?
La propriété précédente ne peut pas être étendue aux intersections infinies.
Considérons en effet la famille d'intervalles ouverts
\[ A_n= \left( -\frac1n, \frac1n \right), \qquad n\in\mathbb N. \]
Chaque \(A_n\) est ouvert.
Pourtant,
\[ \bigcap_{n=1}^{\infty} \left( -\frac1n, \frac1n \right) = \{0\}. \]
L'ensemble \(\{0\}\) n'est pas ouvert, car aucun voisinage de \(0\) n'est contenu dans \(\{0\}\).
Cet exemple montre que l'intersection d'une famille infinie d'ensembles ouverts peut ne pas être ouverte.
En résumé :
\[ \boxed{ \begin{aligned} &\text{La réunion quelconque d'ensembles ouverts est ouverte ;}\\[4pt] &\text{l'intersection finie d'ensembles ouverts est ouverte.} \end{aligned} } \]
Propriétés des ensembles fermés
Les propriétés des ensembles fermés sont duales de celles des ensembles ouverts. En particulier, l'intersection quelconque d'ensembles fermés est encore un ensemble fermé, tandis que la réunion d'un nombre fini d'ensembles fermés est encore un ensemble fermé.
Intersection quelconque d'ensembles fermés
Soit \(\{A_i\}_{i\in I}\) une famille d'ensembles fermés. Alors
\[ \bigcap_{i\in I}A_i \]
est un ensemble fermé.
Démonstration. Posons
\[ A=\bigcap_{i\in I}A_i. \]
En utilisant les lois de De Morgan, nous obtenons
\[ \mathbb R\setminus A = \mathbb R\setminus \left( \bigcap_{i\in I}A_i \right) = \bigcup_{i\in I} \left( \mathbb R\setminus A_i \right). \]
Comme chaque ensemble \(A_i\) est fermé, le complémentaire \(\mathbb R\setminus A_i\) est ouvert.
De plus, la réunion quelconque d'ensembles ouverts est ouverte.
Par conséquent, \(\mathbb R\setminus A\) est ouvert, et \(A\) est donc fermé.
Réunion finie d'ensembles fermés
Soient \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) des ensembles fermés. Alors
\[ A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n \]
est un ensemble fermé.
Démonstration. Posons
\[ A=A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n. \]
En appliquant de nouveau les lois de De Morgan, nous obtenons
\[ \mathbb R\setminus A = \mathbb R\setminus \left( A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n \right) = (\mathbb R\setminus A_1) \cap (\mathbb R\setminus A_2) \cap \cdots \cap (\mathbb R\setminus A_n). \]
Comme chaque complémentaire \(\mathbb R\setminus A_k\) est ouvert et que l'intersection finie d'ensembles ouverts est ouverte, il s'ensuit que \(\mathbb R\setminus A\) est ouvert.
\(A\) est donc fermé.
Pourquoi la réunion infinie peut-elle ne pas être fermée ?
La propriété précédente ne peut pas être étendue aux réunions infinies.
Considérons en effet les ensembles
\[ A_n= \left[ \frac1n, 1 \right], \qquad n\in\mathbb N. \]
Chaque \(A_n\) est un intervalle fermé.
Leur réunion est
\[ \bigcup_{n=1}^{\infty} \left[ \frac1n, 1 \right] = (0,1]. \]
L'ensemble \((0,1]\) n'est pas fermé, car le point \(0\) est un point d'accumulation qui n'appartient pas à l'ensemble.
Cet exemple montre que la réunion d'une famille infinie d'ensembles fermés peut ne pas être fermée.
En résumé :
\[ \boxed{ \begin{aligned} &\text{L'intersection quelconque d'ensembles fermés est fermée ;}\\[4pt] &\text{la réunion finie d'ensembles fermés est fermée.} \end{aligned} } \]