Dans ce recueil, nous proposons 20 exercices résolus sur la composition de fonctions, de difficulté croissante et accompagnés d'explications détaillées. Les exercices portent sur le calcul de \(f\circ g\) et \(g\circ f\), le domaine de la fonction composée, l'ordre de composition, la fonction identité, l'associativité et le lien entre la composition et la fonction réciproque.
L'idée fondamentale à retenir est que, dans la composition \(f\circ g\), on applique d'abord \(g\), puis \(f\). Pour toute valeur \(x\) en laquelle la composition est définie, on a
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Exercice 1 — niveau ★☆☆☆☆
Soient
\[ f(x)=2x+1,\qquad g(x)=x^2-3. \]
Calculer \(f\circ g\).
Résultat
La fonction composée est
\[ (f\circ g)(x)=2x^2-5. \]
Résolution
Pour calculer \(f\circ g\), on applique d'abord \(g\), puis \(f\). Par définition :
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Puisque
\[ g(x)=x^2-3, \]
on doit substituer \(x^2-3\) à la variable dans l'expression de \(f\). Comme \(f(x)=2x+1\), on obtient
\[ f(g(x))=f(x^2-3)=2(x^2-3)+1. \]
En simplifiant :
\[ 2(x^2-3)+1=2x^2-6+1=2x^2-5. \]
Donc
\[ (f\circ g)(x)=2x^2-5. \]
Exercice 2 — niveau ★☆☆☆☆
Soient
\[ f(x)=x^2,\qquad g(x)=x+4. \]
Calculer \(f\circ g\) et \(g\circ f\).
Résultat
Les deux composées sont
\[ (f\circ g)(x)=(x+4)^2 \]
et
\[ (g\circ f)(x)=x^2+4. \]
Résolution
Calculons d'abord \(f\circ g\). Par définition :
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Puisque \(g(x)=x+4\), on obtient
\[ f(g(x))=f(x+4). \]
Comme \(f(x)=x^2\), en substituant \(x+4\) à \(x\), on a
\[ f(x+4)=(x+4)^2. \]
Ainsi
\[ (f\circ g)(x)=(x+4)^2. \]
Calculons maintenant \(g\circ f\). Dans ce cas, on applique d'abord \(f\), puis \(g\) :
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x)). \]
Puisque \(f(x)=x^2\), on obtient
\[ g(f(x))=g(x^2). \]
Comme \(g(x)=x+4\), on a
\[ g(x^2)=x^2+4. \]
Par conséquent
\[ (g\circ f)(x)=x^2+4. \]
Les deux composées ne coïncident pas : cela montre que, en général, l'ordre de composition importe.
Exercice 3 — niveau ★☆☆☆☆
Soient
\[ f(x)=3x-2,\qquad g(x)=5x+1. \]
Calculer \(f\circ g\) et \(g\circ f\).
Résultat
Les deux composées sont
\[ (f\circ g)(x)=15x+1 \]
et
\[ (g\circ f)(x)=15x-9. \]
Résolution
Calculons \(f\circ g\) :
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Puisque \(g(x)=5x+1\), on obtient
\[ f(g(x))=f(5x+1). \]
Comme \(f(x)=3x-2\), en substituant \(5x+1\) à \(x\), on a
\[ f(5x+1)=3(5x+1)-2. \]
Donc
\[ (f\circ g)(x)=15x+3-2=15x+1. \]
Calculons maintenant \(g\circ f\) :
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x)). \]
Puisque \(f(x)=3x-2\), on obtient
\[ g(f(x))=g(3x-2). \]
Comme \(g(x)=5x+1\), on a
\[ g(3x-2)=5(3x-2)+1. \]
En simplifiant :
\[ 5(3x-2)+1=15x-10+1=15x-9. \]
Ainsi
\[ (g\circ f)(x)=15x-9. \]
Exercice 4 — niveau ★★☆☆☆
Soient
\[ f(x)=x^2+1,\qquad g(x)=2x-3. \]
Calculer \(f\circ g\) et \(g\circ f\).
Résultat
Les deux composées sont
\[ (f\circ g)(x)=4x^2-12x+10 \]
et
\[ (g\circ f)(x)=2x^2-1. \]
Résolution
Calculons d'abord \(f\circ g\) :
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(2x-3). \]
Puisque \(f(x)=x^2+1\), on obtient
\[ f(2x-3)=(2x-3)^2+1. \]
Développons le carré :
\[ (2x-3)^2+1=4x^2-12x+9+1=4x^2-12x+10. \]
Ainsi
\[ (f\circ g)(x)=4x^2-12x+10. \]
Calculons maintenant \(g\circ f\) :
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^2+1). \]
Puisque \(g(x)=2x-3\), en substituant \(x^2+1\) à \(x\), on obtient
\[ g(x^2+1)=2(x^2+1)-3. \]
Donc
\[ (g\circ f)(x)=2x^2+2-3=2x^2-1. \]
Exercice 5 — niveau ★★☆☆☆
Soient
\[ f(x)=\sqrt{x},\qquad g(x)=x-4. \]
Déterminer \(f\circ g\) et son domaine réel.
Résultat
La fonction composée est
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{x-4} \]
et son domaine réel est
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=[4,+\infty). \]
Résolution
Par définition :
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Puisque \(g(x)=x-4\), on obtient
\[ f(g(x))=f(x-4). \]
Comme \(f(x)=\sqrt{x}\), on a
\[ f(x-4)=\sqrt{x-4}. \]
Donc
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{x-4}. \]
Pour déterminer le domaine réel, on impose que le radicande soit positif ou nul :
\[ x-4\ge 0. \]
En résolvant :
\[ x\ge 4. \]
Par conséquent
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=[4,+\infty). \]
Exercice 6 — niveau ★★☆☆☆
Soient
\[ f(x)=\frac{1}{x},\qquad g(x)=x^2-9. \]
Déterminer \(f\circ g\) et son domaine.
Résultat
La fonction composée est
\[ (f\circ g)(x)=\frac{1}{x^2-9} \]
et son domaine est
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=\mathbb R\setminus\{-3,3\}. \]
Résolution
La fonction composée est
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Puisque \(g(x)=x^2-9\), on obtient
\[ f(g(x))=f(x^2-9). \]
Comme \(f(x)=1/x\), on a
\[ f(x^2-9)=\frac{1}{x^2-9}. \]
Ainsi
\[ (f\circ g)(x)=\frac{1}{x^2-9}. \]
Pour déterminer le domaine, on impose que le dénominateur soit non nul :
\[ x^2-9\ne 0. \]
Résolvons :
\[ x^2-9=0 \quad \Longleftrightarrow \quad x^2=9. \]
Donc
\[ x=-3 \qquad \text{ou} \qquad x=3. \]
Ces deux valeurs doivent être exclues du domaine.
Par conséquent
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=\mathbb R\setminus\{-3,3\}. \]
Exercice 7 — niveau ★★☆☆☆
Soient
\[ f(x)=\sqrt{x+1},\qquad g(x)=\frac{1}{x}. \]
Déterminer \(f\circ g\) et son domaine réel.
Résultat
La fonction composée est
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{\frac{1}{x}+1} \]
et son domaine réel est
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=(-\infty,-1]\cup(0,+\infty). \]
Résolution
Calculons la composée :
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Puisque \(g(x)=1/x\), on obtient
\[ f(g(x))=f\left(\frac{1}{x}\right). \]
Comme \(f(x)=\sqrt{x+1}\), en substituant \(1/x\) à \(x\), on a
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{\frac{1}{x}+1}. \]
Pour le domaine, on doit imposer deux conditions. Tout d'abord, la fonction intérieure \(g(x)=1/x\) doit être définie :
\[ x\ne 0. \]
De plus, l'argument de la racine carrée doit être positif ou nul :
\[ \frac{1}{x}+1\ge 0. \]
Réduisons au même dénominateur :
\[ \frac{1+x}{x}\ge 0. \]
Les points critiques sont
\[ x=-1,\qquad x=0. \]
En étudiant le signe de la fraction, on obtient
\[ x\le -1 \qquad \text{ou} \qquad x>0. \]
La valeur \(x=0\) est exclue car elle annule le dénominateur.
Par conséquent
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=(-\infty,-1]\cup(0,+\infty). \]
Exercice 8 — niveau ★★☆☆☆
Soient
\[ f(x)=\frac{1}{x-1},\qquad g(x)=\sqrt{x}. \]
Déterminer \(f\circ g\) et son domaine réel.
Résultat
La fonction composée est
\[ (f\circ g)(x)=\frac{1}{\sqrt{x}-1} \]
et son domaine réel est
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=[0,+\infty)\setminus\{1\}. \]
Résolution
Calculons :
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x}). \]
Puisque \(f(x)=1/(x-1)\), on obtient
\[ (f\circ g)(x)=\frac{1}{\sqrt{x}-1}. \]
Pour le domaine, on impose tout d'abord que la fonction intérieure \(g(x)=\sqrt{x}\) soit définie :
\[ x\ge 0. \]
De plus, le dénominateur de la fonction composée doit être non nul :
\[ \sqrt{x}-1\ne 0. \]
En résolvant :
\[ \sqrt{x}\ne 1. \]
Comme \(\sqrt{x}=1\) si et seulement si \(x=1\), on doit exclure \(x=1\).
Par conséquent
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=[0,+\infty)\setminus\{1\}. \]
Exercice 9 — niveau ★★★☆☆
Soient
\[ f(x)=\sqrt{2-x},\qquad g(x)=x^2. \]
Déterminer \(f\circ g\) et son domaine réel.
Résultat
La fonction composée est
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{2-x^2} \]
et son domaine réel est
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=[-\sqrt{2},\sqrt{2}]. \]
Résolution
Par définition :
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Puisque \(g(x)=x^2\), on obtient
\[ f(g(x))=f(x^2). \]
Comme \(f(x)=\sqrt{2-x}\), on a
\[ f(x^2)=\sqrt{2-x^2}. \]
Ainsi
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{2-x^2}. \]
Pour le domaine réel, on impose que le radicande soit positif ou nul :
\[ 2-x^2\ge 0. \]
Cette inéquation équivaut à
\[ x^2\le 2. \]
Donc
\[ -\sqrt{2}\le x\le \sqrt{2}. \]
Par conséquent
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=[-\sqrt{2},\sqrt{2}]. \]
Exercice 10 — niveau ★★★☆☆
Soient
\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1},\qquad g(x)=x+2. \]
Déterminer \(f\circ g\) et son domaine.
Résultat
La fonction composée est
\[ (f\circ g)(x)=x+3 \qquad \text{pour } x\ne -1. \]
Son domaine est
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=\mathbb R\setminus\{-1\}. \]
Résolution
Calculons la fonction composée :
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x+2). \]
Substituons \(x+2\) dans l'expression de \(f\) :
\[ f(x+2)=\frac{(x+2)^2-1}{(x+2)-1}. \]
Simplifions le numérateur et le dénominateur :
\[ f(x+2)=\frac{x^2+4x+4-1}{x+1} =\frac{x^2+4x+3}{x+1}. \]
Factorisons le numérateur :
\[ x^2+4x+3=(x+1)(x+3). \]
Ainsi, pour \(x\ne -1\),
\[ \frac{x^2+4x+3}{x+1}=\frac{(x+1)(x+3)}{x+1}=x+3. \]
L'expression simplifiée de la composée est donc
\[ (f\circ g)(x)=x+3 \qquad \text{pour } x\ne -1. \]
Toutefois, la valeur \(x=-1\) doit être exclue, car le dénominateur \(x+1\) figure dans l'expression non simplifiée. De façon équivalente, la fonction \(f\) n'est pas définie lorsque son argument vaut \(1\). Comme l'argument est \(x+2\), on impose
\[ x+2\ne 1. \]
Donc
\[ x\ne -1. \]
Par conséquent
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=\mathbb R\setminus\{-1\}. \]
La simplification algébrique ne supprime pas la restriction sur le domaine.
Exercice 11 — niveau ★★☆☆☆
Soient
\[ f(x)=|x|,\qquad g(x)=x-2. \]
Calculer \(f\circ g\) et \(g\circ f\).
Résultat
Les deux composées sont
\[ (f\circ g)(x)=|x-2| \]
et
\[ (g\circ f)(x)=|x|-2. \]
Résolution
Calculons \(f\circ g\) :
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x-2). \]
Puisque \(f(x)=|x|\), en substituant \(x-2\) à \(x\), on obtient
\[ f(x-2)=|x-2|. \]
Donc
\[ (f\circ g)(x)=|x-2|. \]
Calculons maintenant \(g\circ f\) :
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(|x|). \]
Puisque \(g(x)=x-2\), on obtient
\[ g(|x|)=|x|-2. \]
Ainsi
\[ (g\circ f)(x)=|x|-2. \]
Les deux fonctions sont distinctes. Par exemple, pour \(x=-1\),
\[ (f\circ g)(-1)=|-1-2|=3, \]
tandis que
\[ (g\circ f)(-1)=|-1|-2=1-2=-1. \]
Exercice 12 — niveau ★★★☆☆
Soient
\[ f(x)=\sqrt{x},\qquad g(x)=x^2-1. \]
Déterminer \(f\circ g\), \(g\circ f\) et leurs domaines réels respectifs.
Résultat
On a
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{x^2-1},\qquad \operatorname{Dom}(f\circ g)=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty), \]
tandis que
\[ (g\circ f)(x)=x-1 \qquad \text{pour } x\ge 0, \]
c'est-à-dire
\[ \operatorname{Dom}(g\circ f)=[0,+\infty). \]
Résolution
Calculons d'abord \(f\circ g\) :
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x^2-1)=\sqrt{x^2-1}. \]
Pour le domaine réel, on impose
\[ x^2-1\ge 0. \]
Puisque
\[ x^2-1=(x-1)(x+1), \]
l'inéquation est vérifiée pour
\[ x\le -1 \qquad \text{ou} \qquad x\ge 1. \]
Donc
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty). \]
Calculons maintenant \(g\circ f\) :
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(\sqrt{x}). \]
Comme \(g(x)=x^2-1\), on obtient
\[ g(\sqrt{x})=(\sqrt{x})^2-1=x-1. \]
Toutefois, le domaine n'est pas \(\mathbb R\) tout entier, car la fonction intérieure \(f(x)=\sqrt{x}\) n'est définie que pour
\[ x\ge 0. \]
Par conséquent
\[ \operatorname{Dom}(g\circ f)=[0,+\infty). \]
Cet exercice montre que \(f\circ g\) et \(g\circ f\) peuvent avoir des expressions différentes et des domaines différents.
Exercice 13 — niveau ★★★☆☆
Soit
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^3-2x+1. \]
Calculer \(f\circ\operatorname{id}_{\mathbb R}\) et \(\operatorname{id}_{\mathbb R}\circ f\).
Résultat
On a
\[ f\circ\operatorname{id}_{\mathbb R}=f \]
et
\[ \operatorname{id}_{\mathbb R}\circ f=f. \]
Résolution
La fonction identité sur \(\mathbb R\) est définie par
\[ \operatorname{id}_{\mathbb R}(x)=x. \]
Calculons la première composition :
\[ (f\circ\operatorname{id}_{\mathbb R})(x)=f(\operatorname{id}_{\mathbb R}(x)). \]
Puisque \(\operatorname{id}_{\mathbb R}(x)=x\), on obtient
\[ f(\operatorname{id}_{\mathbb R}(x))=f(x). \]
Donc
\[ f\circ\operatorname{id}_{\mathbb R}=f. \]
Calculons maintenant la seconde composition :
\[ (\operatorname{id}_{\mathbb R}\circ f)(x)=\operatorname{id}_{\mathbb R}(f(x)). \]
La fonction identité renvoie son propre argument, de sorte que
\[ \operatorname{id}_{\mathbb R}(f(x))=f(x). \]
Par conséquent
\[ \operatorname{id}_{\mathbb R}\circ f=f. \]
La fonction identité est donc l'élément neutre pour la composition.
Exercice 14 — niveau ★★★☆☆
Soient
\[ f(x)=x^2,\qquad g(x)=x+1,\qquad h(x)=2x. \]
Vérifier que
\[ (f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h). \]
Résultat
Les deux composées coïncident et sont toutes deux données par
\[ (2x+1)^2. \]
Résolution
Calculons d'abord \((f\circ g)\circ h\). Déterminons \(f\circ g\) :
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x+1). \]
Puisque \(f(x)=x^2\), on obtient
\[ (f\circ g)(x)=(x+1)^2. \]
Composons maintenant avec \(h\) :
\[ ((f\circ g)\circ h)(x)=(f\circ g)(h(x)). \]
Puisque \(h(x)=2x\), on a
\[ (f\circ g)(h(x))=(f\circ g)(2x)=(2x+1)^2. \]
Donc
\[ ((f\circ g)\circ h)(x)=(2x+1)^2. \]
Calculons maintenant \(f\circ(g\circ h)\). Déterminons \(g\circ h\) :
\[ (g\circ h)(x)=g(h(x))=g(2x)=2x+1. \]
Composons maintenant avec \(f\) :
\[ (f\circ(g\circ h))(x)=f((g\circ h)(x))=f(2x+1). \]
Puisque \(f(x)=x^2\), on obtient
\[ (f\circ(g\circ h))(x)=(2x+1)^2. \]
Les deux fonctions coïncident. Cela confirme, dans ce cas particulier, l'associativité de la composition.
Exercice 15 — niveau ★★★☆☆
Soient
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=4x-7, \]
et
\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=\frac{x+7}{4}. \]
Vérifier, au moyen de la composition, que \(g=f^{-1}\).
Résultat
La fonction \(g\) est la réciproque de \(f\), car
\[ g\circ f=\operatorname{id}_{\mathbb R} \]
et
\[ f\circ g=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
Résolution
Pour vérifier que \(g=f^{-1}\), on doit contrôler les deux compositions.
Calculons d'abord \(g\circ f\) :
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x)). \]
Puisque \(f(x)=4x-7\), on obtient
\[ g(f(x))=g(4x-7). \]
En substituant dans l'expression de \(g\) :
\[ g(4x-7)=\frac{(4x-7)+7}{4}=\frac{4x}{4}=x. \]
Donc
\[ (g\circ f)(x)=x. \]
Calculons maintenant \(f\circ g\) :
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Puisque \(g(x)=\frac{x+7}{4}\), on obtient
\[ f(g(x))=f\left(\frac{x+7}{4}\right). \]
En substituant dans l'expression de \(f\) :
\[ f\left(\frac{x+7}{4}\right)=4\cdot\frac{x+7}{4}-7=x+7-7=x. \]
Donc
\[ (f\circ g)(x)=x. \]
Nous avons démontré que
\[ g\circ f=\operatorname{id}_{\mathbb R} \qquad\text{et}\qquad f\circ g=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
Par conséquent \(g=f^{-1}\).
Exercice 16 — niveau ★★★☆☆
Soient
\[ g(x)=x+2,\qquad f(x)=3x. \]
Calculer \(f\circ g\) et déterminer la réciproque de la fonction composée.
Résultat
La fonction composée est
\[ (f\circ g)(x)=3x+6 \]
et sa réciproque est
\[ (f\circ g)^{-1}(x)=\frac{x-6}{3}. \]
Résolution
Calculons la composée :
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Puisque \(g(x)=x+2\), on obtient
\[ f(g(x))=f(x+2). \]
Comme \(f(x)=3x\), on a
\[ f(x+2)=3(x+2)=3x+6. \]
Ainsi
\[ (f\circ g)(x)=3x+6. \]
Notons la fonction composée par
\[ h(x)=3x+6. \]
Pour déterminer la réciproque, posons
\[ y=3x+6. \]
Résolvons par rapport à \(x\). En soustrayant \(6\) aux deux membres :
\[ y-6=3x. \]
En divisant par \(3\) :
\[ x=\frac{y-6}{3}. \]
Donc
\[ h^{-1}(y)=\frac{y-6}{3}. \]
En renommant la variable indépendante :
\[ h^{-1}(x)=\frac{x-6}{3}. \]
Puisque \(h=f\circ g\), on obtient
\[ (f\circ g)^{-1}(x)=\frac{x-6}{3}. \]
Exercice 17 — niveau ★★★★☆
Soit
\[ f(x)= \begin{cases} x+1 & \text{si } x\ge 0,\\ x^2 & \text{si } x<0, \end{cases} \qquad g(x)=x-2. \]
Déterminer \(f\circ g\).
Résultat
La fonction composée est
\[ (f\circ g)(x)= \begin{cases} (x-2)^2 & \text{si } x<2,\\ x-1 & \text{si } x\ge 2. \end{cases} \]
Résolution
On doit calculer
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x-2). \]
La fonction \(f\) est définie par morceaux. La branche à utiliser dépend du signe de l'argument de \(f\). Ici, l'argument n'est pas \(x\), mais \(x-2\).
On doit donc distinguer deux cas.
Si
\[ x-2\ge 0, \]
alors
\[ x\ge 2. \]
Dans ce cas, on utilise la première branche de \(f\), à savoir \(f(t)=t+1\). Donc
\[ f(x-2)=(x-2)+1=x-1. \]
Si, en revanche,
\[ x-2<0, \]
alors
\[ x<2. \]
Dans ce cas, on utilise la seconde branche de \(f\), à savoir \(f(t)=t^2\). Donc
\[ f(x-2)=(x-2)^2. \]
Par conséquent
\[ (f\circ g)(x)= \begin{cases} (x-2)^2 & \text{si } x<2,\\ x-1 & \text{si } x\ge 2. \end{cases} \]
Exercice 18 — niveau ★★★★☆
Soient
\[ g:A\to B,\qquad f:B\to C. \]
Démontrer que, si \(g\) et \(f\) sont injectives, alors \(f\circ g:A\to C\) est injective.
Résultat
Si \(g\) et \(f\) sont injectives, alors \(f\circ g\) est elle aussi injective.
Résolution
Pour démontrer que \(f\circ g\) est injective, prenons deux éléments arbitraires \(x_1,x_2\in A\) et supposons qu'ils ont la même image par \(f\circ g\) :
\[ (f\circ g)(x_1)=(f\circ g)(x_2). \]
Par définition de la composition, cette égalité devient
\[ f(g(x_1))=f(g(x_2)). \]
Puisque \(f\) est injective, l'égalité des images entraîne celle des arguments :
\[ g(x_1)=g(x_2). \]
Puisque \(g\) est elle aussi injective, de \(g(x_1)=g(x_2)\) il découle
\[ x_1=x_2. \]
Nous avons démontré que
\[ (f\circ g)(x_1)=(f\circ g)(x_2)\quad \Longrightarrow \quad x_1=x_2. \]
Donc \(f\circ g\) est injective.
Exercice 19 — niveau ★★★★☆
Soient
\[ g:A\to B,\qquad f:B\to C. \]
Démontrer que, si \(g\) et \(f\) sont surjectives, alors \(f\circ g:A\to C\) est surjective.
Résultat
Si \(g\) et \(f\) sont surjectives, alors \(f\circ g\) est elle aussi surjective.
Résolution
Pour démontrer que \(f\circ g\) est surjective, on doit montrer que tout élément de \(C\) est l'image d'au moins un élément de \(A\) par \(f\circ g\).
Soit donc \(z\in C\).
Puisque \(f:B\to C\) est surjective, il existe au moins un élément \(y\in B\) tel que
\[ f(y)=z. \]
Puisque \(g:A\to B\) est surjective, il existe au moins un élément \(x\in A\) tel que
\[ g(x)=y. \]
Alors
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Puisque \(g(x)=y\), on obtient
\[ (f\circ g)(x)=f(y). \]
Mais \(f(y)=z\), donc
\[ (f\circ g)(x)=z. \]
Nous avons trouvé un élément \(x\in A\) tel que \((f\circ g)(x)=z\).
Comme \(z\in C\) était arbitraire, tout élément de \(C\) est l'image d'au moins un élément de \(A\). Donc \(f\circ g\) est surjective.
Exercice 20 — niveau ★★★★★
Soient
\[ f(x)=\frac{1}{x-1},\qquad g(x)=\sqrt{x+2}. \]
Déterminer \(f\circ g\), \(g\circ f\) et leurs domaines réels respectifs.
Résultat
On a
\[ (f\circ g)(x)=\frac{1}{\sqrt{x+2}-1}, \qquad \operatorname{Dom}(f\circ g)=[-2,+\infty)\setminus\{-1\}. \]
De plus
\[ (g\circ f)(x)=\sqrt{\frac{1}{x-1}+2}, \qquad \operatorname{Dom}(g\circ f)=\left(-\infty,\frac{1}{2}\right]\cup(1,+\infty). \]
Résolution
Calculons d'abord \(f\circ g\) :
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x+2}). \]
Puisque \(f(x)=1/(x-1)\), on obtient
\[ (f\circ g)(x)=\frac{1}{\sqrt{x+2}-1}. \]
Pour déterminer le domaine, on impose tout d'abord que la fonction intérieure \(g(x)=\sqrt{x+2}\) soit définie :
\[ x+2\ge 0. \]
Donc
\[ x\ge -2. \]
De plus, le dénominateur de la composée doit être non nul :
\[ \sqrt{x+2}-1\ne 0. \]
Cette condition équivaut à
\[ \sqrt{x+2}\ne 1. \]
Comme \(\sqrt{x+2}=1\) si et seulement si \(x+2=1\), on obtient \(x=-1\). Donc
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=[-2,+\infty)\setminus\{-1\}. \]
Calculons maintenant \(g\circ f\) :
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g\left(\frac{1}{x-1}\right). \]
Puisque \(g(x)=\sqrt{x+2}\), en substituant \(1/(x-1)\) à \(x\), on a
\[ (g\circ f)(x)=\sqrt{\frac{1}{x-1}+2}. \]
Pour le domaine, on impose tout d'abord que \(f(x)=1/(x-1)\) soit définie :
\[ x-1\ne 0. \]
Donc
\[ x\ne 1. \]
De plus, l'argument de la racine doit être positif ou nul :
\[ \frac{1}{x-1}+2\ge 0. \]
Réduisons au même dénominateur :
\[ \frac{1+2(x-1)}{x-1}\ge 0. \]
En simplifiant le numérateur :
\[ \frac{2x-1}{x-1}\ge 0. \]
Les points critiques sont
\[ x=\frac{1}{2},\qquad x=1. \]
En étudiant le signe de la fraction, on obtient
\[ x\le \frac{1}{2} \qquad \text{ou} \qquad x>1. \]
La valeur \(x=1\) reste exclue, car elle annule le dénominateur.
Par conséquent
\[ \operatorname{Dom}(g\circ f)=\left(-\infty,\frac{1}{2}\right]\cup(1,+\infty). \]
Cet exercice réunit les deux aspects fondamentaux de la composition : l'ordre d'application et le contrôle du domaine.